Aporia Zeno

Zénón apóriája (az ógörög ἀπορία "nehézség" szóból) - külsőleg paradox érvelés az eleai Zénó (Kr. e. V. század) ókori görög filozófus mozgásának és sokaságának témájában .

A kortársak Zénón több mint 40 apóriáját említették, 9 jutott el hozzánk, a "Fizikában" és Arisztotelész más műveiben , valamint Simplicius , Philopon és Themistius Arisztotelészhez írt megjegyzéseiben [1] ; ebből a 9 apóriából egyet Diogenes Laertes is megad [2] , a sokaságról szóló apóriákat Platón „ Parmenidész ” című dialógusa tárgyalja. Arisztotelész magyarázója , Alexandriai Elius (6. század) arról számol be, hogy Zénón 40 érvelést ( epicheirem ) tett a sokaságról és ötöt a mozgásról [3] :

Tanítója , Parmenides számára, aki amellett érvelt, hogy a lények megjelenésükben egyek, de bizonyítékok szerint többes számban, negyven epicheiremből állított össze {érvet} amellett, hogy a lények egyek, mivel úgy vélte, hogy jó a tanár szövetségesének lenni. . Valahogy ugyanazt a tanárt védve, aki azt állította, hogy a létező mozdulatlan, öt epicheiremát terjesztett elő amellett, hogy a létező mozdulatlan. Antiszthenész – egy cinikus , aki nem tudott ellenük kifogást emelni, felállt és járni kezdett, mert azt hitte, hogy a tettekkel való bizonyítás erősebb, mint a szóbeli kifogás.

A leghíresebbek az " Achilles és a teknősbéka " paradoxon és Zénón mozgásról szóló egyéb apóriái, amelyekről több mint két évezred óta beszélnek, tanulmányok százait szentelték nekik. Platón nem említi őket "Parmenidészben", ezért V. Ya. Komarova feltételezi, hogy a mozgás paradoxonait Zénón később írta meg, mint mások [4] .

Tévedés ezeket az érveket szofizmusoknak tekinteni , vagy azt hinni, hogy a magasabb matematika megjelenésével minden aporia megoldódik [5] . Bertrand Russell azt írta, hogy Zénón aporiái „ilyen vagy olyan formában hatással vannak szinte minden tér- , idő- és végtelenelmélet alapjaira, amelyeket korától napjainkig javasoltak” [6] . „Zénón érveinek problematikája messze túlmutat azon a sajátos történelmi helyzeten, amely megjelenésükhöz vezetett. Kolosszális irodalmat szentelnek Zénón apóriáinak elemzésének; különösen nagy figyelmet fordítottak rájuk az elmúlt száz évben, amikor a matematikusok a modern halmazelmélet paradoxonjaira való várakozást kezdték látni bennük ” [7] . A Zénón érvelése által kiváltott tudományos viták jelentősen elmélyítették az olyan alapvető fogalmak megértését, mint a folytonos és diszkrét (diszkontinuális) természetben betöltött szerepe, a fizikai mozgás megfelelősége és annak matematikai modellje stb. Ezek a viták a mai napig folytatódnak (lásd a hivatkozásokat ), a tudományos közösségnek még nem sikerült közös véleményt kialakítania a paradoxonok lényegéről [8] .

Az Eleatika filozófiája

Az Elean filozófiai iskola ( Eleates ) a Kr.e. 6. század végétől a Kr.e. 6. század végéig létezett. e. a Kr.e. 5. század első felére. e., ősének tartják Parmenidészt , Zénón tanítóját. Az iskola sajátos léttanát dolgozta ki. Parmenidész egy versben fejtette ki filozófiai nézeteit, amelyből külön töredékek jutottak el hozzánk [9] [10] [11] .

Az eleatikusok megvédték a lét egységét, mivel úgy vélték, hogy az Univerzumban lévő dolgok sokaságáról szóló elképzelés téves [12] . Az Eleatika lénye teljes, valóságos és megismerhető, ugyanakkor elválaszthatatlan, változatlan és örök, nincs se múltja, se jövője, se születése, se halála. A gondolkodás – hangzott el Parmenidész költeményében – tartalmában megegyezik a gondolkodás tárgyával („egy és ugyanaz a gondolkodás és amiről a gondolat szól”). Továbbá Parmenidész logikusan levezeti a valóban létező jellemzőit: „nem keletkezett, nem semmisült meg, egész [nincs részei] [11] , egyedi, mozdulatlan és végtelen [időben]”.

Ennek az integrált világnak a megismerése csak ésszerű (logikai) érveléssel lehetséges, a világ érzéki képe, beleértve a megfigyelt mozgásokat is, megtévesztő és ellentmondásos [13] . Ugyanebből az álláspontból az Eleatics a tudományban először vetette fel a végtelennel kapcsolatos tudományos fogalmak elfogadhatóságának kérdését [14] .

Amint azt V. F. Asmus és számos más történész megjegyezte, az eleatikusok nem a mozgás és a világ sokféleségének észlelésének lehetőségét tagadták, hanem azok elképzelhetőségét , vagyis a logikával való összeegyeztethetőségét. Az eleatikusok azonosították azokat az elkerülhetetlen ellentmondásokat, amelyek az akkori tudományos fogalmak természetre való alkalmazása során keletkeznek, ami megerősíti Parmenides álláspontját, akinek racionális-logikai megközelítése lehetővé tette ezen ellentmondások elkerülését [15] [16]. . A filozófiai vitákban nézeteiket megvédve Zénón és más eleatikusok kifinomult logikai érvelést alkalmaztak, és ennek fontos részét képezték Zénón aporiai, bizonyítva az ellenfelek nézeteinek logikátlanságát és következetlenségét.

Aporias a mozgásról

Ezek Zénón leghíresebb (és a bibliográfiából ítélve a legrelevánsabb) paradoxonai.

Mozgásmodellek az ókori természetfilozófiában

Zénón apóriáit és nézeteit általában csak az évszázadokkal később élt ókori filozófusok rövid átbeszéléséből ismerjük, és bár nagyra becsülték Zénónt, mint a " dialektika megalapítóját ", de legtöbbször ideológiai ellenfelei voltak. Ezért nehéz megbízhatóan kideríteni, hogyan fogalmazta meg maga Zénón az apóriákat, mit akart megmutatni vagy cáfolni [17] . A legelterjedtebb – Platóntól származó – álláspont szerint az aporiak arra irányultak, hogy megvédjék Parmenidész filozófiájának monizmusát a mozgásról és a dolgok pluralitásáról alkotott hétköznapi elképzelésektől; Zénón ellenfelei a józan ész hívei lehetnek. Egyes tudósok úgy vélik, hogy Zénón érvei a pythagoreusok korai matematikai tanításaira vonatkozó elmélkedésekhez kapcsolódtak , mivel az aporiak valójában megkérdőjelezték a kvantitatív megközelítések alkalmazását a fizikai testekre és a térbeli kiterjesztésre [8] [18] [5] . Ezt az álláspontot erősíti meg, hogy az ókorban az eleatikusokat afizikusoknak , azaz a természettudomány ellenzőinek nevezték [17] .

