Decimális

A tizedes tört egyfajta tört, amely a valós számok alakban való ábrázolásának módja

\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots

ahol

\délután

- törtjel : vagy , vagy ,

+

-

,

- tizedesvessző , amely elválasztóként szolgál a szám egész és tört része között ( a FÁK-országok szabványa ) [1] ,

d_{k}

- decimális számjegyek . Sőt, a vessző előtti számsor (tőle balra) véges (legalább egy számjegy), a vessző után pedig (jobbra) lehet véges (különösen a vessző utáni számjegyek). hiányozhat teljesen) vagy végtelen.

Példák:

$123{,}45$ (tizedes vége)
Egy szám $\pi$ ábrázolása végtelen tizedesjegyként: $3{,}1415926535897...$

A tizedesjegy értéke valós szám $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$

\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1} }\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),

véges vagy végtelen számú tag összegével egyenlő .

A valós számok tizedesjegyekkel történő ábrázolása az egész számok decimális jelöléssel történő írásának általánosítása . Egy egész szám decimális ábrázolásából hiányoznak a tizedesvessző utáni számjegyek, így az ábrázolás igen

\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},

ami egybeesik ennek a számnak a decimális számrendszerbeli jelölésével.

Véges és végtelen tizedesjegyek

Véges törtek

A tizedesjegyet végesnek nevezzük, ha a tizedesvessző után véges számú számjegyet tartalmaz (különösen egyet sem), azaz alakja

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n

Definíció szerint ez a tört számot jelent

\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Könnyen belátható, hogy ez a szám a forma közönséges törtrészeként ábrázolható, melynek nevezője tíz hatványa. Ezzel szemben a formájú bármely szám , ahol egy egész szám és egy nem negatív egész szám, felírható véges tizedes törtként. $p/10^{{s}}$ $p/10^{{s}}$ $p$ $s$

Ha egy közönséges törtet redukálhatatlan alakra redukálunk, a nevezője így fog kinézni . Így a valós számok véges tizedes törtként való ábrázolhatóságáról szóló következő tétel teljesül. $p/10^{{s}}$ $2^{{m}}5^{{n}}$

Tétel. Egy valós szám akkor és csak akkor ábrázolható véges tizedes törtként, ha racionális, és ha irreducibilis törtként írjuk fel , a nevezőnek nincsenek más prímosztói , mint és . $p/q$ $q$ $2$ $5$

Végtelen törtek

Végtelen decimális

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots

definíció szerint valós számot jelent

\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Ez a sorozat konvergál , függetlenül a nem negatív egész és decimális számjegyektől . Ez a tétel abból adódik, hogy részösszegeinek sorozata (ha a tört előjelét eldobjuk) fölötte egy szám határolja (lásd a pozitív előjelű sorozatok konvergenciájának kritériumát ). $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{0}+1$

Valós számok ábrázolása tizedesjegyekkel

Így bármely véges vagy végtelen tizedes tört valamilyen jól meghatározott valós számot jelent. Maradtak a következő kérdések:

Bármely valós szám ábrázolható tizedesként?
Ez az egyetlen reprezentáció?
Mi az algoritmus egy szám decimálisra bontására?

Ezeket a problémákat az alábbiakban kiemeljük.

Algoritmus egy szám tizedes törtre való kiterjesztésére

Az alábbiakban ismertetjük a tizedes tört összeállításának algoritmusát , amely a reprezentációja. $\alpha$

Nézzük először az esetet . Oszd fel a teljes számegyenest egész pontokkal egységnyi hosszúságú szakaszokra. Tekintsük azt a szakaszt , amely a pontot tartalmazza ; Abban a speciális esetben, amikor a pont két szomszédos szegmens vége, a megfelelő szakaszt úgy választjuk ki , mint . $\alpha \geqslant 0$ $I_0$ $\alpha$ $\alpha$ $I_0$

Ha egy nemnegatív egész számot jelölünk, amely a szegmens bal vége, -n keresztül , akkor a következőt írhatjuk: $I_0$ $a_{0}$

I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]

