Szuperlogaritmus

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2016. március 26-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 27 szerkesztést igényelnek .

A matematikában a szuperlogaritmus a két inverz tetraciós függvény egyike .

Ahogy a hatványozásnak két inverz függvénye van ( gyök és logaritmus ), úgy a tetraciónak is két inverz függvénye van: szupergyökér és szuperlogaritmus . Ez a hiperoperátor nem kommutativitásának köszönhető . $N>2$

Definíciók

Egy szám bázishoz viszonyított szuperlogaritmusa a logaritmushoz hasonlóan bázistetratációs indexként van definiálva, amelynél a számot megkapjuk . $b$ $a$ $a$ $b$

Jelölés: , " alap -szuperlogaritmusként " ejtve. $\,\mathrm {slog} _{a}b$ $b$ $a$

A szuperlogaritmus az egyenlet megoldásaként

Pozitív számok esetén a szuperlogaritmus az egyenlet egyik létező megoldásaként definiálható: $a$ $b$

${}^{x}a=b$ ; sőt nyitott elméleti problémák alapján a szuperlogaritmus eddig egyértelműen csak páros és páratlan értékeket vehet fel (azaz meghatározható és kiszámítható). Páratlan szuperlogaritmus esetén a és a számok bármilyen pozitív értéket vehetnek fel - ez azzal magyarázható, hogy az alak függvényei mindenhol növekednek ( a származékok pozitív szélsőpontjainak hiánya miatt ). $a$ $b$ $f(x)={}^{n}x,{\frac {n-1}{2}}\in \mathbb {N}$ $x>0$

Az egyenletes logaritmushoz bizonyos korlátozások vonatkoznak. Így például nincs olyan, hogy az egyenlőtlenség teljesüljön (mivel a szám a tetració minimális értéke ). A megszorítás azonban más lesz (és így tovább). $\,\mathrm {slog} _{a}b=2$ $a$ ${\displaystyle b<e^{-{\frac {1}{e))))$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e))))$ ${}^{2}b,b>0$ $\,\mathrm {slog} _{a}b=4$

Iterált logaritmus

A pozitív egész szuperlogaritmus pontosan megegyezik az iterált logaritmussal, például: $\,\mathrm {slog} _{2}16=\log _{2}^{*}{16}=1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{ 16}}=1+\log _{2}^{*}{4}=1+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{4}}=2+\log _{2}^{*}{2}=2+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{2}}=3+\log _{2}^{*} {1}=3+0=3$

És valóban, ${}^{3}2=2^{2^{2}}=2^{4}=16.$

A szuperlogaritmus negatív és/vagy nem egész értékei esetében azonban ez a meghatározás nem megfelelő, így nem elég teljes.

Szuperlogaritmus mint Abel -függvény

A szuperlogaritmikus függvény Abel-függvény, mert ez az egyetlen megoldás az Abel - funkcionális egyenletre a [1] számára : ${\displaystyle f(x)=a^{x))$

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ }}f(x)=a^{x},{\text{ }}\alpha (x)={ \text{slog}}_{a}x.$

Így a szuperlogaritmus implicit módon definiálható a következő algoritmussal:

\operatorname {slog} _{b}(z)={\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(1)=0\\\operatorname {slog} _{b}(b^ {z})=\operátornév {slog} _{b}(z)+1\end{cases}}

Például a következők ellenőrzése: $\operátornév {slog} _{2}{65536}=\operátornév {slog} _{2}{2^{16}}=\operátornév {slog} _{2}{16}+1=\operátornév {slog} _{2}{2^{4}}+1=\operatorname {slog} _{2}{4}+2=\operatorname {slog} _{2}{2^{2}}+2 =\operátornév {slog} _{2}{2}+3=4,$

${}^{4}2=2^{2^{2^{2))}=2^{16}=65536.$

Ez a meghatározás a szuperlogaritmus pozitivitását és integritását is korlátozza. A szuperlogaritmus értékeinek valós számok nagy halmazaira való kiterjesztéséhez több közelítő megközelítést alkalmaznak, amelyek általában egy harmadik további követelményt tartalmaznak az előző kettőhöz képest, amely szerzőnként változik (lásd a részleteket alább):

Rubstov és Romerio lineáris közelítési módszere;
Másodfokú közelítés: Andrew Robbins;
Szabályos Abel-függvény (Sekeres György);
Peter Walker iterált függvénymódszere;
Peter Walker természetes mátrix megközelítése (akkor Andrew Robbins általánosította).