A Kr.e. V. században e. az ókori görög matematika magas fejlettségi szintet ért el, és a pitagorasz-iskola kifejezte azt a meggyőződést, hogy a matematikai törvények minden természeti törvény mögött állnak. Különösen a természetben a mozgás matematikai modellje a geometria alapján jött létre, amely addigra már meglehetősen mélyen kifejlődött. A püthagoreusok geometriája számos idealizált fogalomra épült: test, felület, alak, vonal – és a leginkább idealizált a tér pontjának alapkoncepciója , amelynek nincs mérhető sajátossága [19] [20 ] ] . Így minden klasszikus görbét folytonosnak és végtelen számú egyedi pontból állónak tekintettünk. A matematikában ez az ellentmondás nem okozott gondot, de ennek a sémának a valós mozgásra való alkalmazása felvetette, hogy mennyire legitim egy ilyen belső ellentmondásos megközelítés [21] . Eleai Zénón volt az első, aki paradoxonainak (aporiák) sorozatában egyértelműen megfogalmazta a problémát.

Két aporia (Achilles és Dichotómia) feltételezi, hogy az idő és a tér folytonos és korlátlanul osztható; Zénón megmutatja, hogy ez a feltevés logikai nehézségekhez vezet. A harmadik aporia ("Nyíl") ezzel szemben az időt diszkrétnek, pont-pillanatokból állónak tekinti; ebben az esetben, ahogy Zénón megmutatta, más nehézségek is felmerülnek [16] . Vegyük észre, hogy helytelen azt állítani, hogy Zénón a mozgást nemlétezőnek tartotta, mert az eleatikus filozófia szerint lehetetlen bárminek a nemlétét bizonyítani: „a nemlétező elképzelhetetlen és kifejezhetetlen” [22] . Zénó érvelésének célja szűkebb volt: az ellentmondások feltárása az ellenfél pozíciójában.

A „stadion” gyakran szerepel a mozgás apóriái között (lásd alább), de a témát tekintve ez a paradoxon inkább a végtelen apóriáihoz köthető. Továbbá az aporiak tartalmát a modern terminológiával újramondják.

A felmerülő filozófiai viták hatására két nézet alakult ki az anyag és a tér szerkezetéről: az első a végtelen oszthatóságot állította, a második pedig az oszthatatlan részecskék, az „ atomok ” létezését. Ezen iskolák mindegyike a maga módján oldotta meg az Eleatics által felvetett problémákat.

A mozgásról szóló apóriák tartalma

Akhilleusz és a teknősbéka

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel lemaradt tőle. Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezt a távot lefutja, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknősbéka újabb tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Itt és a következő apóriákban azt feltételezzük, hogy a térnek és az időnek nincs oszthatósági határa. Diogenes Laertes e híres aporia szerzőjének, Parmenidesnek , Zénón tanítójának [16] tartotta . A teknősbékát mint szereplőt Simplicius kommentátor említi először ; az Arisztotelész által adott paradoxon szövegében a gyors lábú Akhilleusz utolér egy másik futót.

Dichotómia

Az ösvény legyőzéséhez először az út felét kell legyőzni, a felét pedig előbb a felét kell legyőzni, és így tovább a végtelenségig. Ezért a mozgás soha nem indul el.

A „Dichotómia” (görögül: felezés ) nevet Arisztotelész adta.

Repülő nyíl

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen minden pillanatban nyugalomban van, és mivel az idő minden pillanatában nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

A „Dichotómia” és a „Nyíl” apóriák a következő paradox aforizmákra emlékeztetnek, amelyeket az ókori kínai „néviskola” ( ming jia ) vezető képviselőjének tulajdonítanak, Gongsun Longnak ( Kr. e. IV. század közepe  – ie III. század közepe ):

  • "A nyíl gyors [repülésében] van egy pillanat, amikor mind a mozgás, mind a megállás hiányzik."
  • "Ha minden nap a felére visznek el egy chi hosszúságú pálcát, akkor még 10 000 generáció után sem lesz kész."

Arisztotelész kritikája az aporiakkal kapcsolatban

Arisztotelész ( Kr. e. 4. század ) folytonosnak és korlátlanul oszthatónak tartotta az anyagot. A "Fizika" IV. (2., 3. fejezet), VI. (2., 9. fejezet) és VIII. (8. fejezet) könyvében elemzi és elutasítja Zénón érveit [23] . A mozgás apóriáival kapcsolatban Arisztotelész hangsúlyozza, hogy bár egy időintervallum korlátlanul felosztható, nem állhat össze elszigetelt pont-pillanatokból, és lehetetlen a végtelen időt korrelálni ezzel a végtelen oszthatósággal:

Zénó téved. Ha mindig - mondja - minden [test] nyugalomban van, amikor egyenlő helyen van [önmagával], és egy mozgó [test] pillanatnyilag "most" mindig [magával egyenlő helyen] van, akkor a repülő nyíl mozdulatlan. De ez nem igaz, mert az idő nem oszthatatlan „most”-ból, és nem is más mennyiségből áll.
Zénónnak négy érvelése van a mozgásról, amelyek nagy nehézséget okoznak azoknak, akik megpróbálják megoldani őket. Az első a mozgás nem létezéséről szól azon az alapon, hogy a mozgó [testnek] el kell érnie a felét, mielőtt eléri a végét.<…> A második az úgynevezett "Achilles": abból áll, hogy a leglassabb [ lényt] a leggyorsabb soha nem utolhatja meg futás közben, mert az üldözőnek először arra a helyre kell jönnie, ahonnan az elkerülő már elmozdult, így a lassabbnak mindig bizonyos [távolsággal] kell megelőznie az üldözőt. ]. Ez az okfejtés pedig a felezésen alapul, de abban különbözik [az előzőtől], hogy a felvett értéket nem osztják két egyenlő részre.<...>
A harmadik, amit most említettünk, hogy a repülő nyíl mozdulatlanul áll; abból a feltevésből következik, hogy az idő [külön] „mostokból” áll; ha ezt nem ismerjük fel, a szillogizmus megbukik.

Diogenész beszámol arról, hogy a pontusi Arisztotelésznek és Hérakleidésznek voltak „Zénón tanításai ellen” című írásai, de ezek nem maradtak fenn.

A történészek és a kommentátorok véleménye Arisztotelész érveiről megoszlott: egyesek elégségesnek tartották azokat, mások nem meggyőzőek és mélységtelenségük miatt kritizálták őket. Arisztotelész különösen nem fejtette ki, hogyan állhat egy véges időtartam végtelen számú részből [16] . V. Ya. Komarova ezt írja [24] :

Arisztotelész álláspontja világos, de nem kifogástalan – és mindenekelőtt azért, mert ő maga sem fedezte fel a logikai hibákat a bizonyításokban, sem nem adott kielégítő magyarázatot a paradoxonokra... Arisztotelész nem cáfolta az érveket azon egyszerű oknál fogva, hogy Zénón bizonyításai logikailag kifogástalan.

