Galilei paradoxona egy példa a végtelen halmazok tulajdonságaira . Dióhéjban: annyi természetes szám van, ahány természetes szám négyzete , vagyis az 1, 2, 3, 4 ... halmazban annyi elem van, mint az 1, 4, 9, 16 halmazban. ...
Legutóbbi művében, A két tudományban, Galilei két egymásnak ellentmondó ítéletet adott a természetes számokról . Először is, néhány szám pontos négyzet (vagyis más egész számok négyzete); más számok nem rendelkeznek ezzel a tulajdonsággal. Így biztosan több tökéletes négyzetnek és közönséges számnak kell lennie együtt, mint egyszerűen tökéletes négyzeteknek. Második ítélet: minden természetes számnak megvan a pontos négyzete, és fordítva - minden pontos négyzethez van egy egész négyzetgyök , ezért ugyanannyi pontos négyzetnek és természetes számnak kell lennie. Ez az egyik első, bár nem a legkorábbi példa az egy az egyhez leképezés fogalmának használatára.végtelen halmazok összefüggésében.
Galilei arra a következtetésre jutott, hogy csak véges halmazok esetén lehetséges ugyanannyi elemet megítélni . A 19. században Georg Cantor halmazelméletével megmutatta, hogy lehetséges "számos elem" bevezetése a végtelen halmazokhoz - ez az úgynevezett sokféleség . Ugyanakkor a természetes számok halmazának és a pontos négyzetek halmazának kardinalitásai egybeestek (Galileo második okfejtése helyesnek bizonyult). Galilei paradoxona összeütközésbe került Eukleidész axiómájával , amely szerint az egész nagyobb bármely saját részénél (saját része alatt olyan részt értünk, amely nem esik egybe az egésszel) [1] . Figyelemre méltó, hogy Galileo milyen mértékben számított a végtelen számok területén végzett további munkára. Megmutatta, hogy az egyenes egy rövid szakaszán a pontok száma megegyezik egy nagyobb szakaszon lévő pontok számával, de természetesen nem ismerte Cantor bizonyítékát arra vonatkozóan, hogy annak számossága nagyobb, mint az egyenes halmazának számossága. egész számok. A Galileinek sürgősebb feladatai voltak. Zénón paradoxonainak ellentmondásaival foglalkozott, hogy utat engedjen matematikai mozgáselméletének [2] .
| Galileo Galilei | ||
|---|---|---|
| Életrajz és tudományos eredmények | Galilei folyamat • Galilei óra szökés • Galilei műholdak • Galilei transzformációk • Lehulló testek vizsgálata • Termoszkóp • Celatone • Galilei Paradoxon | |
| Eljárás | Assayer • Párbeszéd a világ két fő rendszeréről • Sidereus Nuncius • Beszélgetések és két új tudomány matematikai bizonyítékai | |
| Egy család | Vincenzo Galilei (apa) • Michelangelo Galilei (testvér) • Vincenzo Gamba (fia) • Maria Celesta (lánya) • Marina Gamba (törvényes feleség) | |