Közelítések

Lineáris közelítési módszer

Az első szerzők, akik megtalálták ezt a közelítést Konsztantyin Anatoljevics Rubcov és Giovanni F. Romerio ( olasz Giovanni F. Romerio ) voltak (bár ez a képlet nem szerepel a cikkükben , ez a számítási szoftverek megfelelő algoritmusának prototípusából származtatható - a hiperkalkulátor [2] ). Másrészt a tetració lineáris közelítését korábban például Ioannis Galidakis ( görögül: Ιωάννης Γαλιδάκης ) találta meg (természetes inverz lineáris közelítés). A szuperlogaritmus hozzávetőleges kiszámítása ezzel a módszerrel a következő algoritmusra redukálódik:

$\operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z \leqslant 0\\-1+z,{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operátornév {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\ szöveg{ if }}1<z\end{cases}}$

Ez egy darabonként definiált folytonos minden valós függvényhez (mint például egy iterált logaritmus), lineáris "kritikus résszel". $z$

Az olyan szerzők, mint például Holmes, elismerik, hogy a szuperlogaritmus nagyon hasznos lesz a lebegőpontos számítógépes aritmetika következő evolúciójában , de a függvénynek nem kell végtelenül differenciálhatónak lennie e célból . Így nagy számok ábrázolásához a lineáris közelítési megközelítés elegendő folytonosságot biztosít ahhoz, hogy minden valós szám szuperlogaritmikus skálán ábrázolható legyen.

Quadratic Approximation Method

Az első szerző, aki ezt a közelítést publikálta , Andrew Robbins volt . Ez a módszer a következő algoritmust feltételezi [3] :

$\operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z \leqslant 0\\-1+{\frac {2\ln {b}}{1+\ln {b}}}z-{\frac {1-\ln {b}}{1+\ln {b }}}z^{2},{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operátornév {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\text { if }}1<z\end{cases}}$
Ez egy darabonként definiált folytonos függvény, amely minden realitásra differenciálható, másodfokú "kritikus résszel". A szuperlogaritmus általánosításának ez a közelítése lehetővé teszi a szuperlogaritmus kiszámításának alapvető műveleteinek elvégzését nagyszámú előkészítő megoldás és számítási költség nélkül. $z$

Általánosítások

Mindkét fent leírt módszer a komplex természetes mátrix megközelítés speciális esete, amelyet először Peter Walker talált meg , majd Andrew Robbins általánosított. Ezekben a rendszerekben a második sor egy bizonyos sorrendű mátrix fokszámú polinomjának és determinánsának szorzata (lásd a mátrixokra vonatkozó példákat a cikkében ), amelyet egy összetett általános képlettel ír le a Kronecker szimbólum használatával . Ily módon köbös stb. közelítéseket kaphatunk, amelyek mindegyike pontosabb lesz, mint az előző növekedéssel. A közelítési rendszerek első és utolsó sora nem változik, és lemmákon alapul , amelyeket a szerző bizonyításokkal is leírt [3] . Vannak más közelítési módszerek is, de ezek mindegyike túlságosan körülményes és nehézkes a gyakorlatban. $n$ $z$ $n$ $n$

Tulajdonságok

Alapvető szupernapló-identitás

A szuperlogaritmus meghatározása magában foglalja az alapvető szuperlogaritmikus azonosságot:

${}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a=b$

Különösen, ha , akkor Legyen , majd az egyenlőség bizonyítása a következő azonosságra redukálódik: $\,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}c$ $b=c.$ $\,\mathrm {slog} _{a}b=x,$ $\,\mathrm {slog} _{a}c=y,$

${}^{x}a={}^{y}a$

${\displaystyle \underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))} _{x}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\ cdot ^{a))))}} _{y}\Longleftrightarrow a=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1}{\ Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow a^{1}=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a)) _{x-1}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{ \cdot ^{a}}}}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow 1=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{ x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}} _{y}{\Bigr )))$