Atomikus megközelítés

Az első ókori görög atomista , Leukippusz Zénón tanítványa volt, és egy másik jelentős atomista, Démokritosz egyik tanára . Az ókori atomizmus legrészletesebb kifejtése Epikurosz rendszere , Kr.e. IV - III. e.  - érkezett hozzánk Lucretius Cara bemutatóján . Arisztotelésztől eltérően Epikurosz a világot különállónak tartotta , amely örökké mozgó oszthatatlan atomokból és ürességből áll. Különösen érdekes az izotachia epikurusi koncepciója , amely szerint minden atom azonos sebességgel mozog [25] . Figyelembe véve, hogy Epikurosz világában nem lehet kevesebbet mérni, mint egy atomot, ebből következik, hogy van egy legkisebb mérhető időintervallum is. Ennek a modellnek a matematikai idealizálása bármilyen testet, alakot vagy vonalat végtelen számú, végtelenül kicsi oszthatatlan egységeként ábrázolt (ez a megközelítés, mint az " oszthatatlanok módszere " különösen a 16-17 . században alakult ki ).

Ennek eredményeként a folyamatos megfigyelt mozgás hirtelen lesz. Aphrodisias Sándor , Arisztotelész kommentátora így foglalta össze Epikurosz támogatóinak nézeteit: „Azt állítva, hogy a tér, a mozgás és az idő is oszthatatlan részecskékből áll, azt is állítják, hogy egy mozgó test mozog a térben oszthatatlan részekből, és mindegyiken nincsenek oszthatatlan részei a mozgásnak, hanem csak a mozgás eredménye” [26] . Egy ilyen megközelítés azonnal leértékeli Zénó paradoxonjait, mivel eltávolít onnan minden végtelent.

Vita a modern időkben

A zenoni aporiak körüli vita a modern időkben is folytatódott. A 17. századig nem volt érdeklődés az apóriák iránt, általánosan elfogadott volt az arisztotelészi értékelésük. Az első komoly tanulmányt Pierre Bayle francia gondolkodó, a híres Történelmi és Kritikai Szótár ( 1696 ) szerzője végezte. Bayle Zénónról szóló cikkében bírálta Arisztotelész álláspontját, és arra a következtetésre jutott, hogy Zénónak igaza volt: az idő, a kiterjedés és a mozgás fogalma az emberi elme számára leküzdhetetlen nehézségekkel jár [27] .

Az apóriákhoz hasonló témákat érintenek Kant antinómiái . Hegel Filozófiatörténetében hangsúlyozta, hogy Zénón anyagdialektikáját "máig nem cáfolták" ( ist bis auf heutigen Tag unwiderlegt ) [2] . Hegel Zénónt a "dialektika atyjának" nevezte, nemcsak a dialektika szó ősi, hanem a hegeli értelmében is . Megjegyezte, Zénó különbséget tesz az érzékileg észlelt és az elképzelhető mozgás között. Ez utóbbit filozófiájának megfelelően Hegel az ellentétek kombinációjaként és konfliktusaként, a fogalmak dialektikájaként írta le [28] . Hegel nem válaszol arra a kérdésre, hogy ez az elemzés hogyan alkalmazható a valós mozgásra, és arra a következtetésre szorítkozik: „Zénó felismerte a térről és időről alkotott elképzeléseinkben foglalt definíciókat, és felfedezte a bennük rejlő ellentmondásokat” [29].

A 19. század második felében sok tudós foglalkozott Zénón paradoxonainak elemzésével, sokféle álláspontot megfogalmazva. Köztük [2] :

és sokan mások.

Modern értelmezés

Elég gyakran voltak (és továbbra is megjelennek) kísérletek Zénón érvelésének matematikai cáfolatára, és ezzel „lezárni a témát”. Például az "Achilles és a teknősbéka" aporia csökkenő intervallumok sorozatával könnyen bebizonyítható, hogy összefolyik, így Akhilleusz megelőzi a teknősbékát. Ezekben a „cáfolatokban” azonban a vita lényege helyettesítődik. Zénón aporiaiban nem matematikai modellről beszélünk, hanem valós mozgásról, ezért értelmetlen a paradoxon elemzését a matematikán belüli érvelésre korlátozni – elvégre Zénón csak az idealizált matematikai fogalmak valósra való alkalmazhatóságát kérdőjelezi meg. mozgalom [16] [31] . A valós mozgás megfelelőségének problémájáról és annak matematikai modelljéről lásd a cikk következő részét.

D. Hilbert és P. Bernays a "Fundamentals of Mathematics" ( 1934 ) monográfiában megjegyzi az "Achilles és a teknős" apóriát [32] :

Az emberek általában úgy próbálják megkerülni ezt a paradoxont, hogy azzal érvelnek, hogy ezen időintervallumok végtelen számú összege konvergál, és így véges időintervallumot ad. Ez az okfejtés azonban egyáltalán nem érint egy alapvetően paradox mozzanatot, nevezetesen azt a paradoxont, amely abban áll, hogy az események valamilyen végtelen sorozata követi egymást, egy olyan sorozat, amelynek beteljesedését el sem tudjuk képzelni (nem csak fizikailag, de legalábbis). elvileg) , sőt, akkor is véget kellene vetni .

Zénón apóriáinak komoly tanulmányai együtt vizsgálják a fizikai és a matematikai modelleket. R. Courant és G. Robbins úgy véli, hogy a paradoxonok feloldásához jelentősen elmélyítenünk kell a fizikai mozgással kapcsolatos ismereteinket [33] . Egy mozgó test idővel egymás után halad pályájának minden pontján, azonban ha bármely nem nulla tér- és időintervallumra nem nehéz az őt követő intervallumot jelezni, akkor egy pontra (vagy pillanatra) lehetetlen. jelezze az utána következő pontot, és ez sérti a sorrendet. „Elkerülhetetlen eltérés marad az intuitív gondolat és a pontos matematikai nyelv között, amelynek célja, hogy tudományos és logikai módon írja le fő vonalait. Zénón paradoxonai élénken felfedik ezt az eltérést.

Gilbert és Bernays úgy vélik, hogy a paradoxonok lényege egyrészt a folytonos, korlátlanul osztható matematikai modell, másrészt a fizikailag diszkrét anyag elégtelenségében rejlik [34] : „nem feltétlenül kell azt hinnünk, hogy a matematikai tér-idő reprezentációs mozgásnak van fizikai jelentése tetszőlegesen kis tér- és időintervallumokra. Más szóval, a paradoxonok a „térpont” és az „időpillanat” idealizált fogalmainak a valóságra való helytelen alkalmazása miatt merülnek fel, amelyeknek nincs analógja a valóságban, mivel bármely fizikai objektumnak vannak nem nulla, nem nulla dimenziói. időtartamú, és nem osztható korlátlanul.

Hasonló nézőpontokat találhatunk Henri Bergsonnál és Nicolas Bourbakinál is . Henri Bergson szerint [35] :

Az eleatikus iskola által rámutatott ellentmondások nem annyira magát a mozgást érintik, hanem a mozgás mesterséges átalakítását, amit elménk végez.

Bergson úgy vélte, hogy alapvető különbség van a mozgás és a megtett távolság között. A megtett távolság tetszőlegesen osztható, míg a mozgás nem osztható fel tetszőlegesen. Akhilleusz minden lépését és a teknősbéka minden lépését oszthatatlannak kell tekinteni. Ugyanez vonatkozik a nyíl repülésére is:

Az igazság az, hogy ha egy nyíl elhagyja az A pontot és eléri a B pontot, akkor az AB mozgása ugyanolyan egyszerű, felbonthatatlan - mert mozgásról van szó -, mint az őt kilő íj feszültsége.

— Bergson A. Kreatív evolúció. Negyedik fejezet. A gondolkodás filmes mechanizmusa és a mechanisztikus illúzió. Bepillantás a rendszerek történetébe, a valódi formációba és a hamis evolucionizmusba

Nicolas Bourbaki [36] szerint :

A tér végtelen oszthatóságának kérdése (amelyet kétségtelenül a korai pitagoreusok vetettek fel) amint tudod, jelentős filozófiai nehézségekhez vezetett: az eleatikusoktól Bolzanoig és Cantorig a matematikusok és filozófusok képtelenek voltak feloldani a paradoxont ​​– hogyan lehet véges érték végtelen számú pontból állhat, méret nélkül.

Bourbaki megjegyzése azt jelenti, hogy meg kell magyarázni, hogy egy fizikai folyamat hogyan vesz fel végtelenül sok különböző állapotot véges idő alatt. Az egyik lehetséges magyarázat az, hogy a téridő valójában diszkrét , vagyis a térnek és az időnek is vannak minimális részei ( kvantumok ) [37] . Ha ez így van, akkor az aporiakban a végtelenség összes paradoxona eltűnik. Richard Feynman kijelentette [38] :

Az az elmélet, miszerint a tér folytonos, tévesnek tűnik, mert [a kvantummechanikában] végtelenül nagy mennyiségekhez és egyéb nehézségekhez vezet. Ráadásul nem ad választ arra a kérdésre, hogy mi határozza meg az összes részecske méretét. Erősen gyanítom, hogy a geometria egyszerű ábrázolása, a tér nagyon kis területeire kiterjesztve, téves.

A diszkrét téridőről a fizikusok már az 1950-es években aktívan tárgyaltak  , különösen az egységes térelmélet projektjei kapcsán [39] , de ezen az úton nem történt jelentős előrelépés.

S. A. Vekshenov úgy véli, hogy a paradoxonok megoldásához olyan numerikus szerkezetet kell bevezetni, amely jobban megfelel az intuitív fizikai fogalmaknak, mint a Cantor- pontkontinuum [40] . A nem-kontinuum mozgáselmélet példáját Sadeo Shiraishi javasolta [41] .

Maurice Kline Zénón apóriáihoz fűzött megjegyzéseiben ezt írja: „Fontos világosan felismerni, hogy a természet és a természet matematikai leírása nem ugyanaz, és a különbség nem csak abból adódik, hogy a matematika idealizálás. A természet talán összehasonlíthatatlanul összetettebb, vagy szerkezetének nincs különösebb szabályszerűsége” [42] .

A " Matematical Encyclopedic Dictionary " úgy véli, hogy az aporiak lényege meglehetősen mély, és különböző módokat fontolgat a probléma megoldására [43] :

Egy általánosan használt matematikai modell tényleges mozgásának kényelmessége vagy megfelelősége vitatható. A végtelenül kicsi és végtelenül nagy fizikai mennyiségek fogalmának tanulmányozásához többször is történtek kísérletek olyan valós számok elméletének megalkotására, amelyben Arkhimédész axiómája nem állja meg a helyét. Mindenesetre a nem archimédeszi rendezett mezők elmélete a modern algebra nagyon értelmes része.

A cikk következő része részletesebben tárgyalja ezt a témát.

Az analitikus mozgáselmélet megfelelősége

A változó sebességű mozgás általános elméletét a 17. század végén dolgozta ki Newton és Leibniz . Az elmélet matematikai alapja a matematikai elemzés , amely eredetileg egy végtelenül kicsi mennyiség fogalmán alapult . Az infinitezimálisról szóló vitában két ősi megközelítés is újjáéledt [44] [45] .

  • Az első megközelítés, amelyet Leibniz választott, az egész tizennyolcadik századot uralta . Az ókori atomizmushoz hasonlóan az infinitezimálisokat a számok egy speciális fajtájának tekinti (nagyobb a nullánál, de kisebb minden közönséges pozitív számnál). Ennek a megközelítésnek a szigorú indoklását (az úgynevezett nem szabványos elemzést ) Abraham Robinson dolgozta ki a 20. században . Robinson elemzésének alapja egy kiterjesztett számrendszer ( hiperreális számok ). Természetesen a Robinson-féle infinitezimálok kevéssé hasonlítanak az ősi atomokhoz, már csak azért is, mert végtelenül oszthatók, de lehetővé teszik számunkra, hogy helyesen tekintsünk egy időben és térben folytonos görbét végtelen számú, végtelenül kicsi szakaszból állónak.
  • A második megközelítést Cauchy javasolta a 19. század elején . Elemzése közönséges valós számokra épül , a határérték fogalmát pedig a folytonos függőségek elemzésére használják . Hasonlóan vélekedtek az elemzés igazolásáról Newton , D'Alembert és Lagrange , bár ebben a véleményükben nem mindig voltak következetesek.

Mindkét megközelítés gyakorlatilag egyenértékű, de a fizika szempontjából az első kényelmesebb; a fizika tankönyvek gyakran tartalmaznak olyan kifejezéseket, mint „legyen dV  végtelenül kicsi térfogat…”. Az viszont nem megoldott, hogy melyik megközelítés áll közelebb a fizikai valósághoz. Az első megközelítésben nem világos, hogy a természetben milyen infinitezimális számok felelnek meg. A második esetben a fizikai és matematikai modell megfelelőségét gátolja, hogy a határértékre való átlépés művelete olyan instrumentális kutatási technika, amelynek nincs természetes analógja. Különösen nehéz a végtelen sorozatok fizikai megfelelőségéről beszélni, amelyek elemei tetszőlegesen kis tér- és időintervallumokra vonatkoznak (bár az ilyen modelleket gyakran és sikeresen alkalmazzák a valóság közelítő modelljeként) [5] [46 ] ] . Végül nem bizonyított, hogy az idő és a tér a valós vagy hiperreális számok matematikai struktúráihoz hasonló módon van elrendezve [40] .

