Homogén funkció

A homogén fokfüggvény olyan numerikus függvény , amelyben a függvény bármely tartományára és bármely tartományára igaz az egyenlőség: $q$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $\lambda \in \mathbb {R}$

f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)

A paramétert homogenitási sorrendnek nevezzük . Ez arra utal, hogy ha a függvény tartományába tartozik, akkor a nézet minden pontja a függvény tartományába is beletartozik. $q$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \mathbf {v}$

Vannak még

pozitívan homogén függvények , amelyekre az egyenlőség csak pozitívra érvényes $(*)$ $\lambda$ $(\lambda >0),$
abszolút homogén függvények , amelyekre az egyenlőség fennáll
$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
korlátosan homogén függvények , amelyekre az egyenlőség csak néhány megkülönböztetett értékre vonatkozik $(*)$ $\lambda ,$
komplex homogén függvények , amelyekre az egyenlőség igaz és vagy (valamint összetett kitevőkre ). $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $(*)$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $q\in \mathbb {C}$

A homogén függvény alternatív definíciója

Egyes matematikai forrásokban a függvényeket homogénnek nevezik, ami a funkcionális egyenlet megoldása.

f ( λ v ) = g ( λ ) f ( v ) {\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}

f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )

előre meghatározott függvénnyel , és csak ezután bizonyítjuk be, hogy a megoldás egyedisége további feltételt igényel, hogy a függvény nem azonos nullával, és a függvény egy bizonyos függvényosztályba tartozik (például folytonos volt vagy monoton volt) . Ha azonban egy függvény legalább egy ponton folytonos a függvény nullától eltérő értékével, akkor folytonos függvénynek kell lennie minden értékre , és így a függvények széles osztályánál az eset az egyetlen lehetséges.

g(\lambda )

g(\lambda )=\lambda ^{q}.

{\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q))

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

\lambda ,

f(\mathbf {v} )

{\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q))

Indoklás:

A nullával azonos függvény bármely függvényválasztás esetén kielégíti a funkcionális egyenletet, de ez a degenerált eset nem különösebben érdekes. $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ $g(\lambda ),$

Ha egy ponton az érték akkor: ${\mathbf {v}}_{0}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$

$g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2 })f(\mathbf {v} _{0})$ , ahol: ∀ λ egy , λ 2 : g ( λ egy λ 2 ) = g ( λ egy ) g ( λ 2 ) ; {\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});} $\forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});$
$g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$ ahol $\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).$

A funkcionális Cauchy-egyenletnek van megoldása lineáris függvény formájában: ráadásul a folytonos vagy a monoton függvények osztályára ez a megoldás egyedülálló. Ezért, ha ismert, hogy egy folytonos vagy monoton függvény, akkor $G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$ $G(t)=q\cdot t,$ $g(\lambda )$ $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$

A funkcionális Cauchy-egyenlet megoldásának egyediségének bizonyítása 1. A racionálisakkal ez igaz , mert:

t=m/n

G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),

a) vagyis

G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),

G(2\mu )=2G(\mu );

b) vagyis

2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu /2)

G(\mu /2)=(1/2)G(\mu );

stb.; 2. Mivel az irracionális számok, amelyek tetszőlegesen szorosan „szoríthatók” két racionális közé, folytonos vagy monoton függvények esetén, az összefüggésnek az irracionális függvényekre is teljesülnie kell.

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

t;

3. Az utolsó lépés: az arányt be kell állítani

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

\mu =1.

Megjegyzés: a függvények szélesebb osztályai esetében a vizsgált funkcionális egyenletnek más, nagyon egzotikus megoldásai is lehetnek (lásd a "Hamel alapjai" című cikket ). A folytonosság igazolása, ha legalább egy ponton folytonos

g(\lambda ),

f(\mathbf {v} )

Legyen a függvény folytonos egy fix ponton , és vegyük figyelembe az azonosságot $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$

f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepszilon )\mathbf {v} _{0}).

Amikor az érték a függvény folytonossága miatt a pontban hajlik Azóta ez azt jelenti, hogy hajlik , vagyis hogy a függvény a pontban folytonos Mivel bárki választhatja, akkor minden ponton folytonos. . $\varepsilon \to 0$ $f((1+\varepszilon )\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0}.$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ $g((1+\varepszilon )\lambda _{0})$ $g(\lambda _{0}),$ $g(\lambda )$ $\lambda _{0}.$ $\lambda _{0}$ $g(\lambda )$

Következmény: Ha egy homogén függvény folytonos egy pontban, akkor folytonos is lesz az alak minden pontján (beleértve azt is, amikor ). $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} )$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} _{0))$ $f(\mathbf {v} _{0})=0$

Tulajdonságok

Ha azonos sorrendű homogén függvények, akkor

lineáris kombinációjuk állandó együtthatókkal azonos sorrendű homogén függvény lesz.

f_{1},f_{2},\dots

q,

q.

Ha homogén függvények a sorrenddel , akkor a szorzatuk egy homogén függvény lesz a sorrenddel

f_{1},f_{2},\dots

q_{1},q_{2},\dots ,

q=q_{1}+q_{2}+\pontok .

Ha egy homogén sorrendű függvény, akkor a hatványa (nem feltétlenül egész), ha értelmes (vagyis ha egész szám, vagy ha az érték pozitív), akkor a megfelelő tartományban homogén sorrendű függvény lesz. Különösen, ha a sorrend homogén függvénye , akkor ez a sorrend és a definíciós tartomány homogén függvénye lesz azokon a pontokon, ahol definiálva van, és nem egyenlő nullával.

f

q,

m

m

f

mq

f

q

1/f

(-q)

f

Ha a sorrend homogén függvénye és a sorrend homogén függvényei, akkor a függvények szuperpozíciója a sorrend homogén függvénye lesz

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p,

h_{k}\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)

q,

F\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{n}\ jobb)

pq.