$1=\bezárás {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a)) _{x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^ {\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}{\Bigr )}=\underbrace {\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1} {\Bigl (}\bezárás {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}_{y-1}{\Bigr )}=\ldots =\bezárás {a^{ \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))} _{yx}\Longleftrightarrow {}^{yx}a=1,$ innen két lehetőség van:

vagy akkor és ${}^{yx}a={}^{0}a,$ $yx=0$ $y=x;$
vagy akkor honnan de mióta (lásd lent), akkor és ami már volt. ${}^{yx}a=a^{0},$ $a^{{}^{yx-1}a}=a^{0},$ $\operatorname {slog} _{a}0=yx-1,$ $\operatorname {slog} _{a}0=-1$ $yx-1=-1$ $yx=0,$

Egy, nulla és alapszám szuperlogaritmusa

Elfogadott (meghatározott), hogy amely alapján a szuperlogaritmus összes alábbi tulajdonsága származtatható: ${}^{0}a=1,$

$\operatorname {slog} _{a}1=0,$ bizonyíték:

$a=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow {}^{0}a=\log _{a}a=1\Longleftrightarrow \operatorname {slog} _{a}1=0$

a logaritmustól eltérően a nulla szuperlogaritmusa létezik és definiálva van: ami a következőképpen bizonyítható: $\operatorname {slog} _{a}0=-1,$

$a=a^{{}^{0}a}=a^{a^{{}^{-1}a}}\Longleftrightarrow {}^{-1}a=\log _{a} \log _{a}a=\log _{a}1=0\Longleftrightarrow \operatorname {slog} _{a}0=-1$

$\operatorname {slog} _{a}a=1;$ bizonyítékként tegyük fel, hogy $\operatorname {slog} _{a}a=x:$

${}^{x}a=a\Longleftrightarrow a^{{}^{x-1}a}=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow x-1=0,$ ahol $x=1.$

Egyéb figyelemre méltó tulajdonságok

A szuperlogaritmus többi tulajdonságai pozitívra és (de egyikre sem): $a$ $b$

$\,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1$ , elég nyilvánvaló tulajdonság:

$a^{b}=a^{{}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a}={}^{\,\mathrm {slog} _{a}b+1 }a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1.$ Ez az azonosság bármely egész számra általánosítható : $n>0$

$\,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a }} _{n-1}(b)+n$

$\,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1,$ ami szintén könnyen levezethető ugyanazon az alapon:

$b=a^{\log _{a}b}\Longleftrightarrow b=a^{\left({}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b) }a\right)}\Longleftrightarrow b={}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1}a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a }(\log _{a}b)+1=\,\mathrm {slog} _{a}b.$ Általánosítva bármely egész számra [2] : $n>0$

$\,\mathrm {slog} _{a}(b)=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a))_{ n}(b)+n$

Általában, $\,\mathrm {slog} _{a}(bc)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b+\,\mathrm {slog} _{a}c;\,\mathrm {slog } _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b-\,\mathrm {slog} _{a}c;\ ,\mathrm {slog} _{x}({}^{z}y)\neq z\times \,\mathrm {slog} _{x}y.$
Még az azonos számok, de eltérő bázisú szuperlogaritmusok is egyenlőek lehetnek. Egyszerű példa: $\,\mathrm {slog} _{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=\,\mathrm {slog} _{\frac {1} {4}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=2.$
${\text{slog}}_{a}b>-2,{\text{ }}a,b>0,$ - a tetració rekurzív tulajdonsága alapján:

$a=a^{a^{({}^{-1}a)}}=a^{a^{a^{({}^{-2}a)))},$ amiből az következik, hogy mi a helyzet a nulla határozatlanságával. $-2={\text{slog}}_{a}\log _{a}\log _{a}\log _{a}a\Longleftrightarrow -2={\text{slog}}_{ a}\log _{a}0,$

A tetració nem egész mutatói (szuperlogaritmusok), amelyek egy egész szám és egy reciprok összege, meghatározhatók a tetració tulajdonságai alapján:

