Kiegészítés

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

Az összeadás ( összeadás [2] ) két argumentum (tag) egyik alapvető bináris matematikai művelete ( aritmetikai műveletei) , melynek eredménye egy új szám ( összeg ), amelyet úgy kapunk, hogy az első argumentum értékét növeljük az értékkel. a második érv. Vagyis a halmaz minden elempárjához hozzá van rendelve egy elem , az összeg és az . Ez az aritmetika négy elemi matematikai műveletének egyike . Prioritása a normál műveleti sorrendben megegyezik a kivonás prioritásával $(a,b)$ $A$ $c=a+b$ $a$ $b$ , de alacsonyabb, mint a hatványozás , gyökérkivonás , szorzás és osztás [3] . Írásban a kiegészítést általában pluszjellel jelölik : . Az összeadás csak akkor lehetséges, ha mindkét argumentum ugyanahhoz az elemkészlethez tartozik (azonos típusú ). Tehát a jobb oldali képen a szócikk három almát és két almát együtt jelent, ami összesen öt almát ad. De nem adhat hozzá például 3 almát és 2 körtét. $a+b=c$
$3+2$

A szisztematikus általánosítások segítségével az összeadás definiálható absztrakt mennyiségekre, például egészekre , racionális számokra , valós számokra és komplex számokra , valamint más absztrakt objektumokra, például vektorokra és mátrixokra .

Az összeadásnak számos fontos tulajdonsága van (például: ) (lásd Összegzés ): $A=$ $\mathbb {R}$

Kommutativitás : $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A;$
Aszociativitás : $(a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A;$
Eloszlás : és $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b)$ $(a+b)\cdot x=(a\cdot x)+(b\cdot x),\quad \forall a,b\in \ A;$
A (nulla elem) hozzáadásával az eredetivel megegyező számot kapunk: $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

A kis számok összeadása az egyik első olyan készség, amelyet a gyerekeknek általános iskolában tanítanak.

Különféle kiegészítő eszközök ismeretesek az ősi abakuszoktól a modern számítógépekig .

Formák és terminológia

A kiegészítést a „+” pluszjellel írjuk a kifejezések közé; ezt a jelölési formát infix jelölésnek nevezzük . Az eredményt egyenlőségjellel írjuk fel . Például,

$a+b=c$ ("a plusz egyenlő ce")
$1+1=2$ ("egy plusz egy egyenlő kettő")
$2+2=4$ ("kettő plusz kettő egyenlő négy")
$5+4+2=11$ (lásd lent az "asszociativitás" )
$3+3+3+3=12$ (lásd lent a "szorzást" )

Számos esetben az összeadást feltételezik, de az összeadás szimbólumokat nem használjuk:

A számok jelölésénél a helyzeti számrendszerekben: a szám jelölése egy sorozat összegzését jelenti [4] . $a_{n-1}\;a_{n-2}\ldots \;a_1\;a_0,$ $a_{n-1}\cdot P^{n-1}+a_{n-2}\cdot P^{n-2}+\ldots +a_{1}\cdot P^{1}+ a_{0}\cdot P^{0}$
Ha van olyan számoszlop, amelyben az utolsó (alsó) szám alá van húzva , akkor általában úgy értendő, hogy az ebben az oszlopban lévő összes szám összeadódik, és a kapott összeget az aláhúzott szám alá írjuk.
Ha van olyan bejegyzés, amikor a tört előtt egy egész szám van , akkor ez a bejegyzés két tag – egy egész és egy tört – összegét jelenti, amelyet vegyes számnak nevezünk [5] . Például
3½ = 3 + ½ = 3,5.
Ez a jelölés zavart okozhat, mivel a legtöbb esetben egy ilyen jelölés szorzást jelent , nem összeadást [6] .

A kapcsolódó számok sorozatának összege a Σ szimbólummal írható fel, amely lehetővé teszi az iteráció kompakt felírását . Például,

\sum _{k=1}^{5}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55.

Az addendumok számok vagy objektumok összeadva [7] .

A pluszjel "+" ( Unicode :U+002B; ASCII : +) az "és" jelentésű latin "et" szó leegyszerűsítése [8] . Ez a szimbólum először 1489-től található könyvekben [9]

Értelmezések

Az összeadást számtalan fizikai folyamat modellezésére használják. Még a természetes számok egyszerű összeadásánál is sokféle értelmezés létezik, és még több módja van a vizuális ábrázolásnak.

Halmazok kombinálása

Az összeadás talán legalapvetőbb értelmezése a halmazok kombinációja:

Ha két vagy több nem átfedő jellemzőkészletet egyesítenek egy halmazba, akkor az eredményhalmazban lévő jellemzők száma megegyezik az eredeti halmazokban lévő jellemzők számának összegével.

Ez az értelmezés könnyen vizualizálható, és a kétértelműség kockázata minimális. Nem világos azonban, hogyan magyarázzuk meg a tört vagy negatív számok összeadását az összeadás ezen értelmezésével [10] .

Az egyik lehetséges megoldás az lenne, ha egy könnyen elválasztható objektumhalmazra hivatkoznánk, például szeletekkel ellátott lepényekre vagy rudak [11] . A szegmenskészletek kombinálása helyett a rudak a végükön egymáshoz rögzíthetők, ami egy másik összeadási koncepciót illusztrál: nem a rudak adódnak össze, hanem a hosszuk.

Hosszhosszabbítás

A kiegészítés második értelmezése a kezdeti hossz kiterjesztése a hozzáadott hossz mértékével:

Ha a kezdeti hosszt meghosszabbítjuk a hozzáadott hosszúsággal, akkor a kapott hossz egyenlő a kezdeti hossz és a hozzá adott hossz összegével [12] .

Az a + b összeg értelmezhető a és b bináris uniójaként algebrai értelemben, és úgy is értelmezhető, hogy az a számhoz b egyest adunk . Utóbbi értelmezésben az a + b összeg részei aszimmetrikus szerepet játszanak, és az a + b műveletet úgy tekintjük, mint amely a + b unáris műveletet alkalmazza az a számra [13] . Az unáris megközelítés lehetővé teszi, hogy továbblépjen a kivonásra , mivel minden unáris összeadási műveletnek van egy inverz unáris kivonási művelete, és fordítva.

Tulajdonságok

A numerikus halmazokon végzett összeadási művelet a következő fő tulajdonságokkal rendelkezik: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Kommutativitás

Az összeadás kommutatív - az összeg nem változik a kifejezések helyének változásától (ezt a tulajdonságot az összeadás kommutatív törvényének is nevezik ): Vannak más kommutatív törvények: például létezik a szorzás kommutatív törvénye. Sok bináris művelet azonban , mint például a kivonás és az osztás, nem kommutatív. $a+b=b+a,\quad \forall a,b\in \ A.$

Aszociativitás

Az összeadás asszociatív - ha három vagy több szám összeadása egymás után történik, a műveletek sorrendje nem számít ( az összeadás asszociatív törvénye ): ${\megjelenítési stílus (a+b)+c=a+(b+c),\quad \forall a,b,c\in \ A.}$

Distributivitás

Az összeadás disztributív , ez két, ugyanazon a halmazon definiált bináris művelet konzisztencia tulajdonsága ( disztributív törvény ) [14] : $x\cdot (a+b)=(x\cdot a)+(x\cdot b),\quad \forall a,b\in \ A.$

Semleges elem

Ami az összeadást illeti, csak egy semleges elem van a halmazban , egy szám (nulla vagy semleges elem) összeadása az eredetivel megegyező számot ad: $A$ $0$ $x+0=0+x=x,\quad \forall x\in A,\quad \exists 0\in A.$

Ezt a törvényt először Brahma átdolgozott traktátusában írták le, amelyet Brahmagupta írt 628-ban. Ezt a törvényt három különálló törvény formájában írta: egy negatív, pozitív és nulla számra , valamint e törvények leírására. szavakat használt, nem algebrai szimbólumokat. Később az indiai matematikusok finomították a fogalmakat; 840 körül Mahavira azt írta, hogy "nulla azzá válik, mint ami hozzá van adva", ami a 0 + a = a jelölésnek felel meg . A 12. században II. Bhaskara ezt írta: „Ha semmit nem adunk hozzá, vagy semmit nem vonnak ki, akkor a mennyiség, legyen az pozitív vagy negatív, ugyanaz marad, mint volt”, ami megfelel az a + 0 = a jelölésnek [ 15 ] .

Inverz elem

Az ellenkező elemmel való összeadás a következőt kapja : [16] $0$ $a+(-a)=0,\quad \forall a\in A,\quad \exists -a\in A.$

Ráadásul az összeadás nem viszi az eredményt a megadott számkészleten kívülre, ezért az összeadás művelet alatt zárva vannak. Ezek a halmazok műveletekkel és gyűrűket alkotnak ( kommutatív gyűrűk azonossággal) [17] . Az általános algebra nyelvén az összeadás fenti tulajdonságai azt mondják, hogy az összeadás műveletét tekintve Abel- csoportok . $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+$ $\cdot$ $\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Hozzáadás végrehajtása

Az összeadási művelet egyfajta „ fekete dobozként ” ábrázolható, amelynek a bemenetén két és egy kimeneti kifejezés található – az összeg: [18] [19]

A két szám összeadásának feladatának gyakorlati megoldása során le kell redukálni egy egyszerűbb műveletsorra: "egyszerű összeadás" , átvitel, összehasonlítás stb. Ehhez különféle összeadási módszereket fejlesztettek ki, például számokhoz, törtekhez, vektorokhoz stb. Numerikus halmazokon a bitenkénti összeadás algoritmusát használják [20] . Ebben az esetben az összeadást eljárásnak kell tekinteni (nem művelettel).

Példaszerű algoritmus két szám bitenkénti összeadására [21]

Amint látható, az eljárás meglehetősen bonyolult, viszonylag sok lépésből áll, és nagy számok hozzáadásakor hosszú ideig tarthat.

