Privát gyűrű

Az R kommutatív gyűrű (egységgel) S −1 R hányadosainak gyűrűje a szorzórendszer szerint az R - ből származó számlálókkal és S-ből a nevezőkkel rendelkező törtek tere a törteknél szokásos aritmetikai műveletekkel és azonosításokkal.

Szintén használatos az R gyűrű lokalizációja az S halmazhoz képest . Ez a kifejezés az algebrai geometriából származik : ha R  függvények gyűrűje egy V algebrai változaton , akkor ennek a változatnak a p pontban lévő lokális tulajdonságainak tanulmányozásához általában azon függvények halmazát vesszük figyelembe , amelyek nem egyenlők nullával ezt a pontot és e halmaz mentén lokalizálja az R -t.

A lokalizáció (vagy hányadosgyűrű) szokásos jelölése S −1 R , de bizonyos esetekben gyakrabban használnak más jelöléseket. Így, ha S  egy I prímideál komplementere , akkor R lokalizációját R I - ként jelöljük (és a gyűrű prímideál általi lokalizációjának nevezzük), és ha S az f  elem összes hatványának halmaza. , az R f jelölést használjuk . Az utolsó két eset alapvető az áramkörelmélet szempontjából .

Definíció

Az R gyűrűben lévő szorzórendszer egy R - beli S részhalmaz , amely 1-et tartalmaz, nullát nem tartalmaz, és a szorzás alatt zárt (az R gyűrűben ). S multiplikatív rendszer esetén a halmaz egy ideált alkot az R gyűrűben . Abban az esetben, ha az S halmaz nem tartalmazza az R gyűrű nulla osztóit , az ideál csak nullából áll, és az S rendszert regulárisnak nevezzük. Ha R  egy integrálgyűrű , akkor minden benne lévő multiplikatív rendszer szabályos.

Az R gyűrű törtgyűrűjének elemei az S szorzórendszerrel az r/s alakú formális törtek , ahol r az R  tetszőleges eleme, s pedig az S  halmaz egy eleme . Két tört és ekvivalensnek tekinthető (a hányadosgyűrű ugyanazt az elemét jelenti), ha . Az összeadás és szorzás műveleteit a szokásos módon határozzuk meg:

Ellenőrzik, hogy ha az összegben vagy szorzatban a törteket ekvivalensekre cseréljük, az új eredményt az előzővel egyenértékű törttel fejezzük ki. Az ilyen műveletekkel a halmaz egy egységnyi kommutatív gyűrű szerkezetét kapja. A benne lévő nulla a 0/1 tört , az egység az 1/1 tört .

Privát mező

Ha R  egy integritási tartomány , akkor az összes nem nulla elemének halmaza multiplikatív rendszert alkot. A hányadosok gyűrűje e rendszer szerint egy mező , és hányadosok mezőjének vagy relációk mezőjének nevezik , általában Frac(R) vagy Quot(R) jelöléssel . A hányadosmező minden eleme a /b alakú , ahol a, b R  elemei és b ≠ 0, a szokásos számtani szabályok szerint a számláló és nevező redukciójára, összeadásra és szorzásra. Könnyen belátható, hogy a hányadosok mezője a legkisebb mező, amelybe R beágyazható . Például egy mező hányadosainak mezője izomorf magával a mezővel.

Van egy gyűrű természetes beágyazódása a hányadosmezőjébe, amely a/1 -nek küld egy -et . Az R gyűrű törteinek mezeje a következő univerzális tulajdonságot teljesíti : ha h  : R → F gyűrűk injektív homomorfizmusa R -ből  egy F mezőbe , akkor létezik egy egyedi g  : Quot( R ) → F gyűrűhomomorfizmus , amely egybeesik . h - val az R elemein . Ez az univerzális tulajdonság a következő szavakkal fejezhető ki: a hányadosok mezője a gyűrű elemeinek invertálhatóvá tételének szabványos módja , a hányadosok gyűrűje pedig egy szabványos módszer a gyűrű elemeinek valamely részhalmazának invertálhatóvá tételére .

Kategóriaelméleti szempontból a hányadosmező felépítése a következőképpen írható le. Tekintsünk egy kategóriát, amelynek objektumai integrálgyűrűk, morfizmusai pedig injektív gyűrűhomomorfizmusok. A mezők kategóriájából ebbe a kategóriába tartozik egy felejtő függvény (mivel minden mezőhomomorfizmus injektív). Kiderült, hogy ennek a függvénynek van egy bal oldali adjunktusa , és egy integrálgyűrűhöz rendeli a törtmezőjét.

Tulajdonságok

• A törtek gyűrűje az R gyűrű feletti algebra kanonikus szerkezetével rendelkezik, mivel az S −1 R gyűrűvel együtt az R gyűrű kanonikus homomorfizmusa S −1 R - re azonnal definiálva van (R-ből minden r elem a törtnek felel meg r/1 ). Ennek a homomorfizmusnak a magja az ideális . Ha az S rendszer szabályos (nulla osztót nem tartalmaz), akkor ez a homomorfizmus injektív, és így az R gyűrű beágyazódik az S rendszerre vonatkozó hányadosok gyűrűjébe . Ebben az esetben az r/s tört az egyetlen megoldás az sx = r egyenletre .
• Ha az r és az s elem is S -hez tartozik , akkor az S −1 R gyűrű tartalmazza az r/s és s/r törteket . A termékük 1, tehát invertálhatóak. Ezzel szemben az S −1 R gyűrű minden invertálható eleme er/s alakkal rendelkezik , ahol r és s S-hez tartozik, e pedig az R  gyűrű invertálható eleme .
• Ha R  egy euklideszi gyűrű , akkor az R és a frakciómezője közötti bármely gyűrű az R gyűrű törteinek gyűrűje valamilyen S multiplikatív rendszer szerint.
• Ha az S rendszer csak az R gyűrű invertálható elemeiből áll , akkor az R gyűrű kanonikus homomorfizmusa S −1 R - re izomorfizmussá válik, mivel az R gyűrűben minden r/s tört törölhetőnek bizonyul .
• Bijekció van az S −1 R prímideálok halmaza és az S halmazt nem metsző R prímideálok halmaza között (amit az R → S −1 R homomorfizmus indukál ). Ennek a tulajdonságnak egy fontos speciális esete: a gyűrű p prímideálra történő lokalizálása olyan lokális gyűrűt ad , amelynek egyetlen prímideált a p elemeinek képei generálják .

Példák

• Az egész számok gyűrűjének hányadosainak mezője a racionális számok mezője .
• 10 hatványai szorzórendszert alkotnak. A hányadosok gyűrűje hozzá képest a véges tizedes törtek gyűrűje lesz.
• A polinomgyűrű hányadosainak mezője a k mező felett a racionális függvények mezője lesz .
• A páros számok prímideál formájában vannak. A gyűrű lokalizációja ennek megfelelően a racionális törtek gyűrűje lesz, amelyben a nevező irreducibilis formában páratlan szám.
• Tekintsünk egy k [ x ] és f = x polinomgyűrűt . Ekkor R f a Laurent-polinomok k [ x, x −1 ]  gyűrűje .

Privát modulok

Körülbelül ugyanez a konstrukció alkalmazható a modulokra , és egy tetszőleges M A -modulhoz tekintsük az S −1 M hányadosok modulját . Legyen ugyanis az S  szorzórendszer valamely elemével való szorzással megsemmisített modulelemek halmaza, könnyen ellenőrizhető, hogy ez a halmaz az összeadás és a gyűrű egy elemével való szorzáskor zárva van-e. Az S −1 M törtek modulusa az m/s  alakú formális törtek halmaza az ekvivalenciarelációval , ha a törtek összeadás szokásos műveletével, valamint az S − gyűrű elemeivel történő szorzás műveletével. 1 A m/s * a/s' = am /ss' formájú .

Legyen az A -modulok homomorfizmusa, az S -1 A -modulok homomorfizmusát indukálja,  m / s - t u ( m)/s -ra leképezve . Nyilvánvaló, hogy , azaz az S −1 művelet egy függvény . Ráadásul ez a függvény pontos . [1] Ebből következik, hogy ha a részmodulja , akkor a részmodulja . Ha egy adott modul két részmodulját tekintjük, akkor S −1 alkalmazása rájuk a modulok összegének, a modulok metszetének és a hányados modulnak a felvételével permutál.

A hányadosok modulusát tenzorszorzattal ábrázolják: Ebből az ábrázolásból és a lokalizációs függvény pontosságából következik, hogy a modulus lapos .

Helyi tulajdonságok

Az A gyűrű (vagy egy M A -modul) P tulajdonságát lokálisnak nevezzük, ha a következő utasítások egyenértékűek:

• A (ill. M ) rendelkezik P tulajdonsággal ,
• Az A I (ill. M I ) P tulajdonsággal rendelkezik az A gyűrű összes I prímideáljára .

A lokális tulajdonságokra a következő példák adhatók: a modul tulajdonsága, hogy nullával egyenlő, a homomorfizmus tulajdonsága, hogy injektív vagy szürjektív (a lokalizáció által kiváltott homomorfizmusokat figyelembe kell venni), a modul tulajdonsága, hogy lapos .

Jegyzetek

1. ↑ Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. – 2003.

Linkek

• Atiyah M., McDonald I. Bevezetés a kommutatív algebrába. - Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
• Zarissky O., Samuel P. Kommutatív algebra. - T.1. - M .: IL, 1963.