A következő lépésben a szakaszt tíz egyenlő részre osztjuk pontokkal $I_0$

a_{0}+b/10,\;b=1,\lpontok ,9

és tekintsük azoknak a hosszúságú szakaszoknak a hosszúságát , amelyeken a pont fekszik ; Abban az esetben, ha ez a pont két szomszédos szegmens vége, akkor ebből a két szegmensből ismét kiválasztjuk a megfelelőt . $1/10$ $\alpha$

Nevezzük ezt a szegmenst . Úgy néz ki: $I_1$

I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10} }\jobb]

Hasonló módon folytatjuk a számegyenes finomítását és a pont helyzetének egymás utáni finomítását . $\alpha$

A következő lépésben a pontot tartalmazó szakaszt tíz egyenlő szakaszra osztjuk, és ezek közül választjuk ki azt a szakaszt , amelyen a pont található ; abban az esetben, ha ez a pont két szomszédos szegmens vége, ebből a két szegmensből választjuk ki a megfelelőt . $I_{{n-1}}$ $\alpha$ $Ban ben}}$ $\alpha$

Ezt a folyamatot folytatva megkapjuk az űrlap szegmenseinek sorozatát $I_{0},I_{1},\ldots$

I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\lpont +{\frac {a_{n}}{10^{n}} }\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+ {\frac {1}{10^{n}}}\jobbra]

ahol egy nemnegatív egész szám, és olyan egész számok, amelyek kielégítik az egyenlőtlenséget . $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$

A felépített szegmenssorozat a következő tulajdonságokkal rendelkezik: $I_{0},I_{1},\ldots$

A szegmensek egymás után egymásba vannak ágyazva: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Szegmensek hossza $|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\lpont$
A pont a sorozat összes szegmenséhez tartozik $\alpha$

Ezekből a feltételekből következik, hogy létezik egy beágyazott szegmensek rendszere , amelyek hossza nullára hajlamos , és a pont a rendszer összes szegmensének közös pontja. Ez azt jelenti, hogy a szegmensek bal végeinek sorozata egy ponthoz konvergál (analóg állítás igaz a jobb oldali végek sorozatára is), azaz. $I_{0},I_{1},\ldots$ $n\to\infty$ $\alpha$ $\alpha$

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\to \alpha

nál nél

n\to\infty

Ez azt jelenti, hogy a sor

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

konvergál -hoz , és így a tizedeshez $\alpha$

a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots

egy szám reprezentációja . Így egy nem-negatív szám tizedes törtre való kiterjesztése található. $\alpha$ $\alpha$

A kapott tizedes tört konstrukció alapján végtelen. Ebben az esetben kiderülhet, hogy egy bizonyos számtól kezdve a tizedespont utáni összes tizedesjegy nulla, vagyis a tört alakja

a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots

Könnyen belátható, hogy ez a lehetőség abban az esetben valósul meg, ha a pont egy lépésben egybeesik a valós egyenes egyik osztási pontjával. Ebben az esetben összesen eldobva $\alpha$

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

nulla tagok esetén azt kapjuk, hogy a szám egy véges tizedes törttel is ábrázolható $\alpha$

a_0{,} a_1 \ldots a_n

Általában világos, hogy ha a tizedesvessző után tetszőleges számú nullát (beleértve a végtelent is) hozzáadunk a tizedestört végéhez, akkor nem változtatjuk meg a tört értékét. Így ebben az esetben a szám egy véges és egy végtelen tizedes törttel is ábrázolható (ezt az elsőből kapjuk meg, végtelen számú nulla hozzárendelésével). $\alpha$

Így a nem negatív esete . Negatív esetén ennek a számnak a decimális ábrázolásaként vehetjük az ellentétes pozitív szám ábrázolását, mínusz előjellel. $\alpha$ $\alpha$

A fenti algoritmus lehetőséget ad egy tetszőleges valós szám tizedes törtre való kiterjesztésére. Ez a következőket bizonyítja

Tétel. Bármely valós szám ábrázolható tizedesként.

Arkhimédész axiómájának szerepéről

A valós szám tizedes törtre bontásának adott algoritmusa lényegében a valós számok rendszerének Arkhimédész axiómának nevezett tulajdonságára támaszkodik .