"Egyszerű összeadás" - ebben az összefüggésben egyjegyű számok összeadásának műveletét jelenti, amely egyszerűen növekményre csökkenthető . Egy növekményes hiperoperátor :

$a+b=\operátornév {hiper1} (a,b)=\operátornév {hiper} (a,1,b)=a^{(1)}b.$

$a{^{(1)}}b=a+b=\kapcsos zárójel {1+1+\pontok +1} _{a}+\zárójel {1+1+\pontok +1} _{b }.$

ahol az elvégzett növekvő műveletek sorrendje és időpontja. $1+1+\dots +1$ $a$ $b$

Veleszületett képesség

Az 1980-as években megkezdett matematikai fejlesztési kutatások a megszokás jelenségét vizsgálták : a csecsemők hosszabb ideig néznek a váratlan helyzetekre [22] . Karen Winn 1992-es kísérlete Miki egér babákat használt , amelyeket különféle módon manipuláltak a képernyő mögött Ez a kísérlet kimutatta, hogy az 5 hónapos csecsemők azt várják , hogy 1 + 1 2, és meglepődnek, ha 1 + 1 az 1 vagy 3. Ezt az eredményt később más laboratóriumokban, különböző módszerekkel megerősítették [23] . Egy másik kísérlet 1992-ben idősebb, 18 és 35 hónap közötti kisgyermekekkel a gyermekek motorikus készségeinek fejlesztését használta, lehetővé téve számukra, hogy ping-pong labdákat vegyenek ki a dobozból; a fiatalabb srácok jól bírták a kis számú labdát, az idősebbek megtanulták az összeget 5-ig számolni [24] .

Még egyes állatok is képesek hajtogatni, különösen a főemlősök . Az 1995-ös kísérlet hasonló volt Winn 1992-es kísérletéhez, de babák helyett padlizsánt használtak . Kiderült, hogy a rhesus majmok és az ödipális tamarinok az emberi babákhoz hasonló képességeket mutatnak. Sőt, egy csimpánz , miután megtanították megkülönböztetni és megérteni a 0-tól 4-ig tartó arab számok jelentését , képes volt kiszámolni két szám összegét mindenféle képzés nélkül [25] . Később kiderült, hogy az ázsiai elefántok képesek elsajátítani az alapvető számtani műveleteket [26] .

Hozzáadás elsajátítása gyerekek által

Általában a gyerekek először tanulnak meg számolni . Ha olyan feladatot kapnak, amelyhez két tárgy és három tárgy kombinálása szükséges, a kisgyerekek konkrét tárgyakhoz fordulnak, például ujjszámlálási vagy rajzolási segítséghez. A tapasztalatszerzés során megtanulják vagy felfedezik a „számlálási” stratégiát: amikor meg kell találni, hogy mennyi lesz kettő plusz három, a gyerekek felsorolják a három után következő két számot, mondván: „három, négy, öt ”. (általában behajlítják az ujjaikat), és ennek eredményeként ötöt kapnak. Ez a stratégia szinte egyetemesnek tűnik; a gyerekek könnyen megtanulhatják társaiktól vagy tanáraiktól [27] . Sok gyerek maga jön erre. Egy kis tapasztalat felhalmozása után a gyerekek gyorsabban megtanulnak összeadni, az összeadás kommutativitását alkalmazva, a számokat az összeg legnagyobb számától kezdik felsorolni, mint a fentebb leírt esetben, háromtól kezdve, és felsorolva: „négy, öt ”. Végül a gyerekek elkezdenek felhasználni néhány tényt az összeadásról („ példák a fejből összeadásra ”), akár tapasztalatból tanulva, akár megjegyezve. Amikor bizonyos tények megragadnak az emlékezetben, a gyerekek elkezdenek levezetni az ismeretlen tényeket az ismert tényekből. Például egy gyermek, aki hatot és hetet ad össze, tudhatja, hogy 6 + 6 = 12, és ezért a 6 + 7 eggyel több, azaz 13 [28] . Ez a fajta következtetés meglehetősen gyorsan jön létre, és a legtöbb általános iskolás diák mindannak keverékére támaszkodik, amire emlékszik, és arra, amit le tud következtetni, ami végül lehetővé teszi számukra, hogy folyékonyan kiegészítsenek [29] .

A különböző országokban az egész számok és az aritmetika tanulmányozását különböző életkorban kezdik el, főként az összeadást tanítják az óvodai nevelési intézményekben [30] . Ugyanakkor szerte a világon az általános iskola első évének végére a diákok megtanulják az összeadást [31] .

Kiegészítő táblázat

A gyerekeknek gyakran mutatnak egy táblázatot, amelyben 1-től 10-ig számpárokat adnak hozzá a jobb memorizálás érdekében.[ float kifejezés ] . A táblázat ismeretében bármilyen kiegészítést végezhet.

decimális összeadás táblázat

+	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
0	0	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9
egy	egy	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz
2	2	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy
3	3	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12
négy	négy	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13
5	5	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy
6	6	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt
7	7	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16
nyolc	nyolc	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16	17
9	9	tíz	tizenegy	12	13	tizennégy	tizenöt	16	17	tizennyolc

Tizedes rendszer

A tizedesjegyek sikeres összeadásához emlékeznie kell vagy gyorsan meg kell tudnia jeleníteni a 100 „összeadás tényét (példáit)” az egyjegyű számokhoz. Mindezekre a tényekre emlékezhetünk, ha memorizáljuk őket, de a minták használatával történő összeadás tanulási stratégiái a legtöbb ember számára informatívabbak és hatékonyabbak: [32]

Kommutatív tulajdonság : A minta használata 100-ról 55-re csökkenti a megjegyezendő "kiegészítő tények" számát. $a + b = b + a$
Még egy- kettő : 1 vagy 2 összeadása alapprobléma, és ez megoldható felsorolással (számlálással), vagy végül az intuícióra támaszkodva [32] .
Nulla : mivel a nulla az összeadási művelet semleges eleme (egy adalék egység), a nulla hozzáadása egyszerű. Az aritmetika tanulmányozása során azonban egyes hallgatók az összeadást olyan folyamatként mutatják be, amelynek során a kifejezések száma mindig növekszik; a probléma szóbeli megfogalmazásának hangsúlyozása segíthet megérteni a nulla "kizárólagosságát" [32] .
Duplázás : Egy szám hozzáadása önmagához kapcsolódik a megkettőzés (újra)számlálás és szorzás feladatához . A tények megkettőzése sok kapcsolódó tény alapja, és viszonylag könnyen érthető a tanulók számára [32] .
Majdnem duplázás (Duplázáshoz közeli összegek) : a 6 + 7 = 13 összeg gyorsan levezethető abból a tényből, hogy 6 + 6 = 12-t megduplázunk és hozzáadunk egyet, vagy 7 + 7 = 14-et és kivonunk egyet [32 ] .
Öt és tíz : az 5 + x és 10 + x formájú összegekre általában korán emlékeznek, és más tényekre is le lehet következtetni. Például a 6 + 7 = 13 összeg eredménye levezethető az 5 + 7 = 12 ténnyel, az utolsóhoz hozzáadva egyet [32] .
Tíz elérése (tízig építeni) : létezik egy stratégia, amelyben a 10-et köztes eredményként használják a 8-as vagy 9-es kifejezések jelenlétében; például 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14 [32] .

Ahogy nőnek a tanulók, egyre több tényt memorizálnak, és gyorsan megtanulnak belőlük más tényekre is következtetni. Sok diák nem jegyzi meg az összes tényt, de gyorsan le tud következtetni a szükségesre [29] .

Átadás

A szabványos többjegyű összeadási algoritmusban[ áramvonalas kifejezés ] a hozzáadott számok bejegyzéseit alkotó számjegyek egymás alatt helyezkednek el. Végezze el a számok összeadását minden oszlopban külön-külön, jobbról kezdve. Ha egy oszlopban a számjegyek összege meghaladja a 10-et, a plusz számjegy „ átkerül ” a következő oszlopba (balra). Például összesen 27 + 59

¹ 27 +59 ———— 86

7 + 9 = 16, és az 1-es szám átkerül a következő oszlopba. Egy másik módszer szerint kezdje el az összeadást a bal oldali legjelentősebb számjegytől; ebben a stratégiában az átvitel valamivel durvább, de a hozzávetőleges összeget gyorsabban kapjuk meg. Sok más átviteli mód is létezik.

Tizedesjegyek hozzáadása

A decimális összeadás módszere a fent leírt többjegyű összeadás egyszerű módosítása [33] . Ha oszlopot adunk hozzá, a törteket úgy rendezzük el, hogy a vesszőket[ stílus ] pontosan egymás alatt voltak. Ha szükséges, nullákat adhatunk a rövidebb tört jobb és bal oldalához (lásd a záró nullát és a kezdő nullákat ), hogy az egyenlő legyen a hosszabb törttel. Tehát az összeadás ugyanúgy történik, mint a fent leírt többjegyű számok összeadásának módszerénél, csak a vessző található a válaszban pontosan ott, ahol a kifejezéseknél volt.

Például a 45,1 + 4,34 összeg a következőképpen számítható ki:

45, 10 + 0 4 , 3 4 ————————————— 4 9 , 4 4 Exponenciális jelölés

Az exponenciális jelölésben a számokat a következőképpen írjuk fel , ahol a mantissza , a szám jellemzője és a számrendszer alapja . Két exponenciális formában írt szám összeadásához azonos tulajdonságokkal kell rendelkezniük: az eloszlási tulajdonság szerint. ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $a\cdot P^{n}+b\cdot P^{n}=(a+b)\cdot P^{n},$

Például:

2,34\cdot 10^{-5}+5,67\cdot 10^{-6}=2,34\cdot 10^{-5}+0,567\cdot 10^{-5}=(2,34+0,567)\cdot 10^{-5}=2,907\cdot 10^{-5}

Különleges eset a több nagyságrenddel eltérő számok összeadása szekvenciális kerekítéssel. Ha , akkor ezeknek a számoknak a hibái összehasonlíthatatlanok lesznek ( ), és az összeadás végrehajtásakor egy nagyobb hiba elnyeli a kisebbet. Így az asszociativitási tulajdonság sérülhet. $a\gg b$ $\Delta a\gg \Delta b$

Tekintsük például a kifejezést : ha először hajtjuk végre az eredményt, az eredmény kerekítése után azt kapjuk , hogy tovább adjuk, van , és ha az összeadás más sorrendben történik, akkor: . Így a pontatlan kerekítés ugyanannak a kifejezésnek különböző értékeit eredményezheti. $5.6\cdot 10^{8}+7.2+(-5.6\cdot 10^{8})$ $5.6\cdot 10^{8}+7.2$ ${\displaystyle \approx 5.6\cdot 10^{8))$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5,6\cdot 10^{8})=0$ $5.6\cdot 10^{8}+(-5,6\cdot 10^{8})+7,2=0+7,2=7,2$

Összeadás más számrendszerekben

Más bázisú számok összeadása megegyezik a decimális rendszerben történő összeadással

Példaként tekintsük az összeadást a bináris rendszerben [34] . Két egyjegyű bináris szám hozzáadása a hordozással meglehetősen egyszerű:

0 + 0 → 0 0 + 1 → 1 1 + 0 → 1 1 + 1 → 0, 1 átkerül (mert 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 1 ))

Két „1” összege „0”-val egyenlő, és az 1-et hozzá kell adni a következő oszlophoz. Ez a helyzet hasonló ahhoz, ami a decimális rendszerben történik, amikor bizonyos egyjegyű számokat összeadunk; ha az eredmény egyenlő vagy nagyobb, mint az alapérték (10), a bal oldali számjegyek növekednek:

5 + 5 → 0, vigyél magaddal 1-et (mert 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 1 )) 7 + 9 → 6, vigyél magaddal 1-et (mert 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 1 ))

Ezt a műveletet "átvitelnek" [35] nevezik . Ha az összeadás eredménye meghaladja az értékek és a hely tartományát , a rendszer alapjával osztva (vagyis 10-zel) balra kell "átvinni" a többletet, hozzáadva a érték a következő helyen. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a következő számjegyben szereplő érték többszöröse (a -edik számrendszerben), mint az aktuális számjegyben. A bináris bevitel ugyanúgy működik, mint a decimálisban: $N$ $N$

1 1 1 1 1 (átadás) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 —————————————— 1 0 0 1 0 0 = 36

Ez a példa két számot ad hozzá: 01101 2 (13 10 ) és 10111 2 (23 10 ). A felső sor az átvitel jelenlétét jelzi. A jobb oldali oszlopból kezdjük az összeadást: 1 + 1 = 10 2 . Itt az 1 balra kerül, és a 0 az alsó sorban. Most a jobbról második oszlopban lévő számokat összeadjuk: 1 + 0 + 1 = 10 2 ; 1 átkerül, és 0 kerül az alsó sorba. Harmadik oszlop: 1 + 1 + 1 = 11 2 . Ebben az esetben az 1-et az alsó sorban viszik. Ennek eredményeként 100100 2 -t kapunk (vagy tizedesjegyben 36-ot).

Számítógépek

Az analóg számítógépek közvetlenül a fizikai mennyiségekkel dolgoznak, így összeadási mechanizmusuk a kifejezések típusától függ. A mechanikus összeadó két kifejezést jelenthet csúszóblokkok pozíciójaként, ebben az esetben ezek hozzáadhatók egy átlagoló kar segítségével . Ha a kifejezések két tengely forgási sebessége formájában vannak megadva , akkor differenciálművel összeadhatók . Egy hidraulikus összeadó hozzáadhatja a nyomást a két kamrában, Newton második törvénye alapján a dugattyúegységre ható erők kiegyenlítésére . A legjellemzőbb analóg számítógépes alkalmazás két feszültség összeadása (a testhez viszonyítva ); ez nagyjából egy ellenállás - áramkörrel valósítható meg , a továbbfejlesztett változat pedig műveleti erősítőt használ [36] .

Az összeadási művelet alapvető egy személyi számítógépben . Az összeadási művelet teljesítménye, és különösen az átviteli mechanizmussal kapcsolatos korlátozások befolyásolják a számítógép általános teljesítményét.

Az abakusz , más néven számlálótábla, egy számolóeszköz, amelyet sok évszázaddal a modern számrendszer elfogadása előtt használtak, és még mindig széles körben használják Ázsiában , Afrikában és más kontinenseken a kereskedők, kereskedők és hivatalnokok; feltételezik, hogy az abakuszt legkésőbb ie 2700-2300-ban hozták létre. e., akkor a sumérok használták [37] .

Blaise Pascal 1642-ben találta fel a mechanikus számológépet [38] [39] ; ez volt az első működő hozzáadógép . Ebben a számológépben az átviteli mechanizmus a gravitáció miatt történt. Ez volt az egyetlen működő számológép a 17. században [40] és a legelső automatikus digitális számítógép. Pascal adagológépét az átviteli mechanizmusa korlátozta, amely csak egy irányba tette lehetővé a kerekek elfordulását és így egymásra rakódását. A kivonáshoz a felhasználónak egy második számjegykészletet kellett használnia az eredmény megjelenítéséhez, és összeadási módszereket kellett használnia , amelyek ugyanannyi lépést tartalmaztak, mint az összeadás. Giovanni Poleni folytatta Pascal munkáját a második működőképes mechanikus számológép megépítésével 1709-ben. Ennek a számológépnek a számlapja fából készült, és a felszerelés után automatikusan képes volt két számot összeszorozni.

Az összeadók egész számok összeadását hajtják végre elektronikus digitális számítógépekben, általában bináris aritmetikával . A legegyszerűbb struktúra hullámhordozó összeadót használ (az összeadólánc előző összeadójának átvitele a következő összeadóhoz), amely lehetővé teszi többbites számok összeadását. Kisebb javulást jelent a skip-carry adder , amely az emberi intuícióhoz hasonlóan működik; nem hajtja végre az összes átvitelt a 999 + 1 összegben, megkerüli a kilences csoportot, és közvetlenül a válaszra ugrik [41] .

A gyakorlatban az összeadás végrehajtható a modulo two összeadással és az ÉS művelettel kombinálva más bitenkénti műveletekkel, amint az alább látható. Mindkét művelet egyszerűen megvalósítható összeadók láncaiban , amelyek viszont összetettebb logikai műveletekké kombinálhatók . A modern digitális számítógépekben az egész számok összeadása, valamint az egész számok egyéb aritmetikai utasításai a leggyorsabb műveletek közé tartoznak, ugyanakkor óriási hatással vannak a számítógép teljesítményére, mivel az egész számokkal végzett műveletek teszik ki az összes művelet jelentős részét. számításokat. Az egész számok összeadását például olyan feladatoknál használják, mint például címek generálása a memóriaelérés során és utasítások lekérése egy bizonyos végrehajtási sorrendben . A sebesség növelése érdekében a modern számítógépek párhuzamosan számítják ki az értékeket számjegyekben ; az ilyen sémákat átviteli mintavételezésnek, átviteli várakozásnak és pszeudotranszfernek nevezik egy Ling összeadóban . A legtöbb esetben az összeadás számítógépen való megvalósítása az utolsó három konstrukció hibridje [42] [43] . A papíralapú kiegészítéssel ellentétben a számítógépes kiegészítés gyakran megváltoztatja a feltételeket. Egy ősi abakuszon és egy összeadási táblán az összeadási művelet során mindkét kifejezés megsemmisült, csak az összeg maradt meg. Az abakusz befolyása a matematikai gondolkodásra olyan nagy volt, hogy a korai latin szövegekben gyakran elhangzott, hogy a „szám a számhoz” összeadás során mindkét szám eltűnik [44] . Visszatérve a jelenre, megjegyezzük, hogy a mikroprocesszor ADD utasítása az első tag értékét az összeggel helyettesíti, a második tag változatlan marad [45] . Magas szintű programozási nyelvben az a + b kiértékelése nem változtat sem a, sem b -n ; ha az a feladat, hogy az összeget a -ba írjuk , akkor ezt kifejezetten meg kell adni, általában az a = a + b kifejezéssel . Egyes programozási nyelvekben , mint például a C vagy C++ , ez a += b -re rövidül .

// Iteratív algoritmus int add ( int x , int y ){ int carry = 0 ; while ( y != 0 ){ carry = ÉS ( x , y ); // Logikai ÉS x = XOR ( x , y ); // Logikai XOR y = carry << 1 ; // bal oldali biteltolódás eggyel átvitel } return x ; } // Rekurzív algoritmus int add ( int x , int y ){ return x if ( y == 0 ) else add ( XOR ( x , y ) , AND ( x , y ) << 1 ); }

Számítógépen, ha egy összeadás eredménye túl nagy ahhoz, hogy eltároljuk, aritmetikai túlcsordulás történik , ami helytelen választ vagy kivételt eredményez a program végrehajtása során. A programozási hibák meglehetősen gyakori oka a váratlan aritmetikai túlcsordulás . Az ilyen túlcsordulási hibákat nehéz lehet észlelni és diagnosztizálni, mert csak nagyon nagy bemeneti adatkészletek esetén fordulhatnak elő, amelyeket nem gyakran használnak a tesztekben [46] . A valós számok hozzáadása a modern számítógépeken, mint minden lebegőpontos számítás , hardverben valósul meg egy speciális modulban, amelyet matematikai társprocesszornak neveznek (a név feltételes, mivel a modern számítógépekben fizikailag integrálva van a központi processzorba ). A lebegőpontos összeadás is túlcsordulhat, de mindig kivételt jelent , és nem marad észrevétlen.

A lebegőpontos számítógépes számítások másik fontos jellemzője a valós szám ábrázolásának korlátozott pontossága, amellyel kapcsolatban a számítógépen a lebegőpontos számításokat általában hozzávetőlegesen hajtják végre, és a számítások eredményeire (beleértve a közteseket is) a kerekítési műveletet alkalmazzák . A kerekítést általában még azokra a számokra is alkalmazzák, amelyeket a tizedes számrendszerben véges tört, azaz pontosan (mivel a leggyakoribb számítógépek kettes számrendszert használnak ). Ebben a tekintetben a lebegőpontos számok számítógépen történő összeadásakor az összeg általában a kifejezések összegzési sorrendjétől függ - néha jelentősen, ha a kifejezések sorrendje jelentősen eltér. E körülmény miatt a nagyszámú kifejezés összegzését használó programok írásakor speciális, a hiba csökkentését célzó intézkedésekhez kell folyamodni. Az egyik leghatékonyabb módszer az összegzési hiba csökkentésére a Kahan algoritmus .

Szám hozzáadása

Az összeadás alapvető tulajdonságainak bemutatásához először el kell döntenie a kontextust. Az összeadást eredetileg természetes számokra határozták meg . Az összeadás nagyobb és nagyobb halmazokhoz van definiálva, beleértve a természetes számokat is: egész számok , racionális számok és valós számok [47] . (A matematika oktatásban [48] a pozitív törtek összeadása megelőzi a negatív számok összeadását [49] .)

Természetes számok

Használjuk a természetes számok definícióját véges halmazok ekvivalenciaosztályaiként . Jelöljük zárójelek segítségével bijekciókkal generált véges halmazok ekvivalencia osztályait: . Ekkor az „összeadás” aritmetikai művelet a következőképpen definiálható: $\mathbb {N}$ $C,A,B$ ${\megjelenítési stílus [C],[A],[B]}$

[C]=[A]+[B]=[A\sqcup B];

hol van a halmazok diszjunkt uniója . Ez az osztályokon végzett művelet helyesen kerül bevezetésre, vagyis nem függ az osztályelemek megválasztásától, és egybeesik az induktív definícióval. $A \sqcup B$

Egy véges halmaz egy az egyhez leképezése egy szegmensre felfogható a halmaz elemeinek felsorolásaként . Ezt a számozási folyamatot " számlálásnak " hívják [50] [ check link (már 506 nap) ] . Így a "számla" egy-egy megfeleltetés megállapítása a halmaz elemei és a természetes számsorok egy szegmense között [51] . $A$ ${\displaystyle N_{a))$ ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a))$

Ha természetes számokat szeretne hozzáadni a számok pozíciójelöléséhez , bitenkénti összeadási algoritmust használunk. Adott két természetes szám , és így: $a$ $b$

a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \ forall a_{k},b_{k}\in \{P\}\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;

ahol: ; ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k))$

n

- a számjegyek száma ;

n\in \{1,2,\dots ,n\}

k

- a kategória (pozíció) sorszáma, ;

k\in \{0,1,\dots ,n-1\}

P

- a számrendszer alapja;

\{P\}

numerikus karakterek (számjegyek) halmaza, egy meghatározott számrendszer:

\{P_{2}\}=\{0,1\}

{\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\))

{\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F\))

;

akkor:

c=a+b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}+b_ {n-1}b_{n-2}\pontok b_{0};

apránként hozzáadva a következőket kapjuk:

$c_{0}={\begin{cases}a_{0}+b_{0},\quad c_{1}=0&{\text{if }}a_{0}+b_{0}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{0}+b_{0}-P,\quad c_{1}=1&{\text{if }}a_{0}+b_{0}>P- 1{\text{ }}\end{cases}}$
$c_{1}={\begin{cases}a_{1}+b_{1}+c_{1},\quad c_{2}=0&{\text{if }}a_{1}+b_ {1}+c_{1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{1}+b_{1}+c_{1}-P,\quad c_{2}=1&{\text{ if }}a_{1}+b_{1}+c_{1}>P-1{\text{ }}\end{cases}}$
$...\quad \quad ...\quad \quad ...$
$c_{n-1}={\begin{cases}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\quad c_{n}=0&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}\leqslant P-1{\text{ }}\\a_{n-1}+b_{n-1}+c_ {n-1}-P,\quad c_{n}=1&{\text{if }}a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1}>P-1{\text { }}\end{cases}}$

Így az összeadási művelet az egyjegyű számok szekvenciális egyszerű összeadásának eljárására redukálódik , szükség esetén egy átviteli egység kialakításával, amelyet vagy táblázatos módszerrel vagy növeléssel (számlálással) hajtunk végre. $a_{k}+b_{k}$

A számokkal végzett aritmetikai műveleteket bármely pozíciós számrendszerben ugyanazok a szabályok szerint hajtják végre, mint a decimális rendszerben , mivel mindegyik a megfelelő polinomokra vonatkozó műveletek végrehajtásának szabályain alapul [52] . Ebben az esetben a számrendszer adott alapjának megfelelő összeadási táblázatot kell használni. $P$

Példa természetes számok összeadására bináris, decimális és hexadecimális számrendszerben, a kényelem kedvéért a számokat a számjegyeknek megfelelően egymás alá írjuk, a hordozóegységet felül írjuk, a hiányzó számjegyeket nullákkal töltjük ki:

{\begin{array}{ccccccccc}&_{1}&_{1}&_{1}\\&0&1&0&1&1&0\\+&1&1&1&0&1\\\hline 1&0&1&0&0&1&1\end{array));\begin \quad {tömb} &_{1}&&_{1}&_{1}&_{1}\\&C&5&6&D&E&4\\+&0&F&2&A&1&F\\\hline &D&4&9&8&0&3\end{array}}.

Egy másik híres definíció rekurzív:

Legyen n + az n után után következő természetes szám , például 0 + =1, 1 + =2. Legyen a + 0 = a . Ekkor a teljes összeget rekurzívan határozzuk meg: a + ( b + ) = ( a + b ) + . Ezért 1 + 1 = 1 + 0 + = (1 + 0) + = 1 + = 2 [53] .

Ennek a meghatározásnak különböző változatai vannak a szakirodalomban. A rekurziós tételben[ ismeretlen kifejezés ] egy N 2 pózon pontosan a fent megadott definíciót használjuk. [54] . Másrészt egyes források előszeretettel használják a korlátozott rekurziós tételt, amely csak a természetes számok halmazára vonatkozik. Egyesek azt javasolják, hogy ideiglenesen "rögzítsék" az a -t úgy, hogy a b -re kurválják az " a +" függvényt , és beillesztik ezeket az unáris műveleteket minden a -hoz, hogy egy teljes bináris műveletet alkossanak [55] .

Az összeadásnak ezt a rekurzív definícióját Dedekind már 1854-ben megadta, és a következő évtizedekben kiterjesztette [56] . Dedekind matematikai indukció segítségével bizonyította az asszociativitás és a kommutativitás tulajdonságait.

Egész számok

Az egész számok halmaza a természetes számok halmazának kiterjesztése , amelyet a formájú [57] negatív számok összeadásával kapunk . Az egész számok halmazát jelöljük. Az egész számokkal végzett aritmetikai műveletek a természetes számokra vonatkozó megfelelő műveletek folyamatos folytatásaként definiálhatók. A természetes számokhoz képest az a különbség, hogy a negatív számok a számegyenesen ellenkező irányba mutatnak, ez némileg megváltoztatja az összeadási eljárást. Figyelembe kell venni a számok kölcsönös irányát, itt több eset lehetséges: $\mathbb {N}$ $-n$ $\mathbb{Z}.$

Ha mindkét kifejezés pozitív, akkor: $c=a+b;$
Ha az egyik tag negatív, akkor ki kell vonni a kisebb modulértékű tagot a nagyobb modulértékű tagból, majd a kapott szám elé tegyük annak a tagnak a jelét, amelynek a modulja nagyobb: $c=-a+b=b+(-a)=ba;$
Ha mindkét tag negatív, akkor: [58] . $c=(-a)+(-b)=-(|a|+|b|)$

Az egész számok halmazának egy másik konstrukciója Grothendieck csoportokon alapul . A fő gondolat az, hogy minden egész szám ábrázolható (többféleképpen) két természetes szám különbségeként, így egy egész számot két természetes szám különbségeként definiálhatunk . Ezután a hozzáadást a következőképpen határozzuk meg:

Legyen két a − b és c − d egész szám , ahol a , b , c és d természetes számok, akkor ( a − b ) + ( c − d ) = ( a + c ) − ( b + d ) [ 59] .

Racionális számok

A racionális számok halmazát jelöljük (az angol "private" hányadosból ), és a következő formában írható fel: $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {Q}}=\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in {\mathbb {Z}},n\in {\mathbb {N}}\right\}.$

Ha racionális számokat szeretne hozzáadni a következő alak közönséges (vagy egyszerű) törtjeihez , akkor azokat át kell alakítani (hozni) közös (azonos) nevezővé . Például vegyük a nevezők szorzatát, miközben a számlálókat megszorozzuk a megfelelő nevezőkkel. Ezután adja össze a kapott számlálókat, és a nevezők szorzata közös lesz. $\pm {\frac {m}{n}}$

Ha két olyan racionális szám van megadva , hogy: (redukálhatatlan törtek), akkor: $a$ $b$ $a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_ {a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0$

c=a+b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a }\cdot n_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}+{\frac {n_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}} ={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.

[60]

Vagy megtalálhatja a nevezők legkisebb közös többszörösét (LCM). Eljárás:

Keresse meg a nevezők legkisebb közös többszörösét: . $M=[n_{a},n_{b}]$
Szorozzuk meg az első tört számlálóját és nevezőjét -vel . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{a))))$
Szorozzuk meg a második tört számlálóját és nevezőjét -vel . ${\displaystyle {\frac {M}{n_{b))))$

Ezt követően mindkét tört nevezője azonos (egyenlő ). Ez számos egyszerű esetben leegyszerűsíti a számításokat, nagy számok esetén viszont sokkal bonyolultabbá válik a számítás. Felveheti, mint bármely más közös többszöröst. $M$ $M$

Kiegészítési példa:

{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 5}{3\cdot 5}}+{\frac {3\cdot 1 }{3\cdot 5}}={\frac {2\cdot 5+3\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {10+3}{15}}={\frac {13} {tizenöt}}.

