Számsorozat korlátja

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. szeptember 29-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A numerikus sorozat határa egy numerikus tér elemsorozatának határa. A számtér egy metrikus tér , amelyben a távolság az elemek közötti különbség modulusa. Ezért egy számot a sorozat határértékének nevezünk , ha bármelyikhez létezik olyan szám , amely attól függ , hogy bármelyikre érvényes az egyenlőtlenség . $a$ $\{x_n\}$ $\varepsilon > 0$ $N_\varepszilon$ $\varepsilon$ $n > N_\varepszilon$ $\ |x_n - a| < \varepsilon$

Komplex számok esetén egy sorozat határértékének megléte ekvivalens a komplex számok valós és képzetes részeinek megfelelő sorozatainak határértékeinek meglétével.

A határérték (egy numerikus sorozat) a matematikai elemzés egyik alapfogalma . Minden valós szám ábrázolható a kívánt érték közelítéseinek sorozatának határaként. A számrendszer biztosítja a finomítások ilyen sorrendjét. Az egész számokat és a racionális számokat periodikus közelítési sorozatok, míg az irracionális számokat nem periodikus közelítési sorozatok írják le. [1] A numerikus módszerekben , ahol a számok véges számú előjelű ábrázolását alkalmazzák, a közelítési rendszer megválasztása kiemelt szerepet játszik. A közelítési rendszer minőségének kritériuma a konvergencia mértéke. Ebből a szempontból a számok folyamatos tört ábrázolása hatékonynak bizonyul .

Történelem

A sorozat határának fogalmát Newton a 17. század második felében és a 18. századi matematikusok , például Euler és Lagrange használták , de ők intuitív módon megértették a határt. A sorozat határának első szigorú meghatározását Bolzano adta 1816 -ban és Cauchy 1821 - ben .

Definíció

Egy számot akkor nevezünk numerikus sorozat határértékének, ha a sorozat végtelenül kicsi, vagyis minden eleme, néhánytól kezdve, abszolút értékben kisebb bármely előre felvett pozitív számnál. $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_{n}-a\}$

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(bármely kis epszilonnál van egy szám, amelytől kezdve a sorozat elemei kevesebbel térnek el a határértéktől, mint epszilon)

Ha egy szám egy numerikus sorozat határértéke , akkor azt is mondjuk, hogy a sorozat a -hoz konvergál . Ha nincs valós szám a sorozat határa , akkor azt divergensnek nevezzük . $a\in \mathbb {R}$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $a$ $\{x_n\}$

Egyes sorozatok esetében a határ a végtelen . Ugyanis azt mondják, hogy a sorozat a végtelenbe hajlik , ha bármely valós szám esetén a sorozat összes tagja, néhánytól kezdve, abszolút értékben nagyobbnak bizonyul ennél a számnál. Formálisan, $\{x_n\}$

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E

Ezen túlmenően, ha egy bizonyos számtól kezdve a végtelenbe hajló sorozat minden eleme pozitív előjelű, akkor azt mondják, hogy egy ilyen sorozat határa plusz a végtelen .

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E

Ha egy bizonyos számtól kezdődően a végtelenbe hajló sorozat elemei negatív előjelűek, akkor azt mondják, hogy egy ilyen sorozat határa mínusz végtelen .

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E

Bármely végtelenbe hajló sorozat határtalan . Ennek a fordítottja azonban nem igaz.

Egy sorozat részleges határa az egyik részsorozatának a határa.

Egy sorozat felső határa a legnagyobb határpontja (ami megegyezik a legnagyobb részhatárral).

Egy sorozat alsó határa a legkisebb határpontja.

Jelölés

Az a tény, hogy egy sorozat egy számhoz konvergál, a következő módok egyikén jelezhető: $\{x_n\}$ $a$

$\lim_{n \to \infty} x_n = a$

vagy

$x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Tulajdonságok

Vannak bizonyos jellemzők a valós számok sorozatainak határára . [2]

Egy sorozat határának alternatív definíciói is megadhatók. Például egy határértéknek olyan számot hívni, amelynek bármely szomszédságában végtelen sok elem van a sorozatnak, míg az ilyen környezeteken kívül csak véges számú elem található. Így egy sorozat határa csak az elemei halmazának határpontja lehet. Ez a definíció megegyezik a topológiai terek határának általános meghatározásával.

Ennek a definíciónak van egy kikerülhetetlen hiányossága: elmagyarázza, mi a határérték, de nem ad módot annak kiszámítására, sem a létezéséről szóló információt. Mindezt a határ következő (definíció szerint bizonyítható) tulajdonságaiból vezetjük le.

Tulajdonságok

A határ egyedisége.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Aritmetikai tulajdonságok

egy numerikus sorozat határértéke lineáris , azaz a lineáris leképezések két tulajdonságát mutatja.
- Additivitás . A numerikus sorozatok összegének határa a határértékeik összege, ha mindegyik létezik. $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$
- Egységesség . A konstans a határjel alól kivehető. $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$
A numerikus sorozatok szorzatának határértékét a határértékek szorzatával szorozzuk , ha mindegyik létezik. $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
A numerikus sorozatok arányának határa a határértékeik aránya, ha ezek a határértékek léteznek, és az osztósorozat nem végtelenül kicsi. $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n }}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$

Rendelje meg a Preservation Properties

Ha egy konvergens sorozat minden eleme valamilyen számtól kezdve nem haladja meg a számot, akkor ennek a sorozatnak a határa sem haladja meg ezt a számot. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Ha egy szám nem haladja meg a konvergens sorozat összes elemét, egy számból kiindulva, akkor nem lépi túl ennek a sorozatnak a határát sem. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Ha valamelyik szám szigorúan meghaladja egy konvergens sorozat összes elemét, valamilyen számból kiindulva, akkor ennek a sorozatnak a határa nem haladja meg ezt a számot. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Ha egy konvergens sorozat minden eleme valamilyen számtól kezdve szigorúan meghalad egy számot, akkor ez a szám nem haladja meg ennek a sorozatnak a határát. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Ha valamely számból kiindulva az egyik konvergens sorozat összes eleme nem haladja meg egy másik konvergens sorozat megfelelő elemeit, akkor az első sorozat határa nem haladja meg a másodiké. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
Numerikus sorozatokra a két rendőr tétel (a kétoldali korlátozás elve) érvényes. $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_inf } \to leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Egyéb tulajdonságok

Egy konvergens számsorozatnak csak egy határa van. $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Jobbra ~ a = b$

Lezárás . Ha egy konvergens numerikus sorozat minden eleme egy adott szakaszon fekszik, akkor a határa is ugyanabban a szakaszban van. $\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$

Az azonos számú sorozat határértéke megegyezik ezzel a számmal. $\lim_{n \to \infty} x = x$

Egy konvergens numerikus sorozat véges számú elemének cseréje vagy törlése nem befolyásolja a korlátot.

A felülről határolt növekvő sorozatnak van határa. Ugyanez igaz az alább határolt csökkenő sorozatra is.
Egy alul határolt végtelenül nagy sorozat szorzata egy végtelenül nagy sorozat.

Stolz tétele teljesül .

Ha egy sorozatnak van határa, akkor az aritmetikai átlagok sorozatának is ugyanaz a határa (következmény Stolz tételéből). $x_n$ $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$

Ha egy számsorozatnak van határértéke , és adott egy függvény , amely mindegyikre definiált és folytonos a pontban , akkor $\{x_n\}$ $x$ $f(x)$ $x_{n}$ $x$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Példák

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a))))_ {n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Jobbra ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]{x_n}$

$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\nexists \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

A komplex számok esete

Egy komplex számot akkor nevezünk egy sorozat határértékének, ha bármely pozitív számra meg lehet adni olyan számot , amelyből kiindulva ennek a sorozatnak minden eleme kielégíti az egyenlőtlenséget . $a$ $\{z_n\}$ $\varepsilon$ $N=N(\varepszilon)$ $z_n$
$|z_n - a|< \varepszilon$ $n\geqslant N(\varepsilon )$

Egy határértékkel rendelkező sorozatról azt mondjuk, hogy konvergál egy számhoz , amelyet így írunk le . $\{z_n\}$ $a$ $a$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$

Példák

Nem minden korlátos sorozatnak van határa. Ha például szóköznek vesszük a standard topológiájú valós számok halmazát, sorozatnak pedig , akkor ennek nem lesz határa (azonban megtalálja a felső és alsó határértékeket, vagyis a részsorozatainak határait - részleges határértékek ). $x_n$ $x_n = (-1)^n$ $tizenegy$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Ez magában foglalja a számok ismétlődését a számok jelölésében valamilyen rögzített számrendszerben.
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 3. fejezet. Határok elmélete // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68-105. — 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .