Matematikai bizonyítás

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. augusztus 31-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Matematikai bizonyítás
ben tanult	bizonyítékelmélet
A projekt vagy küldetés célja	tétel

Médiafájlok a Wikimedia Commons oldalon

Matematikai bizonyítás - érvelés egy állítás igazságának igazolására ( tétel ) [2] , logikai következtetések láncolata, amely megmutatja, hogy bizonyos axiómák és következtetési szabályok igazságának függvényében az állítás igaz. Ez kontextustól függően jelenthet egy bizonyos formális rendszeren belüli bizonyítást (speciális szabályok szerint felépített, formális nyelven írt állítássorozat ) vagy természetes nyelvű szöveget , amelyből szükség esetén formális bizonyítást lehet visszaállítani. . Az állítások formális bizonyításának igénye a matematika, mint deduktív ismeretág egyik fő jellemzője , illetve a matematika tantárgyában központi szerepet játszik a bizonyítás fogalma , illetve a bizonyítások elérhetősége és azok elérhetősége. helyesség határozza meg a matematikai eredmények állapotát .

A matematika története során a bizonyítási módszerek és elfogadható bizonyítási módszerek elképzelése jelentősen megváltozott, főként a nagyobb formalizálás és a nagyobb korlátozások irányába. A bizonyítási formalizálás kérdésében kulcsfontosságú mérföldkő volt a matematikai logika megalkotása a 19. században és formalizálása alapvető bizonyítási technikákkal. A 20. században felépítették a bizonyítási elméletet – egy olyan elméletet, amely a bizonyítást matematikai objektumként vizsgálja . A 20. század második felében a számítógépek megjelenésével különösen fontossá vált a matematikai bizonyítási módszerek alkalmazása a programok ellenőrzésére és szintetizálására , sőt strukturális megfeleltetés is kialakult a számítógépes programok és a matematikai bizonyítások között ( Curry-Howard levelezés ), amely alapján az automatikus bizonyítási eszközök .

A bizonyítások felépítésénél használt főbb technikák: közvetlen bizonyítás , matematikai indukció és általánosításai , ellentmondásos bizonyítás , kontrapozíció , konstrukció , felsorolás , bijekció megállapítása , dupla szám ; alkalmazásokban matematikai bizonyításként olyan módszereket is alkalmaznak , amelyek nem adnak formális bizonyítást, de biztosítják az eredmény gyakorlati alkalmazhatóságát - valószínűségi, statisztikai, közelítő. A matematika ágától, az alkalmazott formalizmustól vagy a matematikai iskolától függően nem minden módszer fogadható el feltétel nélkül, különösen a konstruktív bizonyítás komoly korlátokkal jár.

A bizonyítás jelentősége a matematikában

Más tudományokkal ellentétben a matematikában az empirikus bizonyítékok elfogadhatatlanok: minden állítást kizárólag logikai eszközökkel bizonyítanak. A matematikai intuíció és a különböző objektumok és tételek közötti analógiák fontos szerepet játszanak a matematikában; mindezeket az eszközöket azonban a tudósok csak bizonyítékok keresésekor használják, maga a bizonyíték nem alapulhat ilyen eszközökön. Előfordulhat, hogy a természetes nyelven írt bizonyítványok nem túl részletesek, azzal az elvárással, hogy a képzett olvasó képes legyen a részleteket maga rekonstruálni. A bizonyítás szigorúságát az garantálja, hogy egy formális nyelven rekord formájában ábrázolható (ez történik, amikor a számítógép ellenőrzi a bizonyításokat).

Jóváhagyási állapot

A matematikában a bizonyított állításokat tételeknek nevezzük (a matematikai szövegekben általában azt feltételezik, hogy valaki megtalálta a bizonyítást; ez alól a szokás alól kivételt képeznek főleg a logikai művek, amelyekben a bizonyítás fogalmát tárják fel); ha sem az állítás, sem a tagadása még nem bizonyított, akkor az ilyen állítást hipotézisnek nevezzük . Néha egy tétel bizonyítása során kevésbé bonyolult állítások bizonyításai, úgynevezett lemmák kerülnek kiemelésre .