Ha mindkét tört nevezője azonos, akkor:

{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}.

Ha a nevezők bármely szám többszörösei, akkor csak egy törtet alakítunk át:

{\frac {3}{8}}+{\frac {1}{4}}={\frac {3}{8}}+{\frac {1\cdot 2}{4\cdot 2 }}={\frac {3+1\cdot 2}{8}}={\frac {5}{8}}.

A racionális számok „összeadás” aritmetikai művelete zárt műveletekre vonatkozik. A racionális számok összeadásának kommutativitása és asszociativitása az egész számtani törvények következménye [61] . A szigorúbb és általánosabb meghatározásért lásd a törtek cikkmezőt .

A fizikai mennyiségek összeadása hasonló módon történik: közös mértékegységekkel fejezik ki [62] . Például 50 milliliter és 1,5 liter hozzáadásához a millilitereket literekre kell konvertálni, és a törteket közös nevezőre kell hozni: liter. ${\frac {50}{1000}}+{\frac {1500}{1000}}={\frac {1550}{1000}}=1{,}55$

Valós számok

A valós számokkal végzett, végtelen tizedes törtként ábrázolható aritmetikai műveletek a racionális számokra vonatkozó megfelelő műveletek folytonos folytatásaként [63] vannak definiálva .

Adott két valós szám, amelyek végtelen tizedesjegyekkel ábrázolhatók :

{\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\))

{\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\))

A racionális számok alapvető sorozatai határozzák meg (amely kielégíti a Cauchy-feltételt ), és a következőképpen jelöljük: és , akkor ezek összege a sorozatok és a sorozatok összege által meghatározott szám : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]+[b_{n}]=[a_{n}+b_{n}]

;

valós szám , teljesíti a következő feltételt: $\gamma =\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Jobbra (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')\Jobbra (a'+b'\leqslant \gamma \leqslant a''+b'' )

Így két valós szám összege és olyan valós szám , amely egyrészt a forma összes összege, másrészt az űrlap összes összege között található [64] . $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $a'+b'$ $a''+b''$

Gyakorlatilag ahhoz, hogy két és számot összeadhassunk , ezeket a kívánt pontossággal helyettesíteni kell közelítő racionális számokkal és . A számok összegének hozzávetőleges értékéhez vegyük a megadott racionális számok összegét . Ugyanakkor nem mindegy, hogy a felvett racionális számok melyik oldalról (hiány vagy többlet alapján) közelítenek és . Az összeadás a bitenkénti összeadás algoritmusa szerint történik. $\alpha$ $\beta$ $a$ $b$ $\alpha +\beta$ $a+b$ $\alpha$ $\beta$

Közelítő számok összeadásakor az abszolút hibáik összeadódnak , egy szám abszolút hibáját a szám utolsó számjegyének felével vesszük. Az összeg relatív hibája a kifejezések relatív hibáinak legnagyobb és legkisebb értéke között van; a gyakorlatban a legnagyobb értéket veszik fel . A kapott eredményt felkerekítjük az első helyes számjegyre, a közelítő szám jelentős számjegye akkor helyes, ha a szám abszolút hibája nem haladja meg az ehhez a számjegyhez tartozó számjegyegység felét. $\Delta (a+b)=\Delta a+\Delta b$ $\delta (a+b)=max(\delta a,\delta b)$

Összeadási példa , legfeljebb 3 tizedesjegyig: $\gamma =\pi +e$

Ezeket a számokat 4. tizedesjegyre kerekítjük (a számítások pontosságának javítása érdekében) ;
Kapunk: ; $\pi \approx 3.1416,\quad e\approx 2.7183$
Hozzáadás apránként: ; $\gamma =\pi +e\kb 3,1416+2,7183\körülbelül 5,8599$
3. tizedesjegyig felfelé kerekítve: . $\gamma \approx 5.860$

Menetrend

A valós számok halmazán az összeadási függvény grafikonja olyan sík alakú, amely átmegy a koordináták origóján, és a tengelyekhez képest 45°-os szögfokkal dől . Mivel , akkor ezeknél a halmazoknál az összeadási függvény értékei ehhez a síkhoz fognak tartozni. [65] $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Komplex számok

A komplex számokat a valós és a képzetes rész összeadásával adjuk össze [66] . Ez azt jelenti:

c+fi=(a+di)+(b+ei)=(a+b)+(d+e)i.\

Ahol:, egy képzeletbeli egység . A komplex számok komplex síkon pontként való ábrázolását felhasználva a komplex számok összeadásánál a következő geometriai értelmezést adjuk: a komplex számok és a komplex számok összege , amelyet a komplex síkon lévő pontok képviselnek, pont Egy olyan paralelogramma megszerkesztésével, amelynek három csúcsa az O , A és B pontokban található . Vagy azt is mondhatjuk, hogy C olyan pont, amelyben az OAB és a CBA háromszögek egybevágóak . $c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R}$ $én$ $a+di$ $b+ei$

Hasonlóan a hiperkomplex számokhoz (n-edik dimenziójú komplex számokhoz): [67] $A=a_{1}1+a_{2}i_{2}+\pontok +a_{n}i_{n},~~~B=b_{1}1+b_{2}i_{2 }+\pontok +b_{n}i_{n};$ $C=A+B=(a_{1}1+a_{2}i_{2}+\pontok +a_{n}i_{n})+(b_{1}1+b_{2}i_ {2}+\pontok +b_{n}i_{n})=$ $=(a_{1}+b_{1})1+(a_{2}+b_{2})i_{2}+\pontok +(a_{n}+b_{n})i_{n }=c_{1}1+c_{2}i_{2}+\pontok +c_{n}i_{n}.$

Tetszőleges számok hozzáadása

Különböző halmazokhoz tartozó számok összeadásakor (ha lehetséges) egy kisebb teljesítményű halmazt egy nagyobb teljesítményű halmaz részhalmazaként kell ábrázolni, vagy meg kell keresni a "legkisebb közös halmazt". Például, ha hozzá kell adni egy természetes számot a racionális számmal , akkor azzal a ténnyel, hogy a természetes számok a racionális számok részhalmazai, a számot racionálisnak ábrázoljuk, és hozzáadunk két racionális számot . Hasonlóképpen, kihasználva azt a tényt, hogy: , különböző halmazokból adhat hozzá számokat egymáshoz. Visszatérve az almás példához, használjuk azt a tényt, hogy az alma és a körte halmaz a gyümölcskészlet részhalmazai: , és így hozzáadhatunk 3 almát és 2 körtét, a gyümölcskészlet részhalmazaiként ábrázolva őket: gyümölcs_alma gyümölcs_körte gyümölcs. $3$ $4.56$ $3$ $3.00$ $3,00+4,56=7,56$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H}$ $\{{\mbox{apple}}\}\subset \{{\text{apples}}\}\subset \{{\text{fruit}}\}~~~{\text{end}} ~~~\{{\text{körte}}\}\subset \{{\text{pears}}\}\subset \{{\text{gyümölcs}}\}$ $3$ $+2$ ${\displaystyle=5}$

Általánosítások

Számos bináris művelet létezik, amelyeket valós számok összeadásának általánosításaként lehet felfogni. Az ilyen általánosított műveletek az általános algebra fő vizsgálati tárgyai, előfordulnak a halmazelméletben és a kategóriaelméletben is .

Összeadás az absztrakt algebrában

Vektor kiegészítés

A vektortér egy algebrai struktúra, amelyben bármely két vektor összeadható , és bármely vektor megszorozható egy számmal. A vektortér egyszerű példája az összes rendezett valós számpár halmaza; a rendezett pár egy vektor, amely az euklideszi sík egy pontjából indul ki és egy pontban végződik (és minden vele párhuzamos ). Két vektor összegét a megfelelő koordináták összeadásával kapjuk meg: . Ez az összeadási művelet központi szerepet játszik a klasszikus mechanikában , amelyben a vektorokat az erők analógjaként kezelik . $(a,b)$ $(0,0)$ $(a,b)$ ${\megjelenítési stílus (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$

Mátrix összeadás

A mátrixösszeadás két azonos méretű mátrixra van definiálva. Két m × n A és B mátrix összege (ezt „m- szer n”-ben ejtjük), A + B -ként felírva egy m × n mátrix , amelyet a megfelelő elemek összeadásával kapunk [68] [69] :

{\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_ {22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{ \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_ {12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\ vpontok &\vpontok &\dpontok &\vpontok \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}} \\\vége{igazított}}

Például:

{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+ 0 \\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmátrix}}

A maradék aritmetika

A 12-vel való osztás maradékainak halmaza tizenkét elemből áll; ez a halmaz örökli az egész számok összeadásának műveletét. A modulo 2 maradékok halmazának csak két eleme van; az általa örökölt összeadási műveletet a propozíciós logika " kizáró vagy " műveletként ismeri. A geometriában két szögmérték összegét gyakran modulo 2π valós számok összegeként definiálják. Egy ilyen meghatározás megfelel az összeadás műveletének egy körön , ami viszont általánosít egy többdimenziós tóruszon végzett összeadás műveletére .

Általános kiegészítés

Az absztrakt algebra általános elméletében az "összeadás" művelete bármilyen asszociatív és kommutatív műveletnek nevezhető . Az ilyen összeadási műveletekkel rendelkező fő algebrai rendszerek közé tartoznak a kommutatív monoidok és az Abel-csoportok .

Összeadás a halmazelméletben és a kategóriaelméletben

A természetes számok összeadásának általánosítása a sorszámok és a kardinális számok összeadása a halmazelméletben. Ezek a műveletek a természetes számok transzfinit esethez való hozzáadásának két különböző általánosítása . A legtöbb összeadási művelettel ellentétben az ordinális összeadás nem kommutatív. A kardinális számok összeadása azonban egy kommutatív művelet, amely szorosan kapcsolódik a diszjunktív unió művelethez .

A kategóriaelméletben a diszjunkt uniót a koprodukciós művelet speciális eseteként kezelik , és az általános koszorzatok talán a legelvontabbak az összeadási művelet összes általánosítása közül. Egyes társtermékek, mint például a közvetlen összeg és az ékösszeg , azért vannak elnevezve, hogy jelezzék kapcsolatukat az összeadási művelettel.

Összeadási műveletek

Az összeadás, valamint a kivonás, szorzás és osztás az alapműveletek egyike, és az elemi aritmetikában használatos.

Aritmetika

A kivonás az összeadás műveletének speciális eseteként fogható fel, nevezetesen az ellentétes szám összeadásaként . Maga a kivonás az összeadás egyfajta inverz művelete, vagyis az x összeadás és az x kivonás kölcsönösen inverz függvények .

Egy olyan számhalmazon, amelyen az összeadás művelete definiálva van, nem mindig lehet meghatározni a kivonás műveletét; egyszerű példa a természetes számok halmaza. Másrészt a kivonás művelete egyértelműen meghatározza az összeadás és az additív egység műveletét; ezért additív csoportként olyan halmazt definiálhatunk, amely a kivonás művelete alatt zárt [70] .

A szorzás felfogható többszöri összeadásként . Ha egy x tag n -szer szerepel egy összegben , akkor ez az összeg egyenlő n és x szorzatával . Ha n nem természetes szám , a szorzatnak még mindig van értelme; például -1 -gyel megszorozva az ellenkező számot kapjuk .

Valós vagy komplex számok összeadása és szorzása felcserélhető az exponenciális függvény segítségével :

e a + b = e a e b [71] .

Ez az azonosság lehetővé teszi a szorzást logaritmustáblázatok és kézi összeadás használatával ; lehetővé teszi a szorzást is a diaszabály segítségével . Ez a képlet egyben jó elsőrendű közelítés a Lie-csoportok tág kontextusában , ahol egy Lie-csoport végtelen kicsi elemeinek szorzását a megfelelő Lie-algebrában lévő vektorok összeadásával hozza összefüggésbe [72] .

A szorzásnak még több általánosítása van, mint az összeadásnak [73] . Általában a szorzási műveletek mindig elosztóak az összeadás tekintetében. Ezt a követelményt a gyűrű meghatározása tartalmazza . Egyes esetekben, mint például egész számok esetén, a szorzásnak az összeadáshoz viszonyított megoszlása és a szorzási azonosság megléte elegendő a szorzás műveletének egyedi meghatározásához. Az elosztó tulajdonság az összeadást is jellemzi; Az (1 + 1)( a + b ) szorzatban lévő zárójeleket kétféleképpen bővítve arra a következtetésre jutunk, hogy az összeadásnak kommutatívnak kell lennie. Emiatt a gyűrűben az összeadás mindig kommutatív [74] .

Az osztás az összeadáshoz távoli kapcsolatban álló aritmetikai művelet. Mivel a / b = a ( b −1 ), az osztás helyes disztributív az összeadás tekintetében: ( a + b ) / c = a / c + b / c [75] . Az osztás azonban nem marad disztributív az összeadás tekintetében; 1/ (2 + 2) nem egyenlő 1/2 + 1/2-vel.

Rendelés

A „max ( a , b )” maximális művelet az összeadáshoz hasonló bináris művelet. Valójában, ha két nemnegatív a és b szám különböző sorrendű , akkor összegük megközelítőleg egyenlő a maximumukkal. Ez a közelítés rendkívül hasznos a matematikai alkalmazásokban, például a Taylor-sor csonkításánál . Ez a művelet azonban állandó nehézségeket okoz a numerikus elemzésben , mivel a maximalizálás művelete nem visszafordítható. Ha b sokkal nagyobb, mint a , akkor a szokásos ( a + b ) − b számítás egy elfogadhatatlan kerekítési hiba felhalmozódásához vezethet , esetleg nulla eredményt kaphat. Lásd még: underflow .

Ez a közelítés akkor válik pontossá, amikor átlépünk a végtelen határig[ meghatározza ] ; ha az a és b számok bármelyike sarkalatos szám , akkor ezek kardinális összege pontosan egyenlő a kettő közül a nagyobbval [77] . Ennek megfelelően a kivonási művelet nincs definiálva a végtelen számú halmazokra [78] .

A maximum megtalálása kommutatív és asszociatív művelet, akárcsak az összeadás. Ezen túlmenően, mivel az összeadás megőrzi a valós számok sorrendjét, az összeadás ugyanúgy elosztó a maximalizálási függvényre, mint a szorzás az összeadásra:

a + max ( b , c ) = max ( a + b , a + c ).

Ezen okokból kifolyólag a trópusi geometriában a szorzást az összeadás, az összeadást pedig a maximum megtalálásával helyettesíti. Ebben az összefüggésben az összeadást "trópusi szorzásnak", a maximum megtalálását "trópusi összeadásnak", a trópusi "additív egységet" negatív végtelennek nevezik [79] . Egyes szerzők szívesebben helyettesítik az összeadást a minimalizálással; ebben az esetben az additív egység a pozitív végtelen [80] .

Ezeket a megfigyeléseket kombinálva a trópusi összeadás a logaritmus segítségével közelíti a közönséges összeadást:

log ( a + b ) ≈ max ( log a , log b ),

amely a logaritmus alapjának növekedésével pontosabbá válik [81] . A közelítés pontossá válhat, ha kiemeljük a kvantummechanika Planck -állandójával analógiával elnevezett h konstanst [82] , és felvesszük a "klasszikus határt" , amelynél h nullára hajlik:

\max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).

Ebben az értelemben a maximum megtalálásának művelete az összeadás dekvantálása [83] .

Egyéb hozzáadási módszerek

A növekmény vagy a Follow függvény alkalmazása 1 -et ad egy számhoz.

Az összegzés tetszőleges számú, általában kettőnél több szám összeadása. Ennek a fogalomnak sajátos esetei egy szám összegzése (az összegzés eredménye magával a számmal egyenlő), valamint az üres összeg , amely nullával egyenlő [84] . A végtelen összegzés egy nem triviális eljárás, amely egy sorozat összegének megállapításaként ismert [85] .

Egy identitásfüggvény összegzése egy véges halmazra ugyanazt az eredményt adja, mint ennek a halmaznak az elemeinek megszámlálása .

Az integráció egyfajta "összeadás" egy kontinuumban , pontosabban és általánosabban, egy sima sokaságon . A nulla dimenzió halmazán történő integráció összegzésre redukálódik.

A lineáris kombinációk kombinálják a szorzást és az összegzést; ezek olyan összegek, amelyekben minden tagnak van egy tényezője, általában valós vagy komplex szám . A lineáris kombinációk különösen hasznosak olyan helyzetekben, ahol az egyszerű összeadás sértené néhány normalizálási szabályt, például keverési stratégiák esetén a játékelméletben vagy szuperpozíciós állapotok esetén a kvantummechanikában .

A konvolúciót két független valószínűségi változó hozzáadására használjuk adott eloszlásfüggvényekhez . A konvolúció standard definíciója integrálást, kivonást és szorzást használ. Általában helyénvaló a konvolúciót "tartomány-összeadásnak", a vektorösszeadást pedig "tartomány-összeadásnak" tekinteni.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Enderton, 1977 , p. 138: „… válasszon két K és L készletet, amelyek teljesítménye K = 2 és teljesítmény L = 3. Az ujjkészletek kényelmesek; a tankönyvekben inkább almakészleteket használnak.
↑ Rudnitskaya, 2004 , p. 110.
↑ Működési rend, 2012 .
↑ Számrendszerek, 2006 , p. 3.
↑ Devine et al., 1991 , p. 263.
↑ Mazur, 2014 , p. 161.
↑ Orosz nyelv szótára, 1999 , p. 130.
↑ Kajori, 1928 .
↑ Oxford English Dictionary, 2005 .
↑ Viro, 2012 , p. 5.
↑ Kilpatrick, 2001 : "A hüvelykeket például olyan részekre lehet osztani, amelyeket nehéz megkülönböztetni a teljes hüvelykektől, kivéve, hogy rövidebbnek tűnnek; de a részekre osztás fájdalmas lesz a macskák számára, és ez a cselekvés komolyan megváltoztatja a természetüket.
↑ Mosley, 2001 , p. nyolc.
↑ Li Ya., 2013 , p. 204.
↑ Tehát ezeket a tulajdonságokat nevezik az elemi osztályok tankönyveiben
↑ Kaplan, 1999 , pp. 69-71.
↑ Összeadás tulajdonságai, 2016, Egész számok összeadási, szorzási, kivonási és osztási tulajdonságai , Összeadás ellenkező számmal, p. egy.
↑ Zelvenszkij, [sz. g.] , p. tizennyolc.
↑ A fekete doboz kifejezés olyan rendszerre vonatkozik, amelynek belső felépítése és működési mechanizmusa nagyon összetett, ismeretlen vagy nem fontos egy adott feladat keretein belül. A "fekete doboz-módszer" egy olyan módszer az ilyen rendszerek vizsgálatára, amikor a rendszer alkotórészeinek tulajdonságai és kapcsolatai helyett a rendszer egészének reakcióját vizsgálják a változó körülményekre.
↑ Ashby, 1959, Bevezetés a kibernetikába , p. 127-169.
↑ Zubareva, 2013 , p. 195.
↑ Az összeadási algoritmus , 1. o. egy.
↑ Wynn, 1998 , p. 5.
↑ Wynn, 1998 , p. tizenöt.
↑ Wynn, 1998 , p. 17.
↑ Wynn, 1998 , p. 19.
↑ Az elefántok elég okosak ahhoz, hogy formákat rajzoljanak, 2008 .
↑ Smith F., 2002 , p. 130.
↑ Carpenter et al., 2014 .
↑ 1 2 Henry Valerie D., 2008 , pp. 153-183.
↑ Matematika tanulása az általános iskolában egész számokkal, 2014 , pp. 1-8.
↑ Tanulási sorozat, 2002 , pp. 1-18.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Fosnot és Dolk, 2001 , p. 99.
↑ Wingard-Nelson R., 2014 , p. 21.
↑ Dale, 2008 , p. 155.
↑ Botman, 1837 , p. 31.
↑ Treit és Rogers, 1960 , pp. 41-49.
↑ Georges, 2001 , p. tizenegy.
↑ Margun, 1994 , p. 48.
↑ Tanon, 1963 , p. 62.
↑ Tekintse meg a Pascal-féle összegző gép bejegyzését a versengő tervekhez .
↑ Flynn és Overman, 2001 , pp. 2-8.
↑ Flynn és Overman, 2001 , pp. 1-9.
↑ Sang-Su Yo, 2010 , p. 194.
↑ Karpinski, 1925 , pp. 102-103.
↑ Horovets és Hill, 2009 , p. 679.
↑ Blotch, 2006 , p. egy.
↑ Enderton, 1977 , pp. 4-5.
↑ Tanulási sorrend, 2002 , p. négy.
↑ Baez, 2000 , p. 37: "Nyilván könnyebb elképzelni egy fél almát, mint egy negatív almát!"
↑ számozás , Nemnegatív egész számok bevezetésének elméleti alapjai, p. 7.
↑ Istomina, 2009 , p. 71.
↑ Számrendszerek, 2006 , p. 3.
↑ Enderton, 1977 , p. 79.
↑ Bergman, 2015 , p. 100: Lásd Bergman könyvében egy olyan változat, amely bármely csökkenő állapotlánccal rendelkező pózra alkalmazható .".
↑ Enderton, 1977 , p. 79: "De szükségünk van egy bináris műveletre +, nem ezekre a kis egyhelyes függvényekre."
↑ Ferrius, 2013 , p. 223.
↑ Vigodszkij, 2003 .
↑ Barsukov, 1966 , p. 25.
↑ Enderton, 1977 , p. 92.
↑ Gusev, 1988 , p. húsz.
↑ Enderton, 1977 , p. 104.
↑ Fierro, 2012 , p. 87.
↑ Mivel a valós számok halmazán már bevezettük a lineáris sorrendű relációt, meg tudjuk határozni a valós sor topológiáját: nyitott halmazokként felvesszük a forma intervallumainak összes lehetséges unióját. $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Iljin, 1985 , p. 46.
↑ A grafikont a www.romanlab.com "3D Grapher Version 1.2" program készítette. Bemeneti argumentumok: x=a, y=b, z=a+b
↑ Conway, 1986 , p. 107.
↑ Aleksandrov, 1956 , p. 304.
↑ Lipshutz, 2001 , p. 201.
↑ Riley, 2006 , p. 253.
↑ Dummit and Foote, 1999 , p. 48.
↑ Rudin, 1976 , p. 178.
↑ Lee J., 2013 , p. 526.
↑ Linderholm, 1972 , p. 49.
↑ Dummit and Foote, 1999 , p. 224: "Ahhoz, hogy ez érvényes legyen, szükséges, hogy az összeadás csoportművelet legyen, és legyen egy semleges elem a szorzás szempontjából."
↑ Loday, 2002 , p. 15: „A bal- és jobboldali disztributivitás példáját lásd Loday cikkében, különösen a következő oldalon. tizenöt".
↑ Viro, 2012 , p. 2.
↑ Enderton, 1977 : "Enderton ezt az állítást a "Bíboros számok aritmetikai elnyelő törvényének" nevezi"; ez a kardinális számok összehasonlíthatóságától és így a választás axiómájától függ .”.
↑ Enderton, 1977 , p. 164.
↑ Mikhalkin, 2009 , p. egy.
↑ Akian et al., 2006 , p. négy.
↑ Mikhalkin, 2009 , p. 2.
↑ Litvinov, 2005 , p. 3.
↑ Viro, 2012 , p. négy.
↑ Martin, 2011 , p. 49.
↑ Stewart, 2010 , p. nyolc.

Irodalom

oroszul

Barsukov, A. N. Algebra: Tankönyv a VI-VIII osztályoknak / Szerk. S. I. Novosyolova. - M . : Nevelés, 1966. - 296 p.
Vygodsky, M. Ya. Az elemi matematika kézikönyve / M. Ya. Vygodsky. — M .: Astrel: AST, 2003. — 509 p. - ISBN 5-17-009554-6 (LLC Kiadó "AST"). - ISBN 5-271-02551-9 (OOO "Astrel" kiadó).
Gusev, V. A. Matematika: Ref. anyagok: könyv. diákoknak / V. A. Gusev, A. G. Mordkovich. - M . : Oktatás, 1988. - 476 p. — ISBN 5-09-001292-X .
Zelvensky, I. G. Csoportok, gyűrűk, mezők: Módszertani. utasítások a "Geometria és algebra" tudományághoz / I. G. Zelvensky. - Szentpétervár. : SPbGETU, [b. G.]. — 30 s.
Zubareva, I. I. Matematika: 5. évfolyam: tankönyv. általános iskolai tanulók számára. intézmények / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 14. kiadás, Rev. és további — M .: Mnemozina, 2013. — 270 p. - ISBN 978-5-346-02573-3 .
Matematika, tartalma, módszerei és jelentése: 3 kötetben / [Szerk. Kollégium: levelező tag A Szovjetunió Tudományos Akadémia A. D. Alekszandrov és mások]; Acad. a Szovjetunió tudományai. Mat. in-t im. V. A. Steklova. - M . : Kiadó Acad. A Szovjetunió tudománya, 1956. - T. 3. - 336 p.
Iljin, V. A. Matematikai elemzés: Kezdő tanfolyam / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichiy, Bl. H. Sendov. - 2. kiadás, ford. - M . : Moszkvai Kiadó. un-ta, 1985. - 662 p.
Istomina, N. B. A matematikatanítás módszerei az általános iskolában: Fejlesztő nevelés / N. B. Istomina. - 2. kiadás - Szmolenszk: Egyesület XXI. század, 2009. - 288 p. — ISBN 978-5-89308-699-7 .
Matematikai enciklopédikus szótár / Ch. szerk. Yu. V. Prokhorov. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1988. - 847 p. — ISBN 5-85270-278-1 .
Rudnitskaya, V. N. Matematika: 1. osztály: tankönyv. általános iskolai tanulók számára. intézmények. Az év második fele / V. N. Rudnitskaya. - 2. kiadás, átdolgozva. - M. : Ventana-Graf, 2004. - 111 p. - ISBN 5-88717-322-X (fordításban).
Orosz nyelv szótára : 4 kötetben / RAS, Nyelvtudományi Intézet. kutatás; Szerk. A. P. Jevgenyeva. - 4. kiadás, törölve. - M . : Rus. lang. : Polygraphresources, 1999. - T. 4. - 797 p. - ISBN 5-200-02672-5 ("orosz nyelv"). - ISBN 5-87548-048-3 (poligráf források). - ISBN 5-200-02676-8 ("orosz nyelv") (4. köt.).

angolul

Akian, M. Min-plus módszerek a sajátérték-perturbáció elméletben és az általánosított Lidskii-Vishik-Ljusternik tétel / M. Akian, R. Bapat, S. Gaubert. - 2006. - február 16. - arXiv : math.SP/0402090v3 .
Austein, R. DATE-86, avagy The Ghost of Tinkles Past // The Risks Digest: Journal. - 1987. - 1. évf. 4, sz. 45.
Baez, J. Mathematics Unlimited - 2001 and Beyond: From Finite Sets to Feynman Diagrams / J. Baez, J. Dolan. - Springer Berlin Heidelberg, 2000. - 1236 p. — ISBN 3-540-66913-2 .
Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa. A számtani fogalmak és készségek fejlesztése = The Development of Arithmetic Concepts and Skills. - Routledge, 2013. - 520 p. — ISBN 0-8058-3155-X .
Begle, Edward. Matematika az elemi iskolában = The Mathematics of the Elementary School. - McGraw-Hill, 1975. - 453 p. — ISBN 0-07-004325-6 .
Bergman, George. Meghívó az általános algebrára és az egyetemes konstrukciókra. - 2. kiadás - Springer, 2015. - 572 p. — ISBN 0-9655211-4-1 .
Joshua Bloch. Extra, Extra – Olvasson el mindent: Szinte minden bináris keresés és összevonás megszakadt // Hivatalos Google kutatási blog : Journal . – 2006.
Bogomolnij, Sándor. Mi az a kiegészítés? (angolul) = Mi az összeadás?.
Bates Bothman. Általános iskolai aritmetika = The common school aritmetic. - Prentice-Hall, 1837. - 270 p.
Bunt, Lucas N. H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. Az elemi matematika történelmi gyökerei. - Prentice-Hall, 2012. - 336 p. — ISBN 0-13-389015-5 .
Burrill, Claude. Valós számok alapjai = Valós számok alapjai. - McGraw-Hill, 1967. - 163 p.
Beckmann, S. A huszonharmadik ICMI tanulmány: elsődleges matematikai tanulmány egész számokon: folyóirat . – International Journal of STEM Education, 2014.
Van de Walle, John. Általános és középiskolai matematika: Fejlesztő tanítás. - 5. kiadás - Pearson Education, 2015. - 576 p. — ISBN 0-205-38689-X .
Weaver, J. Fred. Összeadás és kivonás: Kognitív perspektíva. A műveletek számának értelmezései és az összeadás és kivonás szimbolikus ábrázolásai = Összeadás és kivonás: Kognitív perspektíva. A számműveletek értelmezései és az összeadás és kivonás szimbolikus ábrázolásai. - Taylor és Francis, 2012. - P. 8. - ISBN 0-89859-171-6 .
Williams, Michael. A számítástechnika története = A History of Computing Technology. - Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-389917-9 .
Rebecca Wingard-Nelson. Tizedesjegyek és törtek: Könnyű = Tizedesjegyek és törtek: Egyszerű. - Enslow Publishers, 2014. - 64 p. — ISBN 0766042529 .
Wynne, Karen. Development of Mathematical Skills = The Development of Mathematical Skills. - Taylor és Francis, 1998. - 338 p. — ISBN 0-86377-816-X .
Viro, Oleg; Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastia, szerk. Európai Matematikai Kongresszus: Barcelona, 2000. július 10–14., I. kötet = European Congress of Mathematics: Barcelona, 2000. július 10–14., I. kötet. Valós algebrai geometria dekvantálása logaritmikus papíron. - Birkhäuser, 2012. - T. 1. - 582 p. — ISBN 3-7643-6417-3 .
Henry, Valerie J.; Brown, Richard S. Első osztályú alapvető tények: Egy gyorsított, nagy igényű memorizálási szabvány tanításának és tanulásának vizsgálata. - Heinemann, 2008.
Dummit, D.; Foote, R. Absztrakt algebra. - Wiley, 1999. - 912 p.
Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda. Matematika: Explorations & Applications = Matematika: Kutatások és alkalmazások. — Prentice Hall. — ISBN 0-13-435817-1 .
Dale R. Patrick, Stephen W. Fardo, Vigyan Chandra. Az elektronikus digitális rendszerek alapjai = Electronic Digital System Fundamentals. - The Fairmont Press, 2008. - 340 p.
Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684. A matematika alapelvei és alkalmazásai a kommunikáció-elektronikában. - Parancsnokság, Hadsereg Osztály, 1992. - S. szakasz 5.1. — 268 p.
Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. Elementary Mathematics for Teachers. – Wiley, 1991.
Jackson, Albert. Analog Computing = Analóg számítás. - McGraw-Hill, 1960.
Johnson, Paul. Botok és kövek: Személyes kalandok a matematikában. - Science Research Associates, 1975. - 552 p. — ISBN 0-574-19115-1 .
Ifrah, Georges. A számítástechnika egyetemes története: az abakusztól a kvantumszámítógépig. - John Wiley, 2001. - 410 p.
Joshi, Kapil D. A diszkrét matematika alapjai. - New Age International, 1989. - 748 p. - ISBN 978-0-470-21152-6 .
Dunham, William. Matematikai Univerzum = The Mathematical Universe. - Wiley & Sons, 1994. - 314 p. - ISBN 0-471-53656-3 .
Kaplan, Robert. Mi a semmi: The Natural History of Zero = The Nothing That Is: A Natural History of Zero (angol) . - Oxford University Press, 1999. - 240 p. — ISBN 0-19-512842-7 .
Florian Cajori. A matematikai jelölések története = A History of Mathematical Notations. - The Open Court Company, 1928. - 818 p.
Asztalos, Tamás; Fennema, Elizabeth; Franke, Megan Loef; Levi, Linda; Empson, Susan. Gyermekmatematika = Gyermekmatematika: Kognitívan irányított oktatás. - Heinemann, 2014. - 218 p. — ISBN 0325052875 .
Karpinski, Louis. History of aritmetic = The history of aritmetic. - Russell & Russell, 1925. - 200 p.
Kilpatrick D. Hozzáadás : Segítség a gyerekeknek a matematika tanulásában = Adding It Up: Helping Children Learn Learn Mathematics. - National Academy Press , 2001. - 454 p. — ISBN 0-309-06995-5 .
Conway, John B. Functions of One Complex Variable I. - Springer Science, 1986. - 322 p. — ISBN 0-387-90328-3 .
Lee, John. Bevezetés a sima elosztókba. - Springer, 2013. - 631 p. — ISBN 0-387-95448-1 .
Li, Y. és Lappan, G. Matematika tanterv az iskolai oktatásban. - Springer, 2013. - 663 p. — ISBN 9400775601 .
Linderholm, Carl. Mathematics Made Difficult = Mathematics Made Difficult. - Világkocsma, 1972. - 207 p. — ISBN 0-7234-0415-1 .
Lipschutz, S. és Lipson, M. Schaum: A lineáris algebra elméletének és problémáinak vázlata. - Erlangga, 2001. - 424 p. — ISBN 9797815714 .
Litvinov, Grigorij; Maszlov, Victor; Szobolevszkij, Andreii. Idempotens matematika és intervallumelemzés = Idempotens mathematics and interval analysis. - American Mathematical Soc, 2005. - 370 p. — ISBN 0821835386 .
Jean-Louis Loday. Arithmeter (angol) = Arithmetree // Journal of Algebra: Journal. - 2002. - december 22. ( 258. sz.). - doi : 10.1016/S0021-8693(02)00510-0 . - arXiv : math/0112034 .
Mazur, József. Felvilágosító szimbólumok: A matematikai jelölés rövid története és rejtett ereje. - Princeton University Press, 2014. - 321 p. — ISBN 1400850118 .
Williams, Michael. A számítástechnika története = A History of Computing Technology. - 2. - IEEE Computer Society Press, 1997. - 426 p. — ISBN 0-13-389917-9 .
Marguin, Jean. A számítástechnikai gépek története = Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642-1942. - Hermann., 1994. - 206 p. - ISBN 978-2-7056-6166-3 .
Mihalkin, Grigorij; Sanz-Sole, Marta, szerk. Tropical Geometry and its Applications = Tropical Geometry and its Applications. - 2. kiadás - Madryn, Spanyolország: Springer Science & Business Media, 2009. - 104 p. - ISBN 978-3-03719-022-7 .
Márton, János. Bevezetés a nyelvekbe és a számításelméletbe = Introduction to Languages and the Theory of Computation. - 3. - McGraw-Hill, 2011. - 436 p. — ISBN 0-07-232200-4 .
Mosley, F. Számegyenesek használata 5-8 éves gyerekekkel. - Nelson Thornes, 2001. - 8 p. — ISBN 1874099952 .
Oxford English Dictionary = Oxford English Dictionary (angol) . – Oxford University Press, 2005.
Order of Operations (angolul) = Order of Operations Lessons // Algebrahelp : Journal. - 2012. Archiválva : 2012. november 2.
James Randerson. Az elefántok elég okosak ahhoz, hogy figurákat rajzoljanak = Az elefántoknak fejük van a figurákhoz: napló . - Theguardian, 2008. - augusztus 21.
Riley, KF; Hobson képviselő; Bence, SJ Fizikai és mérnöki matematikai módszerek: Átfogó útmutató. - Cambridge University Press, 2006. - 437 p. — ISBN 978-0-521-86153-3 .
Rudin, Walter. A matematikai elemzés alapjai = Principles of Mathematical Analysis. - 3. - McGraw-Hill, 1976. - 342 p. — ISBN 0-07-054235-X .
Yeo, Sang-Soo et al., szerk. Algoritmusok és architektúrák a párhuzamos feldolgozáshoz. - Springer, 2010. - 574 p. — ISBN 3642131182 .
Smith, Karl. The Nature of Modern Mathematics = The Nature of Modern Mathematics. - 3. kiadás — Brooks/Cole Pub. Co., 1980. - 620 p. — ISBN 0-8185-0352-1 .
Smith, Frank. Az üvegfal: Miért tűnik nehéznek a matematika? - Teachers College Press, 2002. - 163 p. — ISBN 0-8077-4242-2 .
Sparks, F.; Rees C. A Survey of Basic Mathematics . - 4. - McGraw-Hill, 1979. - 543 p. — ISBN 0-07-059902-5 .
Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals = Calculus: Early Transcendentals. - 4. - Brooks / Cole, 2010. - 1344 p. - ISBN 0-534-36298-2 .
Taton, Rene. Számítási mechanika. Mit tudhatnék? = Le Calcul Mecanique. Que Sais-Je? n° 367 – Presses universitaires de France, 1963.
Truitt, T.; Rogers, A. Az analóg számítógépek alapjai. - John F. Rider, 1960. - 378 p.
Ferreiros, José. A gondolkodás útvesztői: A halmazelmélet története és szerepe a modern matematikában. - Birkhäuser, 2013. - 440 p. - ISBN 0-8176-5749-5 .
R. Fierro. Mathematics for Elementary School Teachers = Mathematics for Elementary School Teachers. - Cengage Learning, 2012. - 976 p. — ISBN 0538493631 .
Flynn, M.; Oberman, S. Advanced Computer Aithmetic Design. - Wiley, 2001. - 325 p. - ISBN 0-471-41209-0 .
Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten. Fiatal matematikusok munkában: Számérzékelés, összeadás és kivonás megalkotása. - Heinemann, 2001. - 193 p. — ISBN 0-325-00353-X .
Hempel, CG Carl G. Hempel filozófiája : a tudomány, a magyarázat és a racionalitás tanulmányozása . - Oxford University Press, 2000. - 464 p. — ISBN 0195343875 .
Horowitz, P.; Hill, W. The Art of Electronics = The Art of Electronics. - 2. - Binom, 2009. - 704 p. - ISBN 0-521-37095-7 .
Schwartzman, Steven. Mathematical Words: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English = The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. - MAA, 1994. - 261 p. - ISBN 0-88385-511-9 .
Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. Learning Sequence = A koherens tanterv: folyóirat . – amerikai oktató, 2002.
Schyrlet Cameron, Carolyn Craig. Törtek összeadása és kivonása 5 - 8 éves korban = Törtek összeadása és kivonása, 5 - 8. osztály. - Carson-Dellosa, 2013. - 64 p. — ISBN 162223006X .
Schubert, E. Thomas; Phillip J. Windley; James Alves Foss. Higher Order Logic Theorem Proving and its Applications: Proceedings of the 8th International Festival = Higher Order Logic Theorem Proving and Its Applications: Proceedings of the 8th International Workshop. - Springer, 1995. - 400 p.
Enderton, Herbert. A halmazelmélet elemei = Elements of Halmazelmélet. - Gulf Professional Publishing, 1977. - 279 p. — ISBN 0-12-238440-7 .

Linkek

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Britannica (online) Gránátalma
Bibliográfiai katalógusokban	BNF : 11976283t GND : 4296282-1 J9U : 987007292953205171 LCCN : sh85000817 NKC : 898518