${}^{\frac {m}{n}}a=\exp _{a}^{m}({}^{\frac {1}{n}}a),{\text{ if }}m=(kn+1),{\text{ }}k,n\in \mathbb {N} ,{\text{ }}n\neq 0.$ Például: ${}^{2,5}a={}^{{\bigl (}2+{\frac {1}{2}}{\bigr )}}a=\exp _{a}^{ 2}({}^{\frac {1}{2}}a)=a^{a^{{\bigl (}{}^{\frac {1}{2}}a{\bigr ))) }.$

Az alap cseréje

A szuperlogaritmus esetén az alapváltoztatási képlet nem működik: $\,\mathrm {slog} _{a}b\neq {\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{b}a)).$

A bizonyításhoz a következő állítást használjuk: fejezzük ki $\,\mathrm {slog} _{x}a=\,\mathrm {slog} _{y}a\Longleftrightarrow {}^{\,\mathrm {slog} _{x}a}x={ }^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x\Longleftrightarrow a={}^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x.$ $x:$

$x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a,$ ha igaz lenne az azonosság a bázisok változásával, akkor azt kapnánk, hogy de a gyakorlatban, mint már említettük, a gyakorlatban végtelen számú páros szuperlogaritmus létezik, amelyek száma megegyezik, de különböző bázisokkal és egymással egyenlő (lásd a fenti példát). $x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a={}^{\,\mathrm {slog} _{a}y}a$ $y=x,$ $a,$ $x$ $y$

Egy általánosabb képlet, hasonlóan a logaritmus alapjainak megváltoztatásához, a logaritmus azon tulajdonságán alapul , hogy kiveszi egy szám kitevőjét:

$\log _{a}b=\log _{a}(c^{\log _{c}b})=\log _{c}b\times \log _{a}c\Longleftrightarrow \ log _{c}b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}c)).$ A szuperlogaritmusnál egy ilyen képlet is hibás lesz, mivel sem a tetraciós index (lásd a tulajdonságokat), sem a kitevő ( ) nem vehető ki szorzóként (!). $\,\mathrm {slog} _{x}y^{z}\neq z\times \,\mathrm {slog} _{x}y$

Egyenlőtlenségek

Bármely szám szuperlogaritmusának értéke egyrészt nem mindig létezik (lásd fent), másrészt csak abban az esetben van egyértelműen definiálva, ha az alap és a szám az egységnek ugyanazon az oldalán van ( vagyis bármelyikhez at ). Ha ezeket az egyenlőtlenségeket megsértik, akkor valószínűleg a szuperlogaritmus negatív értékeket vesz fel (csak ig ). $\,\mathrm {slog} _{a}b>0$ $a,b\geqslant 1,$ $a,b\leqslant 1$ $-2$

A pozitív számok egyenlőtlenségei szuperlogaritmizálhatók (de nem mindig). Sőt, ha a szuperlogaritmus alapja nagyobb egynél, akkor az egyenlőtlenség előjele megmarad (például mivel ), és ha az alap kisebb egynél, akkor az egyenlőtlenség előjele valószínűleg az ellenkezőjére változik. $4<16\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{2}4<\,\mathrm {slog} _{2}16,$ $2<3$

Szuperlogaritmikus függvény

Főbb jellemzők

Ha egy szuperlogaritmikus számot tekintünk változónak, akkor a szuperlogaritmikus függvényt vagy ( a szuperexponenciális inverzét ) kapjuk. Meg van határozva , de nem mindenre , és az értéktartomány eddig csak nem negatív egész számok. $y={\text{slog}}_{a}x$ $y={\text{sexp}}_{a}^{-1}(x)$ $a,x>0,$ $a$ $x,$

A bázis esetében a természetes szuperlogaritmus (és inverze) egyértékű, mivel a függvény (vagy ) egy adott intervallumon szigorúan növekszik (csökkenő) [4] . Ezenkívül van egy határ, mivel a szuperlogaritmus nullára hajlik [4] : ${\displaystyle x\in [1/e;+\infty \))$ ${\text{slog}}_{x}y=n,{\text{ }}n\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle {\Bigl (}{\text{slog}}_{x}y={\frac {1}{n}}{\Bigr )))$ $y={}^{n}x$ $y={}^{\frac {1}{n}}x$ $\lim _{n\to +\infty }{\bigl (}{}^{\frac {1}{n}}x{\bigr )}=x^{\frac {1}{x} },{\text{ }}n\in \mathbb {N} ,{\text{ }}x\in {\Bigl [}{\frac {1}{e}};e{\Bigr ]}.$