Egyes matematikai állításokat hagyományosan olyan neveken ismerik, amelyek nem felelnek meg tényleges állapotuknak. Így Fermat utolsó tételét soha nem nevezték Fermat hipotézisének, még Andrew Wiles általi bizonyítása előtt sem . Másrészt a Poincare-sejtés továbbra is ezt a nevet viseli még G. Ya. Perelman általi bizonyítása után is .

A hibás bizonyítás olyan szöveg, amely logikai hibákat tartalmaz, vagyis olyan, amelyből lehetetlen visszaállítani a formális bizonyítást. A matematika történetében előfordultak olyan esetek, amikor neves tudósok téves „bizonyításokat” tettek közzé, de általában kollégáik vagy ők maguk is gyorsan találtak hibát (az egyik leggyakrabban tévesen bizonyított tétel Fermat utolsó tétele . Még mindig vannak, akik nem tudni, hogy bebizonyosodott, és új hamis "bizonyítékokat" kínál [3] [4] ). Csak akkor lehet téves, ha természetes vagy formális nyelven „bizonyítékot” ismerünk el bizonyítékként; egy formális bizonyíték definíció szerint nem lehet téves.

Történelem

Ókor

Az ókori kelet országaiban ( Babilon , Ókori Egyiptom , ókori Kína ) a matematikai feladatok megoldását általában indokolás nélkül és dogmatikusan adták meg , bár a Pitagorasz-tétel grafikus indoklása babiloni ékírásos táblákon található. [5] . A bizonyítás fogalma nem létezett az ókori Görögországban az ie VIII-VII. században. e. Azonban már a VI. században. e. Görögországban a logikai bizonyítás válik az igazság megállapításának fő módszerévé. Ekkor épültek fel a világ első matematikai elméletei és matematikai modelljei , amelyek teljesen modern megjelenésűek, vagyis véges számú premisszákból épültek fel logikai következtetések segítségével.

Az első bizonyítások a legegyszerűbb logikai konstrukciókat alkalmazták. Különösen a milétoszi Thalész , aki bebizonyította, hogy az átmérő kettéosztja a kört, az egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek egyenlőek, két egymást metsző egyenes egyenlő szöget alkot, nyilvánvalóan az alakok hajlítási és egymásra helyezésének módszereit használta bizonyításaiban. Proklosz görög filozófus (Kr. u. 5. század) szerint „néha általánosságban gondolta a kérdést, néha a világosságra hagyatkozott ” . Már Pythagoras alatt a bizonyítás a konkrét elképzelésektől a tisztán logikai következtetések felé halad [6] . Parmenidész bizonyításaiban a kizárt középső törvényét használják , tanítványa, Zénón pedig az abszurditásig való redukciót használja az aporiakban [7] .

Ismeretes, hogy a négyzet oldala és átlója összemérhetetlenségének bizonyítéka, amely az irracionalitás fogalmának alapja , nagy valószínűséggel a pitagoreusoké , bár először csak Eukleidész elemeinél (X) adták meg. ennek ellenkezőjéből származik , és a számok kettővel való oszthatóságának elméletén alapul [8] . Lehetséges, hogy a matematikai bizonyítás szerepével kapcsolatos nézeteltérés volt az egyik oka az Eudoxus közötti konfliktusnak (akit a matematika tételek formájában való szervezésének hagyományának megalapítójának tartanak , de aki nem folyamodott bizonyításhoz elv [9] ) és Platón [10] .

A matematikai bizonyítások jövőbeni formalizálása felé vezető úton fontos momentum volt Arisztotelész logikájának megalkotása , amelyben megpróbálta rendszerezni és kodifikálni a bizonyításokhoz használt összes érvelési szabályt, ismertette a felmerülő főbb nehézségeket és kétértelműségeket. Arisztotelész feltételezte, hogy a bizonyítékok a tudomány fontos alkotóelemei, mivel úgy gondolta, hogy a bizonyítékok "felfedik a dolgok lényegét" [11] . De az arisztotelészi logika nem volt közvetlen hatással az ókori görög matematikára, és a bizonyításokban nem fordítottak figyelmet a formális logika kérdéseire [12] .

Középkor és újkor

A matematika középkori fejlődésével és a skolasztikából átvett logikára támaszkodva fokozatosan kiépülnek a formális bizonyítással kapcsolatos elképzelések, és fejlődnek módszerei. A Gersonidák közé tartozik a matematikai indukció módszerének igazolása és bevezetése a gyakorlatba [13] . A 16. század óta külön kísérletek történtek az ókori görög matematikusok bizonyításainak kritikai megértésére, például Peletier , Eukleidész "Elemek" című művéhez kommentálva bírálja a háromszögek eltolásos egyenlőségének bizonyítását [14] .

A modern időkben a matematika természettudományi alkalmazásának sikerének köszönhetően a matematikai állításokat és bizonyításokat megbízhatónak tekintették, amint megadták a kezdeti fogalmak pontos és formális meghatározását, és a matematikát mint egészet a matematika modelljének tekintették. szigor és bizonyíték minden más tudományágra. Leibniz különösen a következtetés axiómáit és szabályait tartja megingathatatlannak, és egy formális logikai rendszert igyekszik felépíteni, hogy "mindent bebizonyítson, ami bizonyítható" [15] . A bizonyítás fogalma azonban még a 18. században is túlságosan informális és spekulatív volt, ennek bizonyítéka lehet, hogy Euler egyszerre tartotta indokoltnak a következő állításokat:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{1-(n\operátornév {mod}2)\cdot 2}=0

és ,

\sum _{{n=1}}^{\infty }{1-(n\operátornév {mod}2)\cdot 2}=1

szintén:

\sum _{{n=0}}^{\infty }{2^{n}}=-1

természetesen megértve ezen állítások értelmetlenségét, de figyelembe véve a "bizonyíthatósági" paradoxonjaikat [16] .

A 19. században egyre gyakrabban merülnek fel olyan gondolatok, hogy valamilyen intuitív módon nyilvánvaló, formálisan nem bizonyítható szabályt kell posztulálni. Az euklidészi párhuzamosság axiómájának bizonyítására irányuló sok évszázados sikertelen kísérletek után a bizonyítások relativitásának megértéséhez a feltételezett elvektől függő másik ösztönzés Lobacsevszkij , Bolyai , Gauss és Riemann nemeuklideszi geometriák megalkotása volt [17] .

A logika formalizálása és a Hilbert-program

Intuicionizmus

Befejezetlenségi tételek

Konstruktivizmus

Formai bizonyíték

Amikor formális bizonyításról beszélünk, mindenekelőtt egy formális modellt írnak le - axiómák halmazát , amelyet formális nyelven írnak le , és következtetési szabályokat. A formális levezetés a formális nyelven írt sorok véges rendezett halmaza úgy, hogy mindegyik vagy axióma, vagy az előző sorokból nyerhető ki valamelyik következtetési szabály alkalmazásával. Az állítás formális bizonyítása egy formális levezetés, amelynek utolsó sora az adott állítás. A formális bizonyítékkal rendelkező állítást tételnek nevezzük, az adott formális modellben szereplő tételek halmazát pedig (a formális nyelv ábécéjével, az axiómák halmazaival és a következtetési szabályokkal együtt) formális elméletnek nevezzük .

Egy elméletet akkor nevezünk teljesnek , ha bármely állítás esetében az vagy tagadása bizonyítható, konzisztensnek pedig akkor nevezünk, ha nincsenek benne olyan állítások, amelyek tagadásukkal együtt igazolhatóak (illetve, ha van benne legalább egy bizonyíthatatlan állítás). A legtöbb „elég gazdag” matematikai elmélet, amint azt Gödel első befejezetlenségi tétele mutatja , vagy hiányos vagy következetlen. Korunk legelterjedtebb axiómakészlete a Zermelo-Fraenkel axióma a választási axiómával (bár egyes matematikusok ellenzik az utóbbi használatát). Az ezen axiómarendszeren alapuló elmélet nem teljes (például a kontinuumhipotézist nem lehet sem bizonyítani, sem megcáfolni - feltételezve, hogy ez az elmélet konzisztens). Annak ellenére, hogy ezt az elméletet széles körben használják a matematikában, következetessége nem igazolható saját módszereivel. Ennek ellenére a matematikusok túlnyomó többsége hisz ennek következetességében, hisz különben az ellentmondásokat már régen felfedezték volna.

Bizonyítékelmélet

A formális bizonyításokat a matematika - bizonyítási elmélet egy speciális ága kezeli . Magukat a formális bizonyítást a matematika szinte soha nem használja, mivel ezek nagyon összetettek az emberi észlelés szempontjából, és gyakran sok helyet foglalnak el.

Az informatikában

A számítástechnikában matematikai bizonyításokat használnak az algoritmusok és programok helyességének ellenőrzésére és elemzésére (lásd logika a számítástechnikában ) a bizonyítékokon alapuló programozási technológiák keretein belül.

Formális bizonyítási módszerek

Közvetlen bizonyítás

A közvetlen bizonyítás csak direkt deduktív következtetés alkalmazását jelenti az igaznak tekintett állításokból (axiómák, korábban bizonyított lemmák és tételek), az állítások tagadásával járó ítéletek alkalmazása nélkül [18] . Például közvetlen bizonyításhoz a következő számadatok tekinthetők elfogadhatónak ( természetes dedukciós jelöléssel :

{\frac {A,B}{A}}

, , ( modus ponens ).

{\frac {A\Rightarrow B,B\Rightarrow C}{A\Rightarrow C}}

{\frac {A,A\Rightarrow B}{B}}

A helyettesítést a közvetlen bizonyítási módszernek is tekintik: ha az állítás igaz a benne szereplő szabad változók bármely értékére, akkor minden előforduláskor bármely meghatározott érték helyettesítése valamelyik részhalmaz helyett ( egy speciális eset a képlet ) adja meg a helyes állítást a természetes levezetés jelölésében (informális jelölés, egyetlen változóra egyszerűsítve): $A$

{\frac {\forall x\,A(x)}{A[x:=a]}}

Egyes esetekben a negatív érvelést alkalmazó közvetett bizonyítások, különösen véges objektumok esetében, könnyen redukálhatók közvetlenekre az általánosság elvesztése nélkül, de ez közel sem mindig igaz a végtelen gyűjteményekre vonatkozó állításokra, és a konstruktív bizonyítások növekvő értékével . A huszadik századi matematikában fontosnak tartják, hogy a bizonyítottnak vélt állításokra közvetlen bizonyítékot találjanak, de közvetett módszerekkel.

A bizonyítási elméletben a közvetlen bizonyításra formális definíciót dolgoztak ki [19] .

Indukció

Az induktív módszer , amely lehetővé teszi, hogy az adott állításokról az univerzális állításokra lépjünk, a legérdekesebb, ha végtelen objektumgyűjteményre alkalmazzuk, de megfogalmazása és alkalmazhatósága jelentősen eltér az alkalmazási körtől függően.

A legegyszerűbb induktív módszer [20] a matematikai indukció , a természetes sorozatra vonatkozó következtetés , amelynek az a gondolata, hogy minden természetes számra érvényesítsünk egy bizonyos törvényt, az egységre való végrehajtás tényein és a következő igazságon alapulva minden természetes számra. következő szám, természetes következtetés jelölésében:

{\frac {P(1),\forall n\in {\mathbb N}(P(n)\Rightarrow P(n+1))}{\forall n\in {\mathbb N}(P(n) )}}

A matematikai indukció módszere természetesen bármilyen megszámlálható objektumgyűjteményre alkalmazható, megbízhatónak és legitimnek tekinthető mind a klasszikus, mind az intuíciós és konstruktív bizonyítási rendszerekben. A módszer axiomatizálva van a Peano aritmetika axiómarendszerében .

