Törtintegró levezetés

Törtintegró levezetés
Fő téma	Fraktál kalkulus [d]
Törvényt vagy tételt leíró képlet	$\mathbb {D} ^{q}f$

A tört integro-differenciálás a matematikai elemzésben egy kombinált differenciálási / integrációs operátor , melynek sorrendje tetszőleges valós vagy komplex szám lehet. A törtszámításban használatos . Maga az operátor egy törtrend deriváltja/integrálja felvételének műveletét jelöli .

Az operátort általában a következőképpen jelölik: $\mathbb {D} _{t}^{q}.$

Definíciók

A három leggyakrabban használt képlet a következő:

A legegyszerűbb és leggyakrabban használt megfogalmazás. Ez a képlet a Cauchy iterált integrációs képlet tetszőleges sorrendjének általánosítása .

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t -\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau ,$

ahol .

n=\lceil q\rceil

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}( -1)^{j}{q \choose j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\jobbra]\jobbra).$

Formálisan hasonló a Riemann-Liouville-integro-derivációhoz, de kiterjed a periódusos függvényekre is, amelyekben az időszak alatt nulla integrál.

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

A Fourier-térben a differenciálás a szorzatnak felel meg:

{\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\ right]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].

Ezért,

\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\ },

ami abból fakad

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F} [f(t)]\jobbra\}.

Az itt jelzett Laplace transzformáció alatt a differenciálást szorzás váltja fel $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].

Tetszőleges differenciálási sorrendre általánosítva és az egyenletet megoldva megkapjuk $\mathbb {D} ^{q}f(t)$

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f( t)]\jobbra\}.

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+ \mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).

\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.

\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{qj}g(t).

\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b }f(t).

általában nem elégedett [1] .

↑ lásd a 2.4 tulajdonságot (75. o.) Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Theory and Applications of Fractional Differential Equations. – Elsevier, 2006.

Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Törtintegrálok és deriváltok és néhány alkalmazása . - Mn. : Tudomány és technika, 1987. - 688 p.
Pskhu AV Egyenletek törtrendű parciális deriváltokban. - M. : Nauka, 2005. - 199 p.
Nakhushev A. M. A törtszámítás és alkalmazása. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 272 p. — ISBN 5-9221-0440-3 .
Uchaikin VV Törtszármazékok módszere. - Uljanovszk: Artishok, 2008. - 512 p. - 400 példány. - ISBN 978-5-904198-01-5 .

Tarasov VE Az elméleti fizika modelljei tört integro-differenciálással. - M. , Izhevsk: RHD, 2011. - 568 p.
Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ A törtdifferenciálegyenletek elmélete és alkalmazásai. – Amszterdam: Elsevier, 2006.
Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI Törtintegrálok és származékok elmélete és alkalmazásai. – New York: Gordon és Breach, 1993.
Miller K., Ross B. Bevezetés a törtszámításba és a törtdifferenciálegyenletekbe. – New York: Wiley, 1993.
Mainardi F. Törtszámítás és hullámok a lineáris viszkoelaszticitásban: Bevezetés a matematikai modellekbe. - Imperial College Press, 2010. - 368 p.
Podlubny I. Törtdifferenciálegyenletek . - San Diego: Academic Press, 1999.
Ross B. A törtszámítás alapvető elméletének rövid története és kifejtése // Lect. Jegyzetek Math. - 1975. - 1. évf. 457. - P. 1-36.
Tarasov VE . Törtdinamika: A törtszámítás alkalmazása részecskék, mezők és közegek dinamikájára . - Springer, 2010. - 450 p.
Uchaikin VV tört származékok fizikusok és mérnökök számára . - Springer, Higher Education Press, 2012. - 385 p.