Feltehetően a függvény analitikus , legalábbis bizonyos értékek esetében [5] . A függvény viselkedése a komplex sík metszetében az ábrán látható (maga a függvény értékei közelítettek). $y={\text{slog}}_{a}(x)$ $a=e$

A definícióból következik, hogy a szuperlogaritmikus függés egy függvény inverz függvénye , tehát ha a tetració analitikus kiterjesztésének meglétét és egyediségét a fix pontok aszimptotikus megközelítésének feltételei biztosítják, valamint a [6] felső és alsó a komplex sík részei, akkor az inverz függvénynek is egyedinek kell lennie. Egy ilyen függvény valós a valós tengelyen . Pontokban két szélsőpontja van, és a határértékét a valós tengely negatív részének közelében közelíti meg (az ábrán a vágások közötti teljes csíkot rózsaszín vonalak jelzik), és lassan növekszik a valós tengely pozitív iránya mentén. . Mivel a valós tengelyen a derivált pozitív, a képzeletbeli rész pozitív marad közvetlenül a valós tengely felett és negatív közvetlenül a valós tengely alatt. $y={}^{x}a,$ $z_{0}\kb. 0,318+1,337i$ $z_{1}\kb. 0,318-1,337i$ $z=z_{0}$ $z=z_{1}.$ $-2$ $f(z)={\text{slog}}_{e}z$

A tetració származékai kitevőkkel és illetve . A differenciálás bármely természetes esetében folytatható az általános képlet szerint: $2$ $3:$ $({}^{2}x)={}^{2}x(\ln(x)+1)$ ${\displaystyle ({}^{3}x)={}^{3}x{\biggl (}{}^{2}x(\ln(x)+1)\ln(x)+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\biggr )))$ $n\geqslant 2$ $({}^{n}x)'={}^{n}x{\biggl (}{}^{n-1}x{\biggl (}{}^{n-2}x{ \bigl (}...{}^{2}x(\ln {x}+1)\ln {x}+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\bigr )} \ln {x}+{\frac {{}^{3}x}{x}}{\biggr )}\ln {x}+...+{\frac {{}^{n-1}x }{x}}{\biggr )}={\frac {1}{x}}\cdot {{}^{n}x}\cdot {{}^{n-1}x}\cdot \left( \sum _{i=1}^{n-2}\left({(\ln {x})}^{i}\cdot \prod _{j=1}^{n-2}\left({ }^{j}x\right)\right)+{(\ln {x})}^{n-1}\cdot \prod _{i=1}^{n-1}({}^{i }x)+1\jobbra)$

Az inverz derivált szabályai szerint , hogy megkapjuk, a másodfokú ( ) szupergyökérfüggvényből egy változót kell kifejezni, amely már nem elemi , mert a nem elemi Lambert W-függvény segítségével fejezzük ki . Általában a szuperlogaritmus deriváltja, mint k inverze , szintén valószínűleg nem elemi, a szuperlogaritmus integráljával együtt. $x^{x}$ $y={}^{x}a,$

Így a szuperlogaritmikus függvény eddig egyedileg csak nem elemi függvényeknek tulajdonítható.

Gyakorlati alkalmazások

Funkcionális egyenlet megoldása $f(f(x))=a^{x}$

Az alap szuperlogaritmust a [2] funkcionális egyenlet megoldására használjuk : $a$ $f(f(x))=a^{x}$

$f(f(x))=a^{x}\Longrightarrow f(x)={}^{0,5+\operátornév {slog} _{a}x}a,$ vizsgálat:

$f(f(x))={}^{0,5+\operátornév {slog} _{a}{\bigl (}{{}^{0,5+\operátornév {slog} _{a }x}}a{\bigr )}}a={}^{0,5+0,5+\operátornév {slog} _{a}{x}}a={}^{1+\operatorname {slog } _{a }{x}}a=a^{{}^{\operátornév {slog} _{a}{x}}a}=a^{x}.$

Gráfelmélet

Tekintsünk olyan irányított gráfokat , amelyek csomópontokkal rendelkeznek, és akkor és csak akkor létezik irányított út a csomóponttól a csomópontig . Ha az összes ilyen út hossza nem haladja meg az éleket, akkor az élek lehetséges minimális számát aszimptotikusan behatárolja a [7] becslés : $N$ $én$ $j$ $i>j$ $k$ $\Theta (f(N))$

$\Theta (N^{2})$ számára $k=1;$
$\Theta (N^{2}\log _{a}N)$ számára $k=2,{\text{ }}a>0;$
$\Theta (N\log _{a}\log _{a}N)$ számára $k=3,{\text{ }}a>0;$
$\Theta (N\operátornév {slog} _{a}N)$ érte és érte (de nem bármelyikért); $k=4$ $k=5,$ $a>0$
$\Theta (N\underbrace {{\operatorname {slog} _{a}\operatorname {slog} _{a}}\ldots \operatorname {slog} _{a}} _{k-4}N)$ és ( de nem bármelyikért). $k>5$ $a>0$

Nyitott kérdések

Nem ismert, hogy a szuperlogaritmusok értékei alkalmasak-e egyértelmű logikai (elméleti) általánosításra irracionális és/vagy negatív valós (valamint komplex) számokra; a szuperlogaritmusok kiszámítására még nem dolgoztak ki univerzális algoritmust ( módszert). 8] .

Jegyzetek

↑ Abel-egyenlet – Hiperműveletek Wiki . math.eretrandre.org. Hozzáférés időpontja: 2018. június 23.
↑ 1 2 3 K. A. Rubcov, G. F. Romerio. Az f(f(x))=exp(x) (ru, en) funkcionális egyenlet megoldása // A Belgorodi Állami Egyetem Tudományos Értesítője (Mathematics. Physics sorozat): folyóirat. - 2014. - szeptember 23. ( 36. szám , 19. szám (190) ). - S. 64-70 . — ISSN 2075-4639 .
↑ 1 2 Andrew Robbins. Eredmények kezdete . A Tetráció otthona – papír . web.archive.org (2008. augusztus 28.). Hozzáférés időpontja: 2019. január 27. (határozatlan)
↑ 1 2 Ioannis Galidakis. A Hyperroot függvények részletes áttekintése a Lambert-féle W függvény segítségével . Matematika . web.archive.org (2012. április 7.). Letöltve: 2019. február 1. (határozatlan)
↑ Peter Walker. Végtelenül differenciálható általánosított logaritmikus és exponenciális függvények // Számítási matematika : folyóirat. - 1991. - 1. évf. 57. - P. 723-733. - doi : 10.2307/2938713 .
↑ H. Kneser. Reelle analytische Losungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen $\varphi {\Big (}\varphi (x){\Big )}={\rm {e}}^{x}$ (angol) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : Journal. - 1950. - 1. évf. 187. - P. 56-67.
↑ Grinchuk M. I. A háromszög alakú Boole-mátrixok sorozatának megvalósításának összetettségéről különböző mélységű kapuáramkörökkel // Diszkrét elemzési módszerek a vezérlőrendszerek szintézisében / szerk. Yu. L. Vasziljeva. - Novoszibirszk: IM: Szovjetunió Tudományos Akadémia, Sib. Tanszék, Matematikai Intézet, 1986. - P. 3-23.
↑ Tetrációs fórum . math.eretrandre.org. Letöltve: 2018. május 6.

Linkek

Daniel Geisler webhelye a tetrációról .
Tetracy vitafórum .
Kuznetsov D. Tetráció mint speciális függvény // Vladikavkaz Mathematical Journal. – 2010.
Szekeres György , Ábel-egyenlet és szabályos növekedés

W. Neville Holmes összetett aritmetika: Javaslat egy új szabványra . IEEE Computer Society Press, 30. évf., no. 3, pp. 1997, 65–73.

Nagy számok
Számok	googol Shannon szám Googolplex Skewes szám Moser szám Graham szám FA (3) Rayo szám
Funkciók	Ackermann függvény Veblen funkció Buchholz Pszi-függvényei tetració Pentation Hiperoperátor Gyorsan növekvő hierarchia Lassan növekvő hierarchia Hardy hierarchia
Jelölések	Steinhaus-Moser jelölés Knuth nyíl jelölése Conway nyíl jelölése Massive Bowers jelölés