Nehezebb kérdés, hogy az induktív módszer kiterjeszthető-e megszámlálhatatlan gyűjteményekre. A naiv halmazelmélet keretein belül megalkották a transzfinit indukció módszerét , amely lehetővé teszi az induktív következtetési szabály kiterjesztését bármely jól rendezett halmazra a matematikai indukcióhoz hasonló séma szerint. Megtalálható az induktív-szerű érvelés alkalmazásának lehetősége megszámlálhatatlan gyűjtemények esetén és az intuicionista logikában , amelyet bar-indukcióként [21] ismerünk .

Létezik egy konstruktív strukturális indukciós módszer , amely lehetővé teszi az indukció alkalmazását az objektumok jól rendezett gyűjteményeire, de rekurzív definíciójuk függvényében .

Éppen ellenkezőleg

Az ellentmondásos bizonyítás az abszurditásig való eljuttatás logikai módszerét használja, és a következő séma szerint épül fel: az állítás bizonyításához feltételezzük, hogy hamis, majd a deduktív lánc mentén eljutnak egy szándékosan hamis állítás, például, amelyből a kettős tagadás törvénye szerint az igazságra következtetnek, természetes következtetési jelölésekkel: $A$ $B\land \neg B$ $A$

{\frac {\neg A\Rightarrow (B\land \neg B)}{A)).

Sokkal jobb lenne így leírni. Az ellentmondásos bizonyítási séma egy séma:

{\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B }}&&{\mathcal {\neg B}}\end{mátrix}}{\mathcal {A}}}}.

A bizonyítási módszert ellentmondással formalizálja.

Az intuicionista és konstruktív rendszerekben az ellentmondásos bizonyítást nem használják, mivel a kettős tagadás törvényét nem fogadják el.

Megjegyzés . Ez a séma hasonló egy másikhoz – az abszurditásba redukálással történő bizonyítás sémájához . Ennek eredményeként gyakran összezavarodnak. Néhány hasonlóság ellenére azonban eltérő formájúak. Ráadásul nemcsak formailag, hanem lényegükben is különböznek egymástól, és ez a különbség alapvető természetű.

Kontrapozíció

A kontrapozíciós bizonyítás az ellentmondás törvényét használjaés a következőkből áll: annak bizonyításához, hogy egy állításkövetkezikkell mutatni, hogy tagadásból tagadáskövetkezik, egy természetes következtetés szimbolikájában: $A$ $B$ $B$ $A$

{\frac {\neg B\Rightarrow \neg A}{A\Rightarrow B))

Az ellentmondásos bizonyítás az ellentmondás módszerére redukálódik : bizonyításra ellenőrzi a tagadását , és mivel az előfeltevés teljesül , ellentmondás derül ki. $A\jobbra nyíl B$ $\neg (A\Jobbra B)\equiv \ A\land \neg B$ $\neg B\Rightarrow \neg A\equiv \neg (A\land \neg B)$

Az ellenpozíciós bizonyításra példaként [22] megállapítja, hogy ha páratlan , akkor páratlan is ( ), erre igazolódik az a kontrapozíció, hogy ha páros, akkor páros is. $n^{2}$ $n$ $n \in \mathbb N$ $n$ $n^{2}$

Azokban a rendszerekben, amelyek nem fogadják el a kettős tagadás törvényét, az ellentmondásos bizonyítás nem érvényes.

Épület

Az olyan állítások esetében, mint a létezési tételek , amelyekben valamilyen objektum jelenléte az eredményeként fogalmazódik meg, például egy szám létezése, amely bizonyos feltételeket kielégít, a legjellemzőbb bizonyítási típus a kívánt objektum közvetlen megtalálása a következő módszerekkel. a megfelelő formális rendszerrel vagy a megfelelő szakasz kontextusának használatával . Sok klasszikus létezési tétel ellentmondásos bizonyítást nyer: az abszurditásra redukálva azt a feltételezést, hogy adott tulajdonságokkal rendelkező objektum nem létezik, de az ilyen bizonyítást nem konstruktívnak tekintjük, és ennek megfelelően az intuicionista és a konstruktív matematikában csak a konstrukciós bizonyítást alkalmazzák. az ilyen kijelentésekért.

Kifogytak a lehetőségek

Egyes esetekben az állítás bizonyítására az állítást megfogalmazó halmaz összes lehetséges változatát szétválogatják ( teljes felsorolás ), vagy az összes lehetséges változatot véges számú osztályra osztják, amelyek adott eseteket reprezentálnak , és minden egyes amelyek bizonyítása külön történik [23] . Az opciók kimerítésének módszerével végzett bizonyítás általában két szakaszból áll:

az összes lehetséges különleges eset megállapítása, és annak bizonyítása, hogy nincs más különleges eset,
minden egyes eset bizonyítéka.

A lehetőségek száma meglehetősen nagy lehet, például a négy szín hipotézisének bizonyításához közel 2000 különböző opciót kellett számítógép segítségével kiválogatni . Az ilyen bizonyítások megjelenése a 20. század végén a számítástechnika fejlődésével összefüggésben az esetleges ellenőrizhetőségi problémák miatt felvetette a matematikai státuszukat [24] .

Bijekció

A bijekciós bizonyítás egy gyűjtemény méretére vagy szerkezetére, vagy egy gyűjtemény bármely más gyűjteménnyel való összehasonlíthatóságára vonatkozó állítások megállapítására szolgál, és a vizsgált halmaz és az ismert tulajdonságokkal rendelkező halmaz közötti egy-egy megfeleltetésből áll. [25] . Más szóval, egy bizonyos gyűjteményre vonatkozó állítások bizonyítása a bizonyításra redukálódik egy bijekció létrehozásával , esetleg további megszorításokkal azzal a gyűjteménysel, amelyre ez az állítás ismert. $A$ $B$

A bijektív bizonyítások legegyszerűbb példái a kombinációk számáról vagy a halmazok elemeinek számáról szóló kombinatorikus állítások bizonyításai, bonyolultabb példái az izomorfizmusok , homeomorfizmusok , diffeomorfizmusok , bimorfizmusok megállapítása , amelyeknek köszönhetően egy már ismert objektum tulajdonságai , invariánsak a bijekció egy vagy speciális fajtája tekintetében. $A$ $B$

Dupla szám

Geometriai bizonyítás

Alkalmazott módszerek

Hozzávetőleges módszerek

Valószínűségi módszerek

Statisztikai módszerek

Terminológia

Szimbólumok

Hagyományosan a bizonyítás végét a „ QED ” rövidítéssel jelölték , amely a latin lat kifejezésből származik. Quod Erat Demonstrandum ("Amit bizonyítani kellett"). A modern művekben a □ vagy ■, ‣, // jelet, valamint az orosz h.t.d. rövidítést gyakrabban használják a bizonyítás végének jelzésére .

