Egyéni elemzés

A nem szabványos elemzés a matematikai elemzés  igazolásának alternatív megközelítése , amelyben az infinitezimálisok  nem változók, hanem egy speciális számtípus. Nem szabványos elemzésben, modern alapon, a Leibnizre és követőire visszanyúló elképzelés a végtelenül kicsi létezéséről.A nullától eltérő mennyiségek egy olyan elképzelés, amelyet a matematikai elemzés történeti fejlődésében felváltott a változó mennyiség határának fogalma. A tényleges végtelen mennyiségekkel szembeni bizalmatlanságot a matematikában azok formális alátámasztásának nehézségei magyarázták. Érdekes, hogy a tényleges végtelenül nagy és végtelenül kicsi mennyiségekről szóló elképzeléseket a fizika és más természettudományok tankönyvei őrizték meg, ahol gyakran előfordulnak olyan kifejezések, mint „legyen  egy (végtelenül kicsi) térfogatelem…” [1] .

Leibniz koncepcióját rehabilitálták, amikor megjelent az infinitezimális módszerek első modern kifejtése, amelyet Abraham Robinson adott 1961-ben. Ellentétben a hagyományos, valós és komplex számokon alapuló elemzéssel, a nem szabványos elemzés a hiperreális számok szélesebb területével foglalkozik , amelyben nem állja meg az Arkhimédész axiómáját [2] .

A nem szabványos elemzés a matematikai logika egyik ágaként jött létre, amely a nem szabványos modellek elméletének alkalmazására irányult a matematika hagyományos területein: matematikai elemzés , függvényelmélet , differenciálegyenletek elmélete , topológia stb.

Kurt Gödel 1973-ban ezt írta: "Jó okunk van azt hinni, hogy a nem szabványos elemzés ilyen vagy olyan formában a jövő elemzésévé válik" [3] .

Alapok

Általánosságban a Robinson-féle alapmódszer a következőképpen írható le. Egy bizonyos matematikai struktúrát figyelembe veszünk , és egy I. rendű logikai-matematikai nyelvet konstruálunk, amely tükrözi ennek a szerkezetnek a kutatót érdeklő szempontjait. Ezután a modellelmélet módszereivel felépítjük a szerkezetelmélet egy nem szabványos modelljét , amely a saját kiterjesztése . Megfelelő felépítés esetén a modell új, nem szabványos elemei az eredeti szerkezet korlátozó, "ideális" elemeiként értelmezhetők. Például, ha eredetileg a valós számok rendezett mezőjét vették figyelembe , akkor természetes, hogy a modell nem szabványos elemeit "végtelenül kicsinek", azaz végtelenül nagynak vagy végtelenül kicsinek, de a nullától eltérő valós számoknak tekintjük. Ebben az esetben a valós számok közötti összes szokásos reláció automatikusan átkerül a nem szabványos elemekre, megőrizve azok logikai-matematikai nyelven kifejezett tulajdonságait. Hasonlóképpen, a szűrőelméletben egy adott halmazon egy nem szabványos elem az összes szűrőelem nem üres metszéspontját határozza meg; a topológiában nem szabványos pontok családja keletkezik, amelyek egy adott ponthoz "végtelenül közel" helyezkednek el. A modell nem szabványos elemeinek értelmezése gyakran lehetővé teszi számunkra, hogy kényelmes kritériumokat adjunk a hétköznapi fogalmakhoz a nem szabványos elemek tekintetében. Például bebizonyíthatjuk, hogy egy standