Monoton sorozat

Monoton sorozatnak nevezzük azt a sorozatot, amelynek elemei a szám növekedésével nem csökkennek, vagy éppen ellenkezőleg, nem nőnek. Az ilyen szekvenciák gyakran megtalálhatók a kutatás során, és számos megkülönböztető jellemzővel és további tulajdonsággal rendelkeznek. Egy számból álló sorozat nem tekinthető növekvőnek vagy csökkenőnek.

Definíciók

Legyen egy halmaz , amelyre a sorrendi reláció kerül bevezetésre . $x$

Egy halmaz elemeinek sorozatát nem csökkenőnek nevezzük, ha ennek a sorozatnak minden eleme nem haladja meg a következőt. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- nem csökkenő

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1))

Egy halmaz elemsorozatát nem növekvőnek nevezzük , ha ennek a sorozatnak minden következő eleme nem haladja meg az előzőt. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- nem növekvő

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1))

Egy halmaz elemsorozatát növekvőnek nevezzük, ha ennek a sorozatnak minden következő eleme meghaladja az előzőt. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- növekvő

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1))

Egy halmaz elemsorozatát csökkenőnek nevezzük, ha ennek a sorozatnak minden eleme meghaladja a következőt. $\{x_n\}$ $x$

\{x_n\}

- csökkenő

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1))

Egy sorozatot monotonnak nevezünk, ha nem csökkenő vagy nem növekvő. [egy]

Egy sorozatot szigorúan monotonnak nevezünk , ha növekvő vagy csökkenő.

Nyilvánvaló, hogy a szigorúan monoton sorozat monoton.

Néha a terminológia egy olyan változatát használják, amelyben a „növekvő sorozat” kifejezés a „nem csökkenő sorozat” kifejezés szinonimája, a „csökkenő sorozat” kifejezés pedig a „nem csökkenő sorozat” kifejezés szinonimája. növekvő sorrend". Ilyen esetben a fenti definícióból származó növekvő és csökkenő sorozatokat "szigorúan növekvő" és "szigorúan csökkenő" szekvenciáknak nevezzük.

Monotonitás intervallumok

Előfordulhat, hogy a fenti feltételek nem teljesülnek minden számra , hanem csak egy bizonyos tartományból származó számokra $n\in {\mathbb N}$

I=\{n\in {\mathbb N}\mid N_{{-}}\leqslant n<N_{{+}}\}

(itt a jobb oldali határ a végtelenbe forgatható ). Ebben az esetben a sorozatot az intervallumon monotonnak , magát a tartományt pedig a sorozat monotonitási intervallumának nevezzük . ${\displaystyle N_{+))$ $én$ $én$

Példák

A természetes számok sorozata .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=n$ .
- Kezdő szakaszok: . $(1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )$
- Növekvő sorrend.
- Természetes számokból áll.
- Alulról korlátozott, felülről nem korlátozva.

Fibonacci sorozat .
- $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{{n-1}}+x_{{n-2}},&n\geqslant 3\end{cases} }$
- Kezdő szakaszok: . $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )$
- Nem csökkenő sorrend.
- Természetes számokból áll.
- Alulról korlátozott, felülről nem korlátozva.

Geometriai progresszió alappal . $1/2$
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{{n-1))))$ .
- Kezdő szakaszok: . $(1.1/2.1/4.1/8.1/16,\cdots )$
- Csökkenő sorrend.
- Racionális számokból áll .
- Mindkét oldalon korlátozott.

Egy sorozat, amely az e számhoz konvergál .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .
- Kezdő szakaszok: . $(2.9/4.64/27.625/256,\cdots )$
- Növekvő sorrend.
- Racionális számokból áll , de egy transzcendentális számhoz konvergál .
- Mindkét oldalon korlátozott.

Az alak racionális számsora nem monoton. Az intervallumon azonban (szigorúan) csökken, az intervallumon pedig (szigorúan) növekszik . $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ $\{1,\,\!2,3,4\}$ $\{n\in {\mathbb N}\mid n\geqslant 5\}$

Tulajdonságok

Korlátozás.
- Minden nem csökkenő sorozat alulról korlátos.
- Minden nem növekvő sorozat felülről korlátos.
- Minden monoton sorozat legalább az egyik oldalon korlátos.

Egy monoton sorozat akkor és csak akkor konvergál, ha mindkét oldalon korlátos. ( Weierstrass Bounded Monotone Sequence Theorem )
- Egy konvergens, nem csökkenő sorozatot felülről határol a határa .
- Egy konvergens, nem növekvő sorozatot alulról határol a határa.

Jegyzetek

↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . 3. fejezet. Határok elmélete // Matematikai elemzés / Szerk. A. N. Tikhonova . - 3. kiadás , átdolgozva és további - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68 - 105. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Lásd még

Monoton funkció