Jegyzetek

↑ Bill Casselman. Az egyik legrégebbi fennmaradt diagram Euklidésztől . British Columbia Egyetem. Letöltve: 2008. szeptember 26. Az eredetiből archiválva : 2012. június 4.. (határozatlan)
↑ Matematikai enciklopédikus szótár . - M . : " Baglyok. enciklopédia ", 1988. - S. 211 .
↑ Gastev Yu., Smolyansky M. Néhány szó Fermat utolsó tételéről // Kvant . - 1972. - T. 8 . - S. 23-25 .
↑ Cimbalov A. S. Fermat tétele (elérhetetlen link) . Konferencia beszámolója . Modern Humanitárius Akadémia. Letöltve: 2011. május 14. Az eredetiből archiválva : 2009. március 30. (határozatlan) }
↑ Kranz, 2011 , A babiloniaknak voltak bizonyos diagramjai, amelyek jelzik, miért igaz a Pitagorasz-tétel, és táblákat találtak, amelyek ezt a tényt igazolják, p. 44.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 65-66.
↑ Bourbaki, 1963 , p. tizenegy.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 73.
↑ Krantz, 2011 , <…> Eudoxus, aki elindította a matematika tételekbe szervezésének nagy hagyományát <…> Amit Eudoxus a matematikai megfogalmazásainak szigorúságában és pontosságában szerzett, azt elvesztette, mert nem bizonyított semmit, p. 44-45.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 95.
↑ Matematika története, I. kötet, 1970 , p. 59-61.
↑ Bourbaki, 1963. Úgy tűnik, Arisztotelész és utódai írásai nem gyakoroltak észrevehető hatást a matematikára. A görög matematikusok tanulmányaik során azt az utat követték, amelyet a pitagoreusok és követőik javasoltak az ie 4. században. (Theodore, Theaetetus, Eudoxus), és eredményeik bemutatásakor kevéssé érdekelte a formális logika, p. 12-14.
↑ Rabinovich, NL Levi ben Gershom rabbi és a matematikai indukció eredete // Archívum az Exact Sciences történetéhez. - 1970. - Kiadás. 6 . - S. 237-248 .
↑ Bourbaki, 1963 , p. 27.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 22.
↑ Kranz, 2011 , 3.1. Euler és az intuíció mélysége, p. 74-75.
↑ Bourbaki, 1963 , p. 25-26.
↑ Hammack, 2009 , 4. fejezet. Közvetlen bizonyítás, p. 95-109.
↑ Matematikai logika kézikönyve, IV. kötet, 1983 , 3. fejezet Stetman R. Herbrand tétele és Gentzen közvetlen bizonyítás fogalma, p. 84-99.
↑ Hammack, 2009 , 10. fejezet: Matematikai indukció, p. 152-154.
↑ Matematikai bizonyíték - Matematikai enciklopédia cikk . Dragalin A. G.
↑ Hammack, 2009 , 7. fejezet: Feltétel nélküli állítások bizonyítása, 1. o. 129-138.
↑ Lvovsky S. M., Toom A. L. Elemezzük az összes lehetőséget // Kvant . - 1988. - 1. sz . - S. 42-47 .
↑ Samokhin A. V. A négy szín problémája: a bizonyítás befejezetlen története // Soros Educational Journal . - 2000. - 7. sz . - S. 91-96 . (nem elérhető link)
↑ Stanley R. Bijektív bizonyítási problémák ( 2009. augusztus 18.). Letöltve: 2013. május 12. Az eredetiből archiválva : 2013. május 13.

Irodalom

Az ókortól az újkor kezdetéig // A matematika története / Szerk.: Yushkevich A.P. , három kötetben. - M . : Nauka, 1970. - T. I.
Útmutató a matematikai logikáról. IV. Bizonyításelmélet és konstruktív matematika = Matematikai logika kézikönyve / J. Barweiss - M .: Nauka , 1983. - 392 p.
Bourbaki N. A matematika alapjai. Logikák. Halmazelmélet // Esszék a matematika történetéről / I. G. Bashmakova (francia nyelvről fordítva). - M . : Külföldi Irodalmi Kiadó, 1963. - S. 37-53. — 292 p. — (A matematika elemei).
Bizonyítás / Yu. A. Gastev // Nagy Szovjet Enciklopédia : [30 kötetben] / ch. szerk. A. M. Prohorov . - 3. kiadás - M . : Szovjet Enciklopédia, 1969-1978.
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Utak és labirintusok. Esszék a matematika történetéről = Routes et dédales / Franciából fordította A. A. Bryadinskaya, szerkesztette I. G. Bashmakova. - M . : Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 p. — (Modern matematika. Népszerű sorozat). — 50.000 példány.
Vlagyimir Andrejevics Uszpenszkij . A matematikai bizonyítások legegyszerűbb példái . - MTSNMO , 2011. - 56 p. - 2000 példányban. — ISBN 978-5-94057-879-6 .
Franklin J., Daoud A. Bizonyítás a matematikában. - Sydney : Quakers Hill Press, 2001. - 98 p. — ISBN 1876192003 .
Hammak R. Proof könyv (angol) (2009). Letöltve: 2013. május 11. Az eredetiből archiválva : 2013. május 13.
Krantz SG A bizonyíték a pudingban van. Pillantás a matematikai bizonyítás változó természetébe. -N. Y.:Springer, 2011. - 281 p. —ISBN 978-0387489087.

Linkek

Yu. L. Ershov „Bizonyítás a matematikában” , A. Gordon 2003. június 16-i programja

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	NKC : ph307639