Ezt a tulajdonságot kétszer használták az algoritmusban. A konstrukció legelején egy egész számot választottunk úgy, hogy a valós szám és a következő egész szám között legyen : $a_{0}$ $\alpha$ $a_{0}$ $a_{0}+1$

a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\in {\mathbb {Z))

Egy ilyen egész létezését azonban még bizonyítani kell: nem lehet kizárni például annak lehetőségét, hogy bármilyen legyen is az egész szám , az egyenlőtlenség mindig bekövetkezik . Ha ez az eset megtörtént volna, akkor nyilvánvalóan nem találták volna meg a szükséges számot. $a_{0}$ $n$ $n\leqslant \alpha$ $a_{0}$

Ezt a lehetőséget pontosan kizárja Arkhimédész axiómája, amely szerint bármilyen szám is legyen, mindig van olyan egész szám , hogy . Most a számok közül vesszük a legkisebbet, amelyik rendelkezik a tulajdonsággal . Akkor $\alpha$ $n$ $n>\alpha$ $k=1,\ldots ,n$ $k>\alpha$

k-1\leqslant \alpha<k

A kívánt szám megtalálható: . $a_{0}=k-1$

Másodszor Arkhimédész axiómáját implicit módon használták a sorozat szakaszai hosszának nullára való hajlásának bizonyítására : $I_{0},I_{1},I_{2},\lpontok$

\lim _{{n\to \infty }}10^{{-n}}=0

Ennek a tételnek a szigorú bizonyítéka Arkhimédész axiómáján alapul. Bizonyítsuk be az ekvivalens összefüggést

\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty

Arkhimédész axiómája szerint, bármilyen is legyen a valós szám , a természetes számok sorozata valamely számból kiindulva felülmúlja azt. És mivel mindenki számára egyenlőtlenség van $E>0$ $1,2,\lpont$ $n$

10^{n}>n

akkor a sorozat is felülmúlja a -t , ugyanabból a számból indulva. A numerikus sorozat határértékének definíciója szerint ez azt jelenti, hogy . $10^{n}$ $E$ $\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$

A decimális ábrázolás kétértelműsége

A fenti algoritmus segítségével tetszőleges valós számra megszerkeszthetjük ezt a számot reprezentáló tizedes törtet. Előfordulhat azonban, hogy ugyanaz a szám más módon is ábrázolható tizedesként. $\alpha$ $\alpha$

A számok tizedes tört formában történő ábrázolásának nem egyedisége már abból a triviális tényből következik, hogy a tizedesvessző után jobbra nullákat rendelve a végső törthez, formálisan eltérő, azonos számot képviselő tizedes törteket kapunk.

Azonban még ha azonosnak tekintjük is a véges vagy végtelen számú nullák egymáshoz rendelésével kapott törteket, egyes valós számok ábrázolása továbbra is nem egyedi.

Vegyük például a tizedesjegyet

0{,}99\lpont

Definíció szerint ez a tört egy szám reprezentációja . Ez a szám azonban tizedesként is ábrázolható . Valójában a valós számok akkor és csak akkor különböznek egymástól, ha közéjük még egy valós számot lehet beilleszteni, amely nem esik egybe önmagukkal, de harmadik szám és közé nem illeszthető be . $0+9/10+9/100+\ldots=1$ $1{,}00\lpont$ $a,b$ $a,b.$ $0{,}99\lpont$ $1{,}00\lpont$

Ez a példa általánosítható. Kimutatható, hogy a törtek

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

és

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

ahol , ugyanazt a valós számot jelenti. $a_{n}\neq 9$

Kiderült, hogy ez az általános példa kimeríti a valós számok tizedes törtként való megjelenítésének minden kétértelműségét. Ugyanakkor természetesen nem vesszük figyelembe a törtek triviális eseteit, amelyeket úgy kapunk, hogy a végén nullákat rendelünk egymáshoz, valamint egy törtpárt és . $+ 0{,}00 \lpont$ $- 0{,}00 \lpont$

Ezeket az eredményeket a következő tételben foglalhatjuk össze.

Tétel. Minden valós szám , amely nem reprezentálható a formában , ahol egy egész szám, nem negatív egész szám, egyedi ábrázolást tesz lehetővé tizedes tört formájában; ez a tört végtelen. $\alpha$ $p/10^{s}$ $p$ $s$

Az űrlap bármely valós száma egynél több módon is ábrázolható tizedesként. Ha , akkor ábrázolható mind véges tizedes törtként, mind végtelen törtként, amelyet úgy kapunk, hogy nullákat rendelünk a tizedesvessző utáni véghez, és végtelen törtként, amely -re végződik . Egy szám ábrázolható az alak törtrészeivel és az alak törteivel is . $\alpha =p/10^{s}$ $\alpha \neq 0$ $999\ldots$ $\alpha = 0$ $+0{,}00 \lpont$ $-0{,}00 \lpont$

Megjegyzés. A -ra végződő végtelen törteketa fenti algoritmusban mindig a bal oldali szegmenst választjuk a jobb oldali helyett. $999\ldots$

Extra nullák és hiba

Megjegyzendő, hogy a közelítő számítások szempontjából egy tizedes tört nullákkal a végén nem teljesen azonos a nullák nélküli írással.

Általánosan elfogadott , hogy ha a hiba nincs feltüntetve, akkor a tizedes tört abszolút hibája megegyezik az utolsó kisütött számjegy egységének felével, azaz. a számot a kerekítési szabályok szerint kapjuk [2] . Például a "3.7" bejegyzés azt jelenti, hogy az abszolút hiba 0,05. És a "3.700" bejegyzésben az abszolút hiba 0.0005. Egyéb példák:

"25" - az abszolút hiba 0,5 (egy ilyen rekord a 25 pontos értékét is jelentheti: például 25 darab);
"2,50∙10⁴" - az abszolút hiba 50;
"25,00" - az abszolút hiba 0,005.

Periodikus tizedesjegyek

Definíció és tulajdonságok

A végtelen tizedes törtet periodikusnak nevezzük, ha a tizedesvessző utáni, valahonnan kiinduló számsora periodikusan ismétlődő számjegycsoport. Más szavakkal, a periodikus tört egy tizedes tört, amely így néz ki

\pm a_{0},a_{1}\lpontok a_{m}\zárójel {b_{1}\lpontok b_{l}}\bezárás {b_{1}\lpontok b_{l}}\lpontok

Az ilyen törtet általában a formába írják

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})

Az ismétlődő számjegycsoportot a tört periódusának nevezzük , a számjegyek száma ebben a csoportban a periódus hossza. $b_{1}\ldots b_{l}$

Ha egy periodikus törtben a periódus közvetlenül a tizedesvessző után következik, akkor a törtet tiszta periodikusnak nevezzük . Ha a tizedesvessző és az első pont között számok vannak, a törtet vegyes periodikusnak , a tizedesvessző utáni számcsoportot pedig a pont első jeléig a tört előperiódusának nevezzük. Például egy töredék tiszta periodikus, míg egy töredék vegyes periodikus. $1{,}(23) = 1{,}2323 \lpont$ $0{,}1(23)=0{,}12323 \lpont$

A periodikus törtek fő tulajdonsága, ami miatt megkülönböztetik őket a tizedes törtek teljes halmazától, hogy a periodikus törtek és csak racionális számokat képviselnek . Pontosabban a következő felvetés igaz.

Tétel. Bármely végtelen periodikus tizedes tört racionális számot jelent. Ezzel szemben, ha egy racionális szám végtelen tizedes törtté bővül, akkor ez a tört periodikus.

Kimutatható, hogy a tisztán periodikus törtek racionális számoknak felelnek meg, amelyekben a nevezőnek nincs prímosztója és , valamint a racionális számoknak , amelyekben a nevezőben csak prímosztók és . Ennek megfelelően a vegyes periodikus törtek irreducibilis törteknek felelnek meg , amelyek nevezőjének mind egyszerű osztója van , mind pedig különbözik tőlük. $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$

Periodikus tizedes szám átalakítása köztörtté

Tételezzük fel, hogy adott egy 4-es periódusú periodikus tizedes tört, amelyet megszorozva a tizedesvessző után kapunk egy nagy tört azonos számjegyekkel. Kivonva azt az egész részt ( ), amellyel a tört a szorzása után nőtt, megkapjuk az eredeti törtet ( ) [3] : $x=0{,}(1998)$ $10^{4}=10000$ $10000x=1998{,}(1998)$ $1998$ $x$
$10000x-1998=x$
$\Jobb nyíl$
$10000x-x=1998$
$\Jobb nyíl$
$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$

A tizedesjegyek kiejtése

Oroszul a tizedes törteket így olvassuk: először az egész részt ejtik ki, majd az „egész” szót (vagy „egész”), majd a tört részt, mintha az egész szám csak ebből a részből állna, vagyis a számlálóból. a tört egy mennyiségi női szám (egy, kettő, nyolc stb.), a nevező pedig egy sorszám (tized, század, ezredik, tízezredik stb.).

Például: 5,45 - öt egész, negyvenöt századrész.

Hosszabb számok esetén a tizedes részt néha ezres hatványokra bontják . Például: 0,123 456 - nulla pont, százhuszonhárom ezredrész, négyszázötvenhat milliomod.

A gyakorlatban azonban – gyakran racionálisabb módon – egy ilyen kiejtés érvényesül: az egész rész, az „és” egyesülés (gyakran kihagyják), a tört rész.

Például: 5,45 - öt és negyvenöt; (öt negyvenöt).

Ismétlődő tizedesjegyeknél mondjuk ki a számnak a pont előtti részét (tisztán ismétlődő tört esetén egész számként, vegyes ismétlődő tört esetén pedig végső tizedesként kifejezve), majd adjuk hozzá a számot a ponthoz. . Például: 0,1(23) - nulla egész szám, egy tized és huszonhárom a periódusban; 2,(6) két egész szám és hat a periódusban.

Történelem

A tizedes törtekkel először Kínában találkoztak az i.sz. 3. századból. e. a számlálótáblán történő számolásnál ( suanpan ). Az írott forrásokban a tizedes törteket egy ideig a hagyományos (nem pozicionális) formátumban ábrázolták, de fokozatosan a helyrendszer váltotta fel a hagyományost [4] .

A timurida matematikus és csillagász Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) "Az aritmetika kulcsa" című értekezésében a tizedes törtek feltalálójának vallotta magát, bár ezek megtalálhatók Al-Uklidisi munkáiban , aki élt. 5 évszázaddal korábban [5] .

Európában a tizedes törteket eredetileg egész számként írták fel valamilyen egyeztetett skálán; például Regiomontanus (1467) trigonometrikus táblázatai 100 000-szeresére növelt, majd a legközelebbi egész számra kerekített értékeket tartalmaztak. Az első tizedes törteket Európában Immanuel Bonfils vezette be 1350 körül, 1579-ben Viet próbálta népszerűsíteni a használatukat . Ám csak Simon Stevin „A tizedik” című művének (1585) [6] megjelenése után terjedtek el .

Lásd még

Jegyzetek

↑ A " " vesszőjelet - tizedesvesszőt - a tizedes tört egész számának és tört részeinek elválasztójaként Oroszországban, az európai országokban (Nagy-Britannia és Írország kivételével) és sok más olyan országban alkalmazzák, amelyekre kulturális hatásuk volt. Az angol nyelvű országokban és azokban az országokban, amelyekre befolyásuk volt, a „ ” pontjelet használják erre - egy tizedesvesszőt ( angol decimal point ), a vesszőjelet pedig a szám egész részének számjegyeinek csoportosítására. három tizedesjegyet (az úgynevezett számcsoportok elválasztóját , Oroszországban a megszakítás nélküli szóköz karaktert "") használjuk erre. Például egy tizedes tört az orosz szabványban így fog kinézni: , az angolban pedig így: . A részletekért lásd: Tizedes elválasztó . $,$ $.$ ${\frac {1~000~000}{3))$ ${333~333{,}333333}(3)$ ${~333,333.333333(3)}$
↑ Vygodsky M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve. - M . : Állami Műszaki és Elméleti Irodalmi Kiadó, 1954. - 412 p.
↑ Enciklopédia gyerekeknek . - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematika. — ISBN 5-8483-0015-1 . , 179. oldal
↑ Jean-Claude Martzloff . A kínai matematika története. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. Matematika a középkori iszlámban // Egyiptom, Mezopotámia, Kína, India és az iszlám matematikája: Forráskönyv . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - 518. o . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. John Napier, 1550-1617. - M . : Nauka, 1980. - S. 197-204. — 226 p. — (Tudományos és életrajzi irodalom).