A kérdés további összetettségét a kvantummechanika vitte be , amely kimutatta, hogy a diszkrétség szerepe meredeken megnövekedett a mikrovilágban. Így a Zénó által kezdeményezett viták a tér, az idő és a mozgás szerkezetéről aktívan folynak, és még korántsem értek véget.

Zeno egyéb apóriái

Zénón fenti (leghíresebb) apóriái a végtelen fogalmának mozgásra, térre és időre való alkalmazására vonatkoztak. Más aporiakban Zénón a végtelen más, általánosabb vonatkozásait mutatja be. A fizikai mozgásról szóló három híres apóriával ellentétben azonban más aporiak kevésbé világosak, és főleg pusztán matematikai vagy általános filozófiai vonatkozásokat érintenek. A végtelen halmazok matematikai elméletének megjelenésével jelentősen csökkent az érdeklődés irántuk.

Stadion

Az Aporia "stadion" (vagy "kör") Arisztotelésznél ("Physics", Z, 9) nincs egészen világosan megfogalmazva:

A negyedik [érv] arról szól, hogy egyenlő testek mozognak a stadion körül ellentétes irányban, párhuzamosan egyenlő [testekkel]; egyesek a színpad végéről [mozognak], mások egyenlő sebességgel a közepéről, ahonnan, ahogy ő gondolja, az következik, hogy a fele idő duplája.

A kutatók különböző értelmezéseket kínáltak ennek az apóriának. L. V. Blinnikov a következőképpen fogalmazta meg [47] :

Két test halad egymás felé. Ebben az esetben az egyikük annyi időt tölt a másik mellett, mint amennyi a pihenő mellett. Tehát a fele egyenlő az egésszel.

S. A. Yanovskaya az atomisztikus premisszák alapján más értelmezést kínál [48] :

Álljon az idő oszthatatlan kiterjesztett atomokból. Képzeljünk el két futót a verseny ellentétes végén, olyan gyorsan, hogy mindegyiküknek csak egy atomnyi időre van szüksége ahhoz, hogy a verseny egyik végétől a másikig futhasson. És hagyja, hogy mindkettő egyszerre fogyjon ki az ellenkező végekről. Amikor találkoznak, az idő oszthatatlan atomja felére oszlik, vagyis a testek nem tudnak bemozdulni az idő atomjaiba, ahogy azt a „Nyíl” aporia feltételezi.

Más értelmezések szerint ennek az apóriának a gondolata hasonlít Galilei paradoxonjához vagy "Arisztotelész kerekéhez" : egy végtelen halmaz egyenértékű lehet a részével [49] .

Pluralitás

Az aporiak egy részét a világ egységének és pluralitásának kérdésének tárgyalására szánják [17] .

Ha ezek [létező dolgok] sokak, akkor annyinak kell lenniük, ahányan vannak, nem többnek és nem kevesebbnek. És ha annyi van belőlük, mint ahány, akkor a [számuk] korlátozott. [De] ha sok létező [dolog] van, akkor a [számuk] korlátlan: mert mindig vannak más dolgok a létező [dolgok] között, és megint mások közöttük. Így a létező dolgok [száma] korlátlan.

Hasonló kérdéseket tárgyal Platón Parmenidész [50] dialógusa , ahol Zénón és Parmenidész részletesen kifejti álláspontjukat. A modern nyelvben Zénónnak ez az érvelése azt jelenti [17] , hogy a többszörös lét valójában nem lehet végtelen , és ezért végesnek kell lennie, de a meglévő dolgokhoz mindig új dolgokat lehet hozzáadni, ami ellentmond a végességnek. Következtetés: a lét nem lehet többes szám.

A kommentátorok felfigyelnek arra, hogy ez az aporia sémájában rendkívül emlékeztet a 19-20 . század fordulóján felfedezett halmazelmélet antinómiáira [17] [51] , különösen Cantor paradoxonjára : egyrészt a az összes halmaz halmazának számossága nagyobb, mint bármely más halmazé, de másrészt bármely halmazhoz nem nehéz megadni egy nagyobb számosságú halmazt ( Cantor-tétel ). Ez az ellentmondás, egészen Zénón apóriájának szellemében, egyértelműen feloldódik: az összes halmaz halmazának absztrakcióját elfogadhatatlannak és nem létezőnek ismerik el tudományos fogalomként.

Mérték

Simplicius ezt az apóriát a következőképpen írja le [14] .

Miután bebizonyította, hogy "ha egy dolognak nincs nagysága, akkor nem létezik", Zénó hozzáteszi: "Ha egy dolog létezik, akkor szükséges, hogy legyen bizonyos mérete, vastagsága, és legyen távolság a kölcsönösek között. különbség van benne." Ugyanez mondható el az előzőről, ennek a dolognak arról a részéről, amely a kicsinységben megelőzi a dichotóm felosztást. Tehát ennek az előzőnek is kell lennie valamilyen nagyságrendűnek és az előzőnek is. Az egyszer elmondottak mindig megismételhetők. Így soha nem lesz olyan szélsőséges határ, ahol ne lennének egymástól eltérő részek. Tehát, ha sokféleség van, akkor szükséges, hogy a dolgok egyszerre legyenek nagyok és kicsik, és olyan kicsik, hogy ne legyen méretük, és olyan nagyok, hogy végtelenek legyenek... Aminek egyáltalán nincs mérete, nincs vastagsága, nincs hangerő, egyáltalán nem létezik.

Más szóval, ha egy dolog felezése megőrzi minőségét, akkor a határban azt kapjuk, hogy a dolog végtelenül nagy (mivel végtelenül osztható) és végtelenül kicsi. Ráadásul nem világos, hogy egy létező dolognak hogyan lehet végtelenül kicsi a mérete.

Részletesebben ugyanezek az érvek Philopon megjegyzéseiben is megtalálhatók [52] . Hasonló Zénón érvelést idézi és bírálja Arisztotelész is „Metafizikában” [53] :

Ha az egy-magában oszthatatlan, akkor Zénó álláspontja szerint semminek kell lennie. Valójában, ha egy dologhoz hozzáadunk valamit, az nem teszi nagyobbá, és ha elvesszük tőle, nem lesz kisebb, akkor – mondja Zénón – ez a valami nem a létezőre utal, egyértelműen azt hiszi, hogy a létező egy nagyság, és mivel a nagyság, tehát valami testi is: elvégre a testi lény teljes mértékében; azonban más mennyiségek, például a sík és a vonal, ha hozzáadjuk, az egyik esetben nőnek, a másikban nem; pont és egység ezt semmilyen módon nem teszi meg. És mivel Zénón durván érvel, és mivel létezhet valami oszthatatlan, ráadásul úgy, hogy az valamilyen módon védett lesz Zénó okoskodásától (hiszen ha egy ilyen oszthatatlant hozzáadunk, az valóban nem növekszik, hanem szaporodik) , akkor azt kérdezik, hogy egy vagy több ilyen egyetlen vagy több értékből lesz érték? Ez olyan, mintha azt mondanánk, hogy egy egyenes pontokból áll.

A helyről

Arisztotelész bemutatásában az aporia kimondja: ha minden létezőt egy ismert térbe helyezünk ( hely , görög toposz ), akkor egyértelmű, hogy lesz tértér, és így megy a végtelenbe [54] . Arisztotelész erre megjegyzi, hogy a hely nem dolog, és nincs szüksége saját helyre. Ez az aporia kiterjesztett értelmezést tesz lehetővé, hiszen az eleatikusok nem ismerték fel külön a teret a benne elhelyezkedő testektől, azaz azonosították az anyagot és az általa elfoglalt teret [16] . Bár Arisztotelész elutasítja Zénón érvelését, „Fizikájában” lényegében ugyanarra a következtetésre jut, mint az Eleatika: egy hely csak a benne lévő testekhez viszonyítva létezik. Ugyanakkor Arisztotelész csendben átadja azt a természetes kérdést, hogy miként történik helyváltoztatás a test mozgása során [55] .

Medimne grains

Minden egyes szem némán hull a földre. Akkor miért esik zajjal a medimn (nagy zsák) gabona? [56]

Zénón megfogalmazását bírálták, hiszen a paradoxon könnyen megmagyarázható a hangérzékelés küszöbére hivatkozva  – az egyedi szemcse nem némán, hanem nagyon halkan hull, így a zuhanás hangja nem hallatszik. Az aporia jelentése annak bizonyítása, hogy a rész nem olyan, mint az egész (minőségileg különbözik tőle), és ezért a végtelen oszthatóság lehetetlen [57] . Hasonló paradoxonokat javasoltak az ie 4. században. e. Eubulides  - "kopasz" és " kupac " paradoxon : "egy szem nem kupac, egy szem hozzáadásával nem változtat a dolog, hány szemmel kezdődik egy kupac?"

Zénón aporiainak történelmi jelentősége

„Zénó feltárta azokat az ellentmondásokat, amelyekbe a gondolkodás beleesik, amikor megpróbálja felfogni a fogalmak végtelenjét. Apóriái az első paradoxonok, amelyek a végtelen fogalmával kapcsolatban merültek fel . Arisztotelész egyértelmű különbségtétele a potenciális és a tényleges végtelen között nagyrészt Zénón apóriáinak megértésének eredménye. Az Eleatic paradoxonok további történelmi érdemei:

  • „Zénó pontos és világos prózában megfogalmazott érvelése a pusztán logikai bizonyítékok első példája a történelemben. Ez határozza meg Zénón kiemelkedően fontos helyét a tudománytörténetben” [58] . Az előző generáció filozófusaira jellemző analógiás érvelést és költői fantáziát a szigorú deduktív logika váltotta fel.
  • Egyértelmű jele annak, hogy a valóság megértése (beleértve a matematikát is) nem megfelelő ehhez a valósághoz [59] ; Ezt követően a tudomány számos példával találkozott ennek a tézisnek az érvényességére.
  • Annak megállapítása, hogy a folytonosság külön pontokra (pillanatokra) való felosztása, vagyis a folytonosság és a diszkrétség keveréke ellentmondás [7] .

Ahogy fentebb megjegyeztük, az ókori atomizmus kialakulása kísérlet volt az aporiak által feltett kérdések megválaszolására. A kérdés vizsgálatába a jövőben matematikai elemzést , halmazelméletet , új fizikai és filozófiai megközelítéseket vontak be; egyik sem vált a probléma általánosan elfogadott megoldásává, de egy ősi probléma iránti folyamatos élénk érdeklődés már önmagában mutatja annak heurisztikus termékenységét.

Zénón apóriáinak és a modern tudomány különböző érintkezési pontjait tárgyalja Zurab Silagadze [46] cikke . A cikk végén a szerző a következő következtetést vonja le:

A két és fél évezreddel ezelőtt felmerült és azóta többszörösen tanulmányozott problémák még nem merültek ki. Zénón paradoxonai a valóság alapvető aspektusait érintik – lokalizációt, mozgást, teret és időt. Időről időre ezeknek a fogalmaknak új és váratlan oldalai fedezhetők fel, és minden évszázad hasznosnak találja újra és újra visszatérni Zénónhoz. A végső megoldás elérésének folyamata végtelennek tűnik, és a körülöttünk lévő világ megértése még mindig hiányos és töredezett.

Zénón aporiai az irodalomban és a művészetben

A. S. Puskin a „Mozgás” című versét ( 1825 ) Zénón paradoxonainak szentelte [60] .

   Nincs mozgás mondta a szakállas bölcs.
   A másik elhallgatott, és elindult előtte.
   Nem is tiltakozhatott volna erősebben;
   Mindenki dicsérte a bonyolult választ.
      De uraim, ez a mulatságos eset
      egy másik példát hoz nekem:
      Hiszen minden nap előttünk jár a nap,
      igaza van azonban a makacs Galileinek.

Ebben a történelmi anekdotában a „szakállas bölcs” Zénón támogatója (a kommentátor Elius, mint fentebb említettük, magának Zénónnak tulajdonította az érvelést [3] ), ellenfele pedig az anekdota különböző változataiban Diogenész vagy Antiszthenész (mindkettő közülük sokkal később éltek, mint Zénón, így nem lehetett vele vitatkozni). Az anekdota egyik változata, amelyet Hegel említett , azt mondja, hogy amikor az Eleatus meggyőzőnek ismerte Diogenész érvelését, Diogenész bottal megverte, mert túl sokat támaszkodott a bizonyítékokra [61] .

Lewis Carroll írt egy logikai kirakós párbeszédet "Mit mondott a teknős Akhilleusznak?" [62] .

Lev Tolsztoj a " Háború és béke " című eposz harmadik kötetében (a 3. rész eleje) újrameséli az Akhilleusz és a teknősbéka paradoxonját, és felkínálja a maga értelmezését: a folyamatos mozgást nem lehet "külön egységekre" osztani, hanem szükség van rá. az összegezhető "végtelenül kis mennyiségek" apparátusának használatára. Tolsztoj továbbá megjegyzi: „a történelmi mozgás törvényeinek keresése során pontosan ugyanez történik”, és bírálja azokat a kísérleteket, amelyek szerint a történelem folyamatos lefolyását az egyes befolyásos történelmi személyiségek önkényének tekintik, vagy a történelmet az egyes jelentőségre redukálják. történelmi események.

Paul Valéry a Temető a tenger mellett című versében ( Le Cimetiere Marin , 1920) ezt írta [63] :

   Eleai Zénó, szétverve a gondolatot,
   Remegő nyíllal átszúrt rajtam,
   Bár ő maga elhanyagolta a repülését.
      Hang által születtem, nyíl ütött.
      Lehetséges, hogy egy teknősbéka árnyéka bezárja
      mozdulatlan Akhilleuszomat egy gyors futásra!

F. Dick "A fáradhatatlan békáról" című fantasztikus történetének cselekménye a "Dichotómia" apórián alapul.

Az Akhilleuszról szóló apóriát többször is említik Borges művei . A benne leírt paradox helyzet különböző humoros művekben is megmutatkozott . Takeshi Kitano 2008-ban rendezte az Akhilleusz és a teknősöt .

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ Matematika története, 1970 , p. 90.
  2. ↑ 1 2 3 Makovelsky A. O., 1999 , 14. rész.
  3. ↑ 1 2 Fragments of Early Greek Philosophers, 1989 , p. 302.
  4. ↑ Komarova, 1988 , p. 15-16.
  5. ↑ 1 2 3 Yanovskaya S. A., 1963 , p. 116-118.
  6. ↑ Ivin A. A. A logika törvényei szerint . - M . : Fiatal gárda, 1983. - 208 p. - ( "Eureka" ). Archivált másolat (nem elérhető link) . Letöltve: 2010. március 7. Az eredetiből archiválva : 2007. november 19.. 
  7. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. Antik tudomány. - M. : Nauka, 1980. - S. 52. - 198 p. — (Tudomány- és technikatörténet).
  8. ↑ 1 2 Nagy Szovjet Enciklopédia // Aporia. - 2. kiadás - T. 2.
  9. ↑ A. V. Lebegyev. Parmenides  // Új Filozófiai Enciklopédia  : 4 kötetben  / előz. tudományos-szerk. V. S. Stepin tanácsa . — 2. kiadás, javítva. és további - M .  : Gondolat , 2010. - 2816 p.
  10. ↑ A. V. Lebegyev. Eleatic School  // Új Filozófiai Enciklopédia  : 4 kötetben  / előz. tudományos-szerk. V. S. Stepin tanácsa . — 2. kiadás, javítva. és további - M .  : Gondolat , 2010. - 2816 p.
  11. ↑ 1 2 Rozhansky I. D. A korai görög filozófia // A korai görög filozófusok töredékei
  12. ↑ Makovelsky A. O., 1999 , 16. rész.
  13. ↑ Losev A. F. Eleai Zenon // Filozófiai enciklopédia . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1962. - T. 2.
  14. ↑ 1 2 3 Gaidenko P.P., 1980 .
  15. ↑ Asmus V.F. Elean iskola // Antik filozófia. - M . : Felsőiskola, 2005. - 408 p. — ISBN 5-06-003049-0 .
  16. ↑ 1 2 3 4 5 6 Makovelsky A. O., 1999 , 15. rész.
  17. ↑ 1 2 3 4 5 Aporia of Zeno (Filozófiai Enciklopédia), 1962 .
  18. ↑ Eleai Zénó // Stanford Filozófiai Enciklopédia.
  19. ↑ Komarova, 1988 , p. 50-52.
  20. ↑ Diogenes Laertes. Híres filozófusok élete, tanításai és mondásai, "Püthagorasz" fejezet .
  21. ↑ Kuznyecov B. G., 1961 , p. 18-20.
  22. ↑ Komarova, 1988 , p. 21.
  23. ↑ Arisztotelész "Fizikája".
  24. ↑ Komarova, 1988 , p. 29-30.
  25. ↑ Kuznyecov B. G., 1961 , p. 38.
  26. ↑ Lurie S. Esszék az ókori tudomány történetéből. — M. — L .: Szerk. AN SSSR, 1947. - S. 181. - 403 p.
  27. ↑ Komarova, 1988 , p. 31-35.
  28. ↑ Komarova, 1988 , p. 35-41.
  29. ↑ Hegel G. V. F. Művek 14 kötetben. - M . : Sotsekgiz, 1959. - T. IX. - S. 244.
  30. ↑ Bőrgyár P. Az ókori görög tudomány első lépései. - Szentpétervár. , 1902.
  31. ↑ Papa-Grimaldi, Alba. Miért hagyják figyelmen kívül Zénón paradoxonjainak matematikai megoldásait: Zénón egy és sok kapcsolata és Parmenidész tilalma . A metafizika áttekintése . Letöltve: 2011. augusztus 17. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 28..
  32. ↑ Hilbert D., Bernays P. A matematika alapjai. Logikai számítás és a számtan formalizálása. - M. , 1979. - S. 40.
  33. ↑ Courant R, Robbins G. Mi a matematika ? - 3. kiadás - M. : MTSNMO, 2001. - S. 353. - 568 p. - ISBN 5-900916-45-6 .
  34. ↑ Matematika története, 1970 , p. 93.
  35. ↑ Idézett. Idézet tőle: Danzig, Tobias. A számok a tudomány nyelve . - M . : Technosfera, 2008. - S.  111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
  36. ↑ Nicolas Bourbaki . A matematika építészete. Esszék a matematika történetéről. - M . : Külföldi irodalom, 1963. - 38. o.
  37. ↑ van Bendegem, Jean Paul. Beszélgetés: Zénó paradoxonai és a csempe-érv  // Tudományfilozófia. - Belgium, 1987. - T. 54 . - S. 295-302 .
  38. ↑ Feynman R. A fizikai törvények természete . - Szerk. 2. - M .: Nauka, 1987. - S.  152-153 . — 160 s. - (Bibl. Quantum, 62. szám).
  39. ↑ Kuznyecov B. G. Einstein. Élet. Halál. Halhatatlanság. - 5. kiadás, átdolgozva. és további - M . : Nauka, 1980. - S. 368-374.
  40. ↑ 1 2 Vekshenov, 2008 .
  41. ↑ Shiraishi, 1954 .
  42. ↑ Kline M. Matematika. A bizonyosság elvesztése . - M . : Mir, 1984. - S. 401-402. Archivált másolat (nem elérhető link) . Hozzáférés dátuma: 2010. március 15. Az eredetiből archiválva : 2007. február 12. 
  43. ↑ Dragalin A. G. Antinómia // Matematikai enciklopédikus szótár. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1988. - S. 73-75. — 847 p.
  44. ↑ Uspensky V. A. Mi a nem szabványos elemzés. - M .: Nauka, 1987.
  45. ↑ Gaidenko P.P. Az idő fogalma és a kontinuum problémája . Letöltve: 2011. január 10.
  46. ↑ 1 2 Silagadze , ZK Zeno találkozik a modern tudománnyal  . Letöltve: 2010. december 30. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 14..
  47. ↑ Blinnikov L.V. Filozófiai személyiségek rövid szótára . Letöltve: 2010. április 30.
  48. ↑ Yanovskaya S. A., 1963 , p. 127.
  49. ↑ Bogomolov S. A. Aktuális végtelen (Zeno of Elea, Is. Newton, G. Kantor). - L.-M.: ONTI, 1934. - S. 53. - 78 p.
  50. ↑ Parmenides, 1968-1972 .
  51. ↑ Zeno paradoxonai , Stanford Filozófiai Enciklopédia.
  52. ↑ Eleai Zénó . - Enciklopédia a világ körül. Letöltve: 2010. december 30. Az eredetiből archiválva : 2011. augusztus 14..
  53. ↑ Arisztotelész. Metafizika , I. könyv, IV. fejezet.
  54. ↑ Arisztotelész. Fizika, IV, 1, 209a.
  55. ↑ Komarova, 1988 , p. 124-129.
  56. ↑ Ivin A. A. Logika. Oktatóanyag, 7. fejezet .
  57. ↑ Komarova, 1988 , p. 122-124.
  58. ↑ Fragments of Early Greek Philosophers, 1989 , p. 27.
  59. ↑ Matematika története, 1970 , p. 89.
  60. ↑ MOZGÁS.
  61. ↑ Kuznyecov B. G., 1961 , p. 19.
  62. ↑ Carroll, Lewis. Kétrészes találmány, avagy amit a teknős mondott Akhilleusznak // A tudás hatalom .  - 1991. - 9. sz. - S. 6-12.
  63. ↑ Valerie, Paul. Temető a tenger mellett.

Irodalom

Ókori szerzők

Kortárs szerzők könyvei

Tudományos cikkek rövid bibliográfiája az aporiak elemzésével

A szakirodalom időrendben van felsorolva.

  • Szvatkovszkij V. P. Zénó paradoxona egy repülő nyílról // A Nemzetoktatási Minisztérium folyóirata . - 1888. - 4. szám dep. 5 . - S. 203-239 .
  • Hersonsky N. Kh. A tudáselmélet eredeténél. Zénón mozgalom elleni érveiről // Nemzetoktatási Minisztérium folyóirata. - 1911. - No. XXXIV (augusztus) dep. 2 . - S. 207-221 .
  • Bolzano B. A végtelen paradoxonai . - Odessza, 1911.
  • Bogomolov S. A. Eleai Zénó érvei a tényleges végtelenség doktrínája tükrében // A Nemzeti Oktatási Minisztérium folyóirata. - 1915, új sorozat. - LVI szám (április) . - S. 289-328 .
  • Dmitriev G. Még egyszer Zénón „Achilles és a teknős” paradoxonáról és V. Friedman zűrzavaráról // A marxizmus zászlaja alatt. - 1928. - 4. sz .
  • Bogomolov S.A. Tényleges végtelen: Eleai Zénó, Isaac Newton és Georg Kantor. - L.-M., 1934.
  • Yanovskaya S. A. Zeno Aporia // Filozófiai enciklopédia . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1962. - T. 2.
  • Yanovskaya S.A. Leküzdötte -e a modern tudomány a „Zénó apóriájaként” ismert nehézségeket? // A logika problémái. - M. , 1963. - S. 116-136 .
  • Bogomolov A.S. "A repülő nyíl" és az ellentmondás törvénye // Filozófiai tudományok. - 1964. - 6. sz .
  • Narsky I.S. A mozgás dialektikájának a fogalmakban való tükröződésének kérdésére: (ismét a "Repülő nyíl" paradoxonról) // A tudomány formális logikája és módszertana. - M. , 1964. - S. 3-51 .
  • Tsekhmistro I. Z. Zénón Aporia a XX. század szemével  // A filozófia kérdései. - 1966. - 3. sz .
  • Panchenko AI Zeno aporiai és a modern filozófia  // A filozófia kérdései. - 1971. - 7. sz .
  • Maneev A. K. Zenon apóriáinak filozófiai elemzése. - Minszk, 1972.
  • Kuznyecov G. A. Folytonosság és Zénón „Achilles” és „Dichotómia” paradoxonai // A logikai következtetés elmélete. - M .: Nauka, 1973.
  • Smolenov H. Zeno aporiai, mint az atomizmus és a dialektika heurisztikái // A tudományos ismeretek logikai és módszertani elemzése. - M. , 1979. - S. 76-90.
  • Shirokov V.S. Jean Buridan Zénón aporiairól // Filozófiai tudományok. - 1982. - 4. sz . - S. 94-101 .
  • Koire A. Megjegyzések Zénón paradoxonaihoz // Esszék a filozófiai gondolkodás történetéről. A filozófiai fogalmak hatásáról a tudományos elméletek fejlődésére. — M. : Haladás, 1985.
  • Solodukhina A. O. Megoldotta Aidukevich Zenon „Nyíl” című apóriáját? // Tudományos konferencia "Modern logika: elméleti, történeti és tudományos alkalmazási problémák". - Szentpétervár. , 1996.
  • Anisov A. M. Zeno aporiai és a mozgás problémája // Az Orosz Tudományos Akadémia Fizikai Intézete Logikai Központjának Kutatási Szemináriumának kiadványa, vol. XIV . - M. , 2000. - S. 139-155.
  • Smirnov A. V. Összehasonlíthatóak-e a racionalitás alapjai a különböző filozófiai hagyományokban? A zenoni aporiak és a korai kalam tanításainak összehasonlító vizsgálata // Összehasonlító filozófia. - M. , 2000. - S. 167-212.
  • Vilesov Yu. V. Zeno's aporias and Heisenberg's uncertainty relation  // A Moszkvai Állami Egyetem Értesítője, 7. sorozat (filozófia). - M. , 2002. - 6. sz . - S. 20-28 . Az eredetiből archiválva : 2019. november 9.
  • Vekshenov S. A. A tér-idő kontinuum matematikája és fizikája  // A fizika és a geometria alapjai. - M . : Az Orosz Népek Barátsága Egyetem Kiadója, 2008. - S. 89-118 . Archiválva az eredetiből 2012. május 13-án.
  • Shiraishi, Sadeo. A pszichológiai élmények és a fizikai világ folytonosságának szerkezete // A gondolkodás tudománya. - Tokió, 1954. - 1. sz . - P. 12-24.
  • Chambers, Connor J. Zeno of Elea és Bergson elhanyagolt tézise // Journal of the History of Philosophy. - 1974. - 1. évf. 12, 1. szám (január) . - P. 63-76.
  • Vlastos GA Platón vallomása Eleai Zénónról // Journal of the History of Ideas (New York. - 1975. - XLV. köt. - 136-162. o.).
  • Vlastos GA Zénón nyila hangja // Fronézis. - 1996. - 1. évf. XI. - P. 3-18.
  • Smirnov A. Megegyeznek-e a racionalitás alapjai a különböző filozófiai hagyományokban? Összehasonlító tanulmány Zénón paradoxonjairól és a korai Kalām tanításairól // Islam – West Philosophical Dialogue: the papers at the World Congress on Mulla Sadra (1999). - Teherán: Sadra Iszlám Filozófiai Kutatóintézet, 2004. - P. 109-120.

Linkek

  Ugrás a Wikidata elemre  Szótárak és enciklopédiák
Bibliográfiai katalógusokban