Ha fokváltozók homogén függvénye és a hipersík a definíciós tartományába tartozik, akkor a változók függvénye a fokszám homogén függvénye lesz.

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

n

p,

x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0

\left(nj\right)

g\left(x_{j+1},x_{j+2},\dots ,x_{n}\right)=f\left(0,\pontok ,0,x_{j+1}, \pontok ,x_{n}\jobbra)

p.

Egy nulladrendű homogén függvény logaritmusa vagy egy nulladrendű homogén függvény

modulusának logaritmusa egy nullarendű homogén függvény. Egy homogén függvény logaritmusa vagy egy homogén függvény modulusának logaritmusa akkor és csak akkor homogén függvény, ha magának a függvénynek a homogenitási sorrendje nulla.

Egy homogén függvény modulja vagy

egy abszolút homogén függvény modulja abszolút homogén függvény. Egy homogén függvény modulusa vagy egy pozitívan homogén függvény modulusa egy pozitívan homogén függvény. Egy nulladrendű homogén függvény modulusa egy nulladrendű homogén függvény. Egy abszolút homogén nulladrendű függvény a nulla rendű homogén függvény, és fordítva.

Egy nulladrendű homogén függvény tetszőleges függvénye egy nulladrendű homogén függvény.

Ha pozitívan homogén rendű függvények vannak, ahol a pozitívan homogén rendű függvény, akkor a függvény pozitívan homogén rendű függvény lesz minden olyan ponton , ahol a , ... egyenletrendszernek megoldása van. Ha ezen kívül páratlan egész szám, akkor a pozitív homogenitás helyettesíthető közönséges homogenitással. Következmény: ha van folytonos vagy monoton függvény , és homogén vagy pozitívan homogén függvény, ahol nem nulla rendű homogén vagy pozitívan homogén függvény, akkor hatványfüggvény minden olyan pontban , ahol az egyenletnek megoldása van. Konkrétan egy változó egyetlen monoton vagy folytonos függvénye, amely a sorrend homogén függvénye . (A bizonyítás megduplázza a jelen cikk "A homogén függvény alternatív meghatározása" című szakaszának érveit. Sőt, ha eltávolítjuk azt a korlátozást, hogy a függvény folytonos vagy monoton, akkor lehetnek más, nagyon egzotikus megoldások a -ra , lásd a cikket. "Hamel alapja" .)

h_{k}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p,

p\neq 0,

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\dots ,h_{m}\ jobb)

q,

g\left(y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}\right)

q/p

y

y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

p

g(y)

g\left(f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\right)

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

{\displaystyle g(y)=cy^{m))

y

y=f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)

{\displaystyle f(x)=cx^{q))

q

g(y)

g(y)

Ha egy függvény változókban polinom, akkor akkor és csak akkor lesz homogén fokfüggvény, ha fokú homogén polinom .. Ebben az esetben a homogenitási sorrendnek természetes számnak vagy nullának kell lennie . (A bizonyításhoz csoportosítani kell a polinom azonos homogenitási rendű monomjait , az eredményt egyenlőségre kell behelyettesíteni , és felhasználni azt a tényt, hogy a különböző kitevőkkel rendelkező hatványfüggvények , beleértve a nem egész számokat is, lineárisan függetlenek.) Az állítás általánosítható a nem egész indexű alakú monomok lineáris kombinációira.

f

n

q

f

q.

q

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\pontok +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Ha a polinomok véges szorzata egy homogén függvény, akkor minden tényező homogén polinom . (A bizonyítás kedvéért minden faktorban a minimális és maximális homogenitási nagyságrendű monomokat választjuk . Mivel szorzás után a kapott polinomnak azonos homogenitási rendű monomokból kell állnia, így minden tényezőnél a minimális és maximális homogenitási rend ugyanannak a számnak kell lennie.) Az állítás általánosítható a nem egész indexű alakú monomok lineáris kombinációira .

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\pontok +i_{n))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Ha egy tört racionális függvény számlálója és nevezője homogén polinomok , akkor a függvény homogén lesz a számláló és a nevező homogenitási rendje közötti különbséggel. Ha egy tört racionális függvény homogén, akkor a számlálója és a nevezője egy közös tényezőig homogén polinomok . Az állítás általánosítható alakzatú monomok nem egész indexű lineáris kombinációinak tört-racionális összefüggésére .

f={\frac {P_{n}(x_{1},\pontok ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\pontok ,x_{m)))))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

A nullánál nem nulla fokos homogén függvény nullával egyenlő, ha ott definiálva van: (Az értéket egyenlőségbe helyettesítve kapjuk, vagy negatív homogenitási fok esetén az értékkel ) Egy homogén fokfüggvény nulla, ha nullán van definiálva, ezen a ponton bármilyen értéket felvehet.

f(\mathbf {0} )=0.

(*)

\lambda =0

\mathbf {v} =0.

Ha egy nullafokú homogén függvény nullán folytonos, akkor konstans (tetszőleges). Ha egy negatív fokú homogén függvény nullán folytonos, akkor az azonosan nulla. (Egy transzformációval tetszőleges pont közel kerülhet a nullához. Ezért ha a nullán lévő függvény folytonos, akkor a pontban lévő függvény értékét a pontban lévő értékén keresztül fejezheti ki a reláció segítségével )

\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}

\mathbf{v}

\mathbf{v}

\mathbf {0}

\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).

A nullánál pozitív fokú homogén függvény a definíciós tartományába belépő bármely irányban nullára hajlamos, a negatív fokú homogén függvény pedig a végtelenbe hajlik, amelynek előjele az iránytól függ, hacsak a függvény az adott függvény mentén nem azonos nulla. irány. Egy pozitív fokú homogén függvény folytonos nullán, vagy kiterjeszthető nullán folytonossá, ha definíciós tartománya nulla szomszédságot tartalmaz. A nulla fokú homogén függvény lehet nem folytonos vagy folytonos nullán, és ha nem folytonos, akkor egy irányfüggő állandó minden sugár mentén, amelynek csúcsa az origóban van, ha az irány a definíciós tartományán belül van. (Az értéket egyenlőségre cserélve kapjuk )

\varepsilon

(*)

\lambda \to 0.

Ha egy nullánál lévő homogén függvény analitikus (azaz nem nulla konvergenciasugarú konvergens Taylor - sorrá bővül ), akkor polinom ( homogén polinom ). Ebben az esetben a homogenitási sorrendnek természetes számnak vagy nullának kell lennie. (Ennek bizonyításához elegendő a függvényt Taylor-sorként ábrázolni, a Taylor-sorozat tagjait azonos homogenitási rendekkel csoportosítani , az eredményt egyenlőségre cserélni , és a hatványfüggvényeket különböző kitevőkkel, beleértve a nem egész számokat is használni. lineárisan függetlenek.)

f

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\pontok +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\dots

A függvény , ahol a változók függvénye , egy homogén függvény, amelynek homogenitási sorrendje A függvény ahol a változók függvénye , egy abszolút homogén függvény a homogenitási sorrenddel.

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1})

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

Euler-féle reláció : differenciálható homogén függvényeknél a gradiensük és a változóik vektorának skaláris szorzata magával a függvénnyel arányos a homogenitási nagyságrenddel megegyező együtthatóval: vagy ekvivalens jelöléssel az egyenlőség differenciálásával kapjuk .

\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )

\sum x_{k}f'_{x_{k))=qf.

(*)

\lambda

\lambda =1.

Ha egy homogenitási sorrendű, differenciálható homogén függvény , akkor annak első parciális deriváltjai az egyes független változókra nézve homogén függvények homogenitási sorrendben . Ennek bizonyításához elegendő az identitás jobb és bal oldalán különbséget tenni, és megszerezni az azonosságot

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q-1

x_k

f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{ x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Ha egy homogén függvény homogenitási rendjével , akkor annak integrálja (amennyiben létezik ilyen integrál) bármely független változó felett nullától kezdődően homogén függvények homogenitási nagyságrenddel . Bizonyítás: (itt az integrációs változó helyettesítése készül ).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},... ,x_{n})dt

q+1.

F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

Ha egy homogén függvény a homogenitási nagyságrenddel , akkor annak tört deriváltja ( különböző integrál ) , úgy számítva, mint bármely nullától induló független változó esetében (feltéve, hogy létezik a megfelelő integrál, amelyhez ki kell választani ) homogén függvények. homogenitási renddel Tekintsük a függvényt . Ezután (itt az integrációs változó módosítása történik ). A változóhoz viszonyított szoros differenciálást követően a homogén sorrendű függvény homogenitási nagyságrendű homogén függvény lesz .

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

\alpha

G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha ))){\frac {d^{n }}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2 },...,x_{n})\,dt

n>\alpha

q-\alpha .

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n- \alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},.. .,\lambda x_{n})\,dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_ {2},...,\lambda x_{n})\,dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t', x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

n

x_{1}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q+n-\alpha

q-\alpha

Ha egy homogén függvény a homogenitási sorrenddel , akkor a -dimenziós konvolúciója egy általánosított Abeli-maggal, amelyet így számítunk ki (feltéve, hogy létezik a megfelelő integrál), egy homogén függvény a homogenitási sorrendben . Bizonyítás: , ahol az integrációs változók változtatása történik . (Megjegyzés: a változóknak csak egy része csökkenthető.)

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

n

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}} \dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}

{\displaystyle q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n))

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}\dots \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^ {k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\dots (\lambda ^{k_{ n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\dots dt_{n}=

\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1 }^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{ 1}}\pontok (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^ {\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}' \dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\dots \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1} }\pontok (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n)))^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n} }f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\dots +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t_{k}=\lambda t_{k}'

Tétel . Az alakban bármilyen homogén függvény ábrázolható homogenitási sorrenddel $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

ahol a változók valamilyen függvénye . Bármely homogenitási sorrendű abszolút homogén függvény ábrázolható $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

ahol a változók valamilyen függvénye . $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Bizonyíték.

Vegyük a nulla fok homogén függvényét. Ezután a választás során megkapjuk a szükséges reláció egy adott verzióját: $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda =1/x_{1}$

g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n })=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{ n}/x_{1}).

Homogén fokfüggvény esetén a függvény nulla fokú homogén függvénynek bizonyul. ezért _ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q\neq 0,$ $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1 }^{q}$ $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n} /x_{1}).$

Következmény. Az alakban bármely homogén fokfüggvény (abszolút homogén fokfüggvény ) ábrázolható $q$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h (\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_ {n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),

ahol a változók valamilyen megfelelő függvénye , egy fix homogén fokfüggvény (egy fix abszolút homogén fokfüggvény ), és , ..., rögzített funkcionálisan független, nulla fokú homogén függvények. A függvények fix megválasztásához ez a reprezentáció egy-egy megfelelést határoz meg a változók homogén fokfüggvényei és a változók függvényei között . $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$ $\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $q$ $\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ $\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1))$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $n$ $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$

Euler -tétel homogén függvényekre . Ahhoz, hogy egy differenciálható függvény homogén függvény legyen homogenitási renddel, szükséges és elégséges, hogy az Euler-reláció teljesüljön. $f(x_1,x_2,...,x_n)$ $q,$

\sum x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Bizonyíték.

A szükségesség az egyenlőség differenciálásából adódik Az elégségesség bizonyításához a „fagyott” függvényt vesszük . $(*)$ $\lambda =1.$ $\varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$ $\lambda :$

\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+ \lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.

A feltétel alapján megkapjuk , és az Eredményként a feltételből meghatározzuk az Állandót $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n}) =qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $\varphi '(\lambda )=0$ $\varphi (\lambda )=c=const.$ $c$ $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q} f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Következmény. Ha a függvény differenciálható és a tér minden pontjában érvényes a homogenitási reláció egy bizonyos értéktartományban , akkor mindenre érvényes $(*)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$ $\lambda>0.$

Bizonyíték.

Differenciáld a viszonyt a ponthoz képest ! $(*)$ $\lambda$ $\lambda =\lambda _{0}:$

\sum x_{k}f'_{x_{k))(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0 }x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\ lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).

Ez azt jelenti, hogy az Euler-reláció a pontban teljesül, és a pont tetszőlegessége miatt a pont is tetszőleges. Megismételve az Euler-tétel fenti bizonyítását egy homogén függvényre, azt kapjuk, hogy a homogenitási reláció egy pontban teljesül, és tetszőleges ponthoz választhatunk olyan pontot, hogy a pont egybeessen a tér bármely előre megadott pontjával. Ezért a tér minden pontjában az összefüggés bármelyikre teljesül ${\displaystyle y_{k}=\lambda _{0}x_{k))$ ${\megjelenítési stílus (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $\lambda >0.$ ${\megjelenítési stílus (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(*)$ $\lambda >0.$

Lambda homogén függvények

Legyen adott egy vektor . A változók függvényét -homogénnek nevezzük a homogenitási sorrenddel, ha bármelyikre és bármelyikre az azonosság $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$ $n$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $q$ $t>0$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n))$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

A -homogén függvények esetében átmennek a közönséges homogén függvényekbe. Néha a homogenitás sorrendje helyett a homogenitás fokát vezetik be , amelyet a reláció határozza meg. $\lambda _{k}=1$ $\lambda$ $q$ $m$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),

ahol A közönséges homogén függvényeknél a homogenitás sorrendje és a homogenitás foka megegyezik. $|\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.$ $q$ $m$

Ha a parciális deriváltak folytonosak a pontban , akkor -homogén függvényekre igaz az Euler - relációt általánosító és a pontban a -homogenitás azonosságának differenciálásával kapott reláció : $f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\lambda$ $\lambda$ $t=1$

\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1) },x_{2},...,x_{n}).

A közönséges homogén függvényekhez hasonlóan ez az összefüggés szükséges és elégséges ahhoz, hogy a függvény homogén függvény legyen egy vektorral és egy homogenitási renddel $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q.$ $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},... ,t^{\lambda _{n}}x_{n})$ $\varphi (t)\equiv \varphi (1).$

Ha -homogén függvény vektorral és homogenitási sorrenddel , akkor -homogén függvény vektorral és homogenitási sorrenddel is (az új paraméter -homogenitásának azonosságára való behelyettesítéséből következik ). Emiatt a -homogén függvények figyelembevételekor elég csak az esetre szorítkozni, különösen a normalizálást lehet úgy megválasztani, hogy a homogenitás sorrendje megegyezzen egy előre rögzített értékkel. Ráadásul az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$ $\alpha q$ $\lambda$ ${\displaystyle t'\to t^{\alpha ))$ $\lambda$ $\sum |\lambda _{k}|=const.$ $\sum |\lambda _{k}|$ $q$ $\lambda _{k}\neq 0.$

Változók megváltoztatásakor a -homogén függvény egy vektorral és egy homogenitási renddel átalakul egy közönséges homogén függvénysé , amelynek homogenitása rendje . Ebből következik, hogy az -homogén függvények általános reprezentációja vektorral és homogenitási sorrenddel a következő: $x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k))$ $\lambda$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{ 1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/ \lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),

ahol a változók valamilyen függvénye . $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Forrás: Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky, Felső matematika: tankönyv egyetemeknek (3 kötetben), V.2: Differenciál- és integrálszámítás ( http://www.sernam.ru/lect_math2.php Októberi keltezésű archív másolat 1, 2012 at the Wayback Machine ), 8.8.4.

Euler operátor

Differenciál operátor

{\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+\ldots + x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

néha Euler-operátornak is nevezik, a homogén függvények Euler-azonosságának analógiájára. Euler fenti homogén függvényekre vonatkozó tételéből az következik, hogy ennek az operátornak a sajátfüggvényei homogén függvények, és csak azok, és egy ilyen függvény sajátértéke a homogenitási sorrendje.

Ennek megfelelően az Euler-operátort konstanssá alakító függvények a homogén függvények logaritmusai és csakis azok. Az Euler-operátort eltüntető függvények a zérusrendű homogén függvények, és csak ezek ( a nulladrendű homogén függvény logaritmusa maga is nullarendű homogén függvény).

Hasonlóképpen a differenciálműködtető esetében is

{\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))))

a sajátfüggvények -homogén függvények vektorral és csak ők, a sajátérték pedig a -homogén függvény homogenitási sorrendje. Ezt a differenciális operátort a vektorral -homogén függvények logaritmusaival konvertálják konstanssá, más függvények nem. $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$ $\lambda$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$

Az Euler operátor további általánosítása a differenciális operátor

\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2} ^{\mu _{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}},

amelyet az Euler operátorra redukál az at változással . Az űrlap minden differenciális operátora is Euler operátorrá lesz redukálva a változás által ${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1))}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2))}+\ldots + y_{n}{\frac {\partial f}{\partial y_{n))))$ $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k))}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right )}}\jobb)$ $\mu _{k}\neq 1;$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k))$ $\mu _{k}=1.$ $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k))^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)))\right)$ $h_{1}(x_{1}){\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+h_{2}(x_{2}){\frac {\partial f}{ \partial x_{2))}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\partial f}{\partial x_{n))}.$

Forrás: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler-tétel a homogén függvényekről Archiválva : 2012. augusztus 2. a Wayback Machine -nél ( PlanetMath.org )

Korlátozottan homogén függvények

Egy függvényt korlátosan homogénnek nevezünk a pozitív valós számok halmazára vonatkozó homogenitás kitevőjével (ezt homogenitáshalmaznak nevezzük), ha az azonosság mindenre és mindenre érvényes $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $q$ $\lambda$ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \in \Lambda$

f(\lambda {\vec {x)))=\lambda ^{q}f({\vec {x))).

A homogenitás halmaza mindig tartalmazza az egységet. A homogenitáshalmaz nem tartalmazhat tetszőlegesen kis folytonos szakaszt – különben egy korlátosan homogén függvény közönséges homogén függvénynek bizonyul (lásd alább a „Néhány homogén függvényekkel kapcsolatos funkcionális egyenlet” című részt). Ezért azok a korlátosan homogén függvények érdekesek, amelyekre és amelyekre nézve a homogenitáshalmaz tisztán diszkrét. $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ ${\displaystyle \Lambda \neq \{1\))$ $\lambda$

1. példa: A függvény korlátosan homogén egy homogenitás kitevőjével a halmazhoz, ahol egész számok. $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$ $m$

2. példa : A függvény korlátosan homogén egy homogenitás kitevőjével a halmazhoz, ahol egész számok. $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2 }-xy+y^{2}}})$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$ $k$

Tétel. Ahhoz, hogy egy függvény korlátosan homogén legyen a homogenitási renddel, szükséges és elégséges, hogy az alakja legyen $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $x_{1}>0,$ $q,$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_ {1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

ahol egy olyan függvény, amely periodikus egy változóban , amelynek legalább egy periódusa független a következőtől. Ebben az esetben a homogenitáshalmaz olyan számokból áll, ahol a függvény periódusai függetlenek $H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})$ $y$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$ $\lambda$ $\{e^{Y_{k))\},$ $Y_{k}$ $H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.$

Bizonyíték. Az elégségességet közvetlenül igazolják, a szükségességet igazolni kell. Változtassuk meg a változókat

x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},

ahol

t_{k}=x_{k}/x_{1},

tehát Ha most figyelembe vesszük a függvényt , akkor a homogenitási feltételből megkapjuk az összes elfogadható egyenlőséget $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1 }^{q},$ $x_{1}$

h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{ n}),

amely akkor lesz érvényes Ha csak a halmaz nem csak egyből áll, akkor a csere után a függvény $\lambda \in \Lambda .$ $\lambda$ $x_{1}=\exp(y)$

H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{ 1},t_{2},...,t_{n})

Periodikusnak bizonyul egy nem nulla periódusú változóban bármely rögzített módon választott esetén, mivel a fenti egyenlőség magában foglalja a kapcsolatot $y$ $\log \lambda$ $\lambda \in \Lambda ,$

H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},..., t_{n}).

Nyilvánvalóan a választott fix érték egyszerre lesz a függvény periódusa minden esetben $\log \lambda$ $H(y,t_{2},...,t_{n})$ $t_{2},...,t_{n}.$

Következmények:

Ha van a legkisebb pozitív periódus , amely független attól, akkor a homogenitás halmaz olyan alakú , ahol tetszőleges egész számok vannak. (Ha a függvény legkisebb pozitív periódusa, akkor az összes periódusa, így a számok bekerülnek a homogenitási halmazba. Ha van ilyen homogenitási érték, akkor valami pozitív periódusnak bizonyul, amitől független legyen kevesebb, mint ) $Y>0,$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},$ $\lambda$ $\{e^{mY}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ $Y$ $H(y,...),$ $Y_{m}=én$ $\{e^{mY}}\}$ $\lambda _{*}=e^{Y_{*)),$ $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$ $Y_{*}-mY$ $t_{2},...,t_{n},$ $Y.$
Ha egy függvény egy változóhoz képest állandó, akkor nincs a legkisebb pozitív periódusa (bármely pozitív szám a periódusa). Ebben az esetben ez nem függ a változótól , és a függvény egy közönséges pozitívan homogén függvény (legalábbis). A beállított homogenitás ebben az esetben a teljes pozitív féltengely (legalább). $H(y,\ldots )$ $y,$ $H(y,\ldots )$ $y,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$\lambda$ $\lambda >0$
Egzotikus esetek lehetségesek, amikor egy periodikus függvénynek nincs a legkisebb pozitív periódusa, de ugyanakkor nem is állandó. Például a Dirichlet-függvénynek , amely racionális pontokban egyenlő 1-gyel, az irracionális pontokban pedig 0-val, tetszőleges racionális szám periódusa van. Ebben az esetben a homogenitáshalmaz meglehetősen összetett szerkezetű lehet. Ha azonban minden egyes értékkészlet esetében a periodikus függvénynek legalább egy pontján van határértéke a változóban , akkor ennek a függvénynek vagy a legkisebb pozitív periódusa van (és az összes többi periódus a legkisebb pozitív periódus többszöröse), vagy egy állandó. a változóban $H(y,...)$ $\lambda$ ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n))$ $H(y,...)$ $y$ $y.$
A pontban definiált korlátosan homogén függvények alakja egy megfelelően kiválasztott függvény periodikus a változóban $x<0,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}), x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$ $y.$
A ponttal csökkentett teljes valós tengelyen definiált korlátosan homogén függvények alakja egy megfelelően kiválasztott függvény periodikus a változóban (ahol a jelölés hangsúlyozza, hogy az értékintervallumra és az értékintervallumra általában eltérő periodikus függvények vannak kiválasztva, mindegyik definíciós tartománnyal rendelkezik , de szükségszerűen azonos időszakkal). $x=0,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1} |,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),$
$H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),$ $y$ $H_{\pm }(\ldots )$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $H(y)$ $y\in (-\infty ,+\infty )$
A képlet univerzális, de nem tükrözi az összes változó egyenlőségét. Lehetőség van a függvény ábrázolására úgy, hogy ahol a függvény periódusa egyenlő a normalizációs tényezőtől nem függ, és a függvényt rögzítettnek választjuk. Egy ilyen jelöléssel a korlátosan homogén függvények formát öltenek _ _ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1} ,\ldots ,x_{n}/x_{1}),$ $H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )$ $G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\pontok ,t_{n}),t_{2},\pontok ,t_{n}\jobbra),$ $G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)$ $2\pi ,$ $w$ $t_{2},\dots ,t_{n},$ $W(t_{2},\dots ,t_{n})$
$f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots ,x_{ n}),$
$F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $q$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n))$ $2\pi$ $y,$ $Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$ $w$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},$ $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$
Az előző bekezdés periodikus függvényét Fourier- sorba bontva megkaphatjuk a kifejezést Ez a képlet a legáltalánosabb módja a darabonként folytonos, korlátosan homogén függvények írásának homogenitási sorrendben és homogenitási halmazban . Különösen, ha egy rögzített függvényt tetszőleges homogén függvények halmazával helyettesítünk , ez nem ad általánosságot ehhez a képlethez, hanem csak ugyanarra a korlátosan homogén függvényre diverzifikálja az ábrázolási formát. $F(y,x_{1},\ldots ,x_{n})$
$A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cos k\log Q(x_ {1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n} ),$
$A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $q,$ $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $w,$ $\Lambda =\{e^{mY}\},$ $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},$ $m$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.$ $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

Irodalomjegyzék: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen . - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Információ forrása: J.Pahikkala. Korlátozottan homogén függvény Archiválva : 2012. augusztus 23. a Wayback Machine -en ( PlanetMath.org ).

Kapcsolódó homogén függvények

[a rész még nincs megírva]

Forrás: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogén függvények és alkalmazásaik. Advances in Mathematical Sciences, 10. kötet (1955) 2. sz. 3, 3-70.

Kölcsönösen homogén függvények

[a rész még nincs megírva]

Forrás: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogén függvények és alkalmazásaik. Advances in Mathematical Sciences, 10. kötet (1955) 2. sz. 3, 3-70.

Néhány homogén függvényekhez kapcsolódó funkcionális egyenlet

1. Hagyjuk

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1) },x_{2},\pontok ,x_{n}\jobbra)

az intervallum valamely függvényéhez Mi legyen a függvény $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$

Megoldás. Megkülönböztetjük ennek a kapcsolatnak mindkét oldalát a Kapunk alapján $\lambda .$

x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{1)))))+x_{ 2 }{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{2)))))+\dots +x_{n} {\ frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{n))))={\frac {\partial C\left (\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\pontok ,x_{n}).

Különböztessük meg ugyanannak a relációnak mindkét oldalát, hogy megkapjuk a relációkat $x_{k},$

\lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial (\lambda x_{k)))))=C\left( \ lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k))}.

Innen

{\frac {1}{f(x_{1},\dots ,x_{n)))))\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots) , x_{n})}{\partial x_{1))}+\pontok +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_ { n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda } } .

A jobb oldal csak attól függ, a bal oldal csak attól függ , így mindkettő egyenlő ugyanazzal az állandóval , amit jelölünk. A feltételekből és feltételekből következik , hogy Ennélfogva egy homogén függvény homogenitási paraméterrel. külön vizsgálják, és nem érdekelnek. $\lambda ,$ $x_{1},x_{2},\pontok ,x_{n}$ $q.$ ${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q$ $C\left(1\right)=1$ $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $q.$ $C\left(\lambda \right)\equiv 0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\equiv 0$

Jegyzet. Nem szükséges olyan feltételt használni , általában véve, amely eredetileg nem volt megadva, és nem szükséges a függvényt az intervallumon kívülre kényszeríteni . Az egyenlőségtől $C\left(1\right)=1,$ $C\left(\lambda \right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$

{\frac {1}{f))\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f} {\partial x_{2))}+\ponts +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\right)=q

a homogén függvényekre vonatkozó Euler-tételből az is következik, hogy homogenitási paraméterrel rendelkező homogén függvény, tehát ebből különösen az következik, hogy ha a homogenitási reláció egy adott intervallumra érvényes, akkor mindenre érvényes $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$ $q.$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$ $\lambda>0.$

2. Hagyjuk

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\jobbra)

néhány rögzített és tetszőleges érték esetén Mi legyen a függvény $C\neq 0,$ $\lambda \neq 1$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?$

Megoldás. Ha ezután a problémát egy alacsonyabb dimenziójú funkcionális egyenletre redukáljuk $x_{1}=0,$

f\left(0,\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\dots ,x_{n}\right) ,

amíg nem redukálódik az esetre egy kézenfekvő válasszal .. Ezért a továbbiakban csak az esetet vizsgálhatjuk $f\left(0,0,\dots ,0\right)=Cf\left(0,0,\pontok ,0\jobbra)$ $f\left(0,0,\dots ,0\right)=0.$ $x_{1}\neq 0.$

Változóváltást végzünk, ekkor a funkcionális egyenlet is alakot ölt $x_{1}=y,$ $x_{2}=t_{2}\cdot y,$ $x_{3}=t_{3}\cdot y,$ $x_{n}=t_{n}\cdot y.$ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to F(y,t_{2},\dots ,t_{n})$

F\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right).

Külön meg kell vizsgálnunk az és és és a Legyen és az eseteket , majd az egyenlőség és a helyettesítés mindkét részének logaritmusának felvétele után megkapjuk a feltételt $C>0$ $C<0,$ $\lambda >0$ $\lambda <0,$ $y>0$ $y<0.$ $C>0,$ $\lambda >0$ $y>0.$ $\log y\to t,$ $\log F(y,\dots )\to \Phi (t,\pontok )$

\Phi \left(t+\log \lambda ,\dots \right)=\log C+\Phi \left(t,\dots \right),

ebből következik, hogy a következő alakja van: ahol egy olyan függvény, amely periodikus egy periódusos változóban . $\Phi \left(t,\dots \right)$ $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda .$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{ x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{ \log \lambda}}\right),

ahol egy olyan függvény, amely periodikus egy periódusos változóban, és kielégíti a szükséges funkcionális relációt $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $\log \lambda ,$ $x_{1}>0.$

A féltengely helyett helyettesítést használunk , és hasonló érvelés után megkapjuk a végső választ: $x_{1}<0$ $\log(-y)\to t$

a) ha akkor

x_{1}>0

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\jobb),

b) ha akkor

x_{1}<0

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2 }/x_{1},\dots x_{n}/x_{1}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\jobb),

vagy röviden

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\dots {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\jobbra)\exp \left({\frac {\log C\cdot \ log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

ahol a jelölés hangsúlyozza, hogy a for és for ezek általában két különböző periodikus függvény és , amelyek mindegyike definíciós tartománnyal és különböző értékekkel rendelkezik ehhez a tartományhoz, de ugyanakkor ugyanazzal a periódussal. $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\dots \right)$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $\Omega _{+}\left(t,\pontok \jobbra)$ $\Omega _{-}\left(t,\pontok \jobbra)$ $t\in (-\infty ,+\infty )$

Az esetet leegyszerűsíti, hogy a kapcsolatok láncolatából $C<0,$ $\lambda >0$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

követi az általunk már tárgyalt esetet. Tehát a függvény így írható fel $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\pontok {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\jobbra)\exp \left({\frac {\log |C|\ cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

ahol van valami periodikus függvény egy periódusos változóban Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük az eredeti egyenletbe, akkor az nem csak egy periódusos függvény, hanem egy periódusos antiperiodikus függvény $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log \lambda .$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$ $2\log \lambda ,$ $\log \lambda :$

\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\dots \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)

(Nyilvánvalóan a periódusellenesség periódusos periódusosságot jelent a ponttal ). Ennek az ellenkezője nyilvánvaló: az antiperiodikus függvényt tartalmazó képlet kielégíti a szükséges funkcionális egyenletet. $\log \lambda$ $2\log \lambda$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right)$

A tok további tulajdonsága, hogy a féltengelyek és féltengelyek hatnak egymásra. Tekintsük az esetet Akkor a kapcsolatok láncolatából $\lambda <0$ $y<0$ $y>0$ $y>0.$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\dots ,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\dots ,t_{n}\right)

ebből következik, hogy a függvénynek alakjával kell rendelkeznie $x_{1}>0$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2} }{x_{1}}},\pontok {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\jobbra)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_ {1}|}{\log |\lambda |}}\right),

ahol egy olyan függvény, amely periodikus egy változóban periódusos és definíciós tartományban. Azóta minden pozitív pont egy az egyhez negatív ponttal , amelynek értéke egyenlő . Ennek eredményeként, figyelembe véve a függvény periodicitását, a függvény a következőképpen kerül kiszámításra $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |$ $t\in (-\infty ,+\infty ).$ $\lambda <0,$ $x_{1}>0$ $\lambda x_{1}<0$ $Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right).$ $\Omega \left(t,\dots \right)$ $f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)$

a) at

x_{1}>0:

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{ 1}}},\pontok {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\jobbra)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}| }{\log |\lambda |}}\jobbra),

b) mikor

x_{1}<0:

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=sign(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda | ,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\pontok {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\jobbra)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),

ahol egy függvény periodikus egy periódusos változóban Könnyen ellenőrizhető, hogy az esetre így definiált függvény valóban kielégíti-e a kívánt funkcionális egyenletet $\Omega \left(t,\dots \right)$ $t$ $2\log |\lambda |.$ $f(x_{1},x_{2},\pontok,x_{n})$ $\lambda <0$ $x_{1}>0,$ $x_{1}<0.$

Jegyzet. Ha valamelyik függvény kielégíti a megadott funkcionális egyenletet némelyik esetén, akkor könnyen belátható, hogy ugyanazt a funkcionális egyenletet teljesíti más értékhalmazokra is , tehát ebben az esetben az ilyen párok halmaza bármely nullától eltérő egész értékre vonatkozik. ahol az egész számot úgy választjuk meg, hogy az értéke egy függvény legkisebb pozitív periódusa legyen. Bevezetjük a jelölést úgy, hogy megkapjuk a korlátosan homogén függvényeknek megfelelő feltételt. A helyettesítés a korlátosan homogén függvények ábrázolását a megszokott formába hozza. $C_{0},\lambda _{0},$ $\left(C,\lambda\right).$ $C_{0}>0,\lambda _{0}>0$ $\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$ ${\displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m))$ $k=\pm 1,\pm 2,\dots ,$ $m$ $|\log \lambda _{0}|/m$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$ ${\displaystyle q=\log C_{0}/\log \lambda _{0))$ $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$ $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$ $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$

3. További funkcionális egyenletek találhatók e cikk „Kapcsolódó homogén függvények” és „Kölcsönösen homogén függvények” című szakaszaiban.

Homogén általánosított függvények

Az általánosított függvények vagy eloszlások lineáris folytonos függvényekként definiálhatók az „elég jó” függvények terén. Homogén általánosított függvények esetén célszerű "kellően jó" függvényként tetszőleges nagyságrendű deriváltokkal rendelkező és bármely mértéknél gyorsabban csökkenő függvények ebben az esetbenbármely véges tartományba integrálható közönséges függvény a a funkcionális $\mathbb{S}$ $\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ $\left|x\right|\to \infty$ ${\frac {1}{\left|x\right|}}.$ $f(x)$

T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,

térben meghatározott és nyilvánvalóan lineáris és folytonos. Az általánosított függvények lehetővé teszik számos elemzési kérdés leegyszerűsítését (például minden általánosított függvénynek tetszőleges sorrendű deriváltja van, Fourier-transzformációt enged meg stb.), valamint legitimálják az olyan egzotikus objektumokat, mint a -függvény és származékai . . $\varphi \in \mathbb {S}$ $\delta$

A szokásos integrálható függvények esetében, amelyek homogének a homogenitás kitevőjével , a könnyen ellenőrizhető azonosság érvényes $f(x_{1},\dots ,x_{n}),$ $q,$

T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ pontok ,x_{n}\jobbra)\jobbra].\qquad \qquad \qquad (**)

Ezt az azonosságot tekintjük az általánosított homogén függvény definíciójának: a homogén általánosított függvény, amelynek homogenitási kitevője (általánosságban véve komplex), egy térben meghatározott lineáris folytonos függvény , amely kielégíti az azonosságot (**). $q$ $\varphi \in \mathbb {S}$

A kapcsolódó homogén általánosított függvényeket hasonló módon definiáljuk. A kapcsolódó homogén általánosított rendű függvény a homogenitás kitevőjével egy lineáris folytonos függvény, amely bármelyikre kielégíti a kapcsolatot $T_{k}\left[\varphi \right]$ $k$ $q$ $\lambda >0$

T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\dots ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ pontok ,x_{n}\jobbra)\jobbra]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2} ,\pontok ,x_{n}\jobbra)\jobbra],

ahol van valami adjunkt homogén általánosított függvény a harmadrendű homogenitás kitevőjével $T_{k-1}\left[\varphi \right]$ $(k-1)$ $q.$ $q$ $q.$

Példa. Az általánosított függvény egy homogén általánosított függvény, amelynek homogenitási kitevője van $\delta (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ${\megjelenítési stílus (-n)}$ $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0 ,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})].$

A homogén általánosított függvények vizsgálata lehetővé teszi, hogy értelmes jelentést adjunk a szinguláris szingularitású integráloknak, amelyek a szokásos értelemben nem integrálhatók. Tekintsünk például egy általánosított függvényt. Ez a függvény definiálva van, és mint könnyen ellenőrizhető, egy homogén általánosított függvény, amelynek homogenitási kitevője . A tesztfüggvény fix kiválasztásával az érték függvénynek tekinthető összetett változóról , és általánosságban elmondható, hogy az adott tartományon kívül is analitikusan folytatható. Mégpedig az egyenlőség jobb és bal oldala $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$ $Re(q)>-1$ $q.$ ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $\varphi \left(x\right)$ $q$

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+ \int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k) }(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1) }},

a változóban analitikusak és egymással azonosan egyenlőek a -ra . Az egyenlőség jobb oldala azonban értelmes és analitikus is -ra . Emiatt az egyenlőség jobb oldala a bal oldal analitikus folytatása -az egyenlőség oldala a Ennek eredményeként az egyenlőség $q$ $Re(q)>-1.$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n.$

T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{ 1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k! }}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1))),

lineáris folytonos függvényt definiál, amely az előzőleg definiált függvény kiterjesztése értékig . A for és for képletek ugyanazt az eredményt adják ugyanazokra az értékekre , amelyeknél mindkettőnek értelme van: ez a definíció konzisztens. A most mindenkire definiált általánosított függvény továbbra is homogén általánosított függvény, mivel a homogenitási reláció az analitikus folytatás mellett megmarad. ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n$ $Re(q)>-m$ $q,$ $T_{q}^{+},$ $q,$

Segítségével meghatározhatóak az integrál bármely komplexhez értelmes szabályosított értékei. Ez alól kivételek azok az egész értékek, ahol a regularizált integrál szinguláris: a függvénynek egy pontban egy változó függvényében van egy egyszerű pólusa, egy maradékot $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,$ $q.$ $q=-1,-2,\pontok ,-n,\pontok ,$ $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]$ $q$ $q=-n$ $\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.$

Ugyanezen séma szerint analitikusan folytatható az adjunkt homogén függvény , melynek segítségével az integrálok szabályos értékeit határozzuk meg, amelyeknek értelme van. $Re(q)\leq -1$ $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$ $Re(q)\leq -1.$

Hasonló, de összetettebb módon homogén általánosított függvényeket és a hozzájuk tartozó homogén általánosított függvényeket szerkesztjük változók esetére. A részletek az itt idézett irodalomjegyzékben találhatók. A homogén általánosított függvények elmélete lehetővé teszi, hogy az általánosított függvények terére alkalmazva konstruktív módon megértsük azokat a közönséges függvényeket, amelyek nem integrálható szingularitásokkal rendelkeznek – az ilyen függvények integráljainak kiszámítását, Fourier-transzformációjuk megtalálását stb. $n$

Irodalomjegyzék: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro . Homogén függvények és alkalmazásaik. Advances in Mathematical Sciences, 10. kötet (1955) 2. sz. 3, 3-70.

Homogén funkció

A homogén függvény alternatív definíciója

Tulajdonságok

Lambda homogén függvények

Euler operátor

Korlátozottan homogén függvények

Kapcsolódó homogén függvények

Kölcsönösen homogén függvények

Néhány homogén függvényekhez kapcsolódó funkcionális egyenlet

Homogén általánosított függvények

Lásd még