Helyi gyűrű

A lokális gyűrű olyan gyűrű , amelynek viszonylag egyszerű belső szerkezete van, és lehetővé teszi a függvények „lokális viselkedésének” leírását egy algebrai vagy egy közönséges változaton . A kommutatív algebra azon ágát , amely a lokális gyűrűket és a rajtuk lévő modulokat vizsgálja, lokális algebrának nevezzük .

Definíció

Egy R gyűrű lokális, ha az alábbi egyenértékű tulajdonságok valamelyike teljesül:

R -nek egyetlen maximális bal ideálja van ;
R -nek egyetlen maximális jobboldali ideálja van ;
Az R irreverzibilis elemek halmaza összeadáskor zárt , és a gyűrű azonossága nem esik egybe nullával .

Ebben az esetben az egyetlen maximális bal ideál egybeesik a maximális jobb ideállal, és a gyűrű összes irreverzibilis eleméből áll. Ezzel szemben, ha egy gyűrű minden irreverzibilis eleme egy ideált alkot, akkor ez az ideál maximális, és nincs más maximális ideál a gyűrűben.

Példák

Minden test lokális gyűrű, mivel az egyetlen megfelelő ideál bennük a nullideál.
A helyi gyűrűk fontos osztálya a diszkrét értékelési gyűrűk . Konkrétan az összes helyi fő ideális tartomány diszkrét értékelési gyűrű.
A formális hatványsorok gyűrűje tetszőleges számú változóban lokális.
Bármely R kommutatív gyűrű lokalizációja egy elsődleges ideálhoz képest lokális gyűrű.

Funkció csírák

Ez a példa lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük a „helyi” kifejezés eredetét. Tekintsük a folytonos valós értékű függvények gyűrűjét a nulla valamely környezetében . Vezessünk be egy ekvivalencia relációt az ilyen függvények halmazára : két függvény akkor és csak akkor ekvivalens, ha a nulla valamely szomszédságára vonatkozó korlátozásaik egybeesnek. Az ekvivalencia osztályokat erre az összefüggésre vonatkozóan "valós értékű folytonos függvények nullán való csíráinak" nevezzük, a csírákon természetesen bevezethető az összeadás és szorzás művelete, könnyen ellenőrizhető, hogy a csírák gyűrűt alkotnak.

Annak ellenőrzésére, hogy ez a gyűrű lokális-e, leírjuk az összes visszafordíthatatlan elemét. Nyilvánvaló, hogy az f függvény csírája , ahol f (0) = 0, nem invertálható. Fordítva, ha f (0) ≠ 0, akkor a folytonosság azt jelenti, hogy f( x ) ≠ 0 a nulla valamely környezetében. Vegyünk egy ebben a szomszédságban definiált g ( x ) = 1/ f ( x ) függvényt, amelynek csírája inverz az f csírájával , ezért f csírája invertálható. Ezért csak az olyan függvények csírái irreverzibilisek, hogy f (0) = 0. Így két irreverzibilis csíra összege irreverzibilis, tehát a csíragyűrű lokális.

Pontosan ugyanazok az érvek teszik lehetővé annak bizonyítását, hogy a folytonos függvények egy tetszőleges topológiai tér pontjában , vagy a sima függvények egy sima variáció pontjában , vagy a racionális függvények egy algebrai változat pontjában lokálisak. Az utolsó példa nagy jelentőséggel bír az algebrai geometriában . Különösen a sémák , amelyek az algebrai változatok általánosításai , további tulajdonságokkal rendelkező , lokálisan gyűrűzött terekként vannak definiálva .

Nem kommutatív helyi gyűrűk

A nem kommutatív lokális gyűrűk természetesen megjelennek a modulok direkt összegű dekompozícióinak vizsgálatában . Ugyanis ha egy M modul endomorfizmus gyűrűje lokális, akkor M felbonthatatlan . Ezzel szemben, ha M egy véges hosszúságú felbonthatatlan modul , akkor az endomorfizmus gyűrűje lokális.

Ha k egy nullától eltérő p karakterisztikájú mező és G véges p-csoport , akkor a k [ G ] csoportgyűrű lokális.

Gyűrű lokalizálása elsődleges ideál alapján

Legyen R kommutatív gyűrű identitással, és legyen benne elsődleges ideál . A halmaz egy prímideálnak megfelelő R gyűrű multiplikatív rendszerét alkotja . $\mathfrak{p}$ $S_{\mathfrak {p}}=\{a\in R:\,a\notin {\mathfrak {p}}\}$ $\mathfrak{p}$

Az R gyűrűnek egy prímideál általi lokalizációja az R gyűrű törteinek gyűrűje multiplikatív rendszerrel . A hányadosok gyűrűjének általános esetéhez hasonlóan az R be gyűrű kanonikus homomorfizmusát a képlet határozza meg . $R_{\mathfrak{p}}$ $\mathfrak{p}$ $S_{\mathfrak {p}}^{-1}R$ $S_{\mathfrak {p))$ $\pi _{\mathfrak {p))$ $S_{\mathfrak {p}}^{-1}R$ $\pi _{\mathfrak {p}}(r)=r/1$

Sőt, minden invertálható elemnek van alakja , ahol mind az elemek , mind az irreverzibilis elemek r/s alakúak , és alkotják az ideálist . Mivel ez az ideál a gyűrű összes visszafordíthatatlan elemét tartalmazza , ez egy maximális ideál és egy lokális gyűrű. $R_{\mathfrak{p}}$ ${\displaystyle s_{1}/s_{2))$ $s_{1},s_{2}\in S_{\mathfrak {p))$ $r\in {\mathfrak {p)),\,s\in S_{\mathfrak {p))$ $\mathfrak{m}$ $R_{\mathfrak{p}}$ $R_{\mathfrak{p}}$

Lásd még

Nakayama lemma

Irodalom

Bourbaki N. Kommutatív algebra. - M: Mir, 1971
Lam, TY Egy első fogás nem kommutatív gyűrűkben (neopr.) . — 2. - Springer-Verlag , 2001. - (Diplomás szövegek matematikából). — ISBN 0-387-95183-0 .
Jacobson, Nathan. Alapalgebra (határozatlan) . — 2. - Dover, 2009. - 2. kötet - ISBN 978-0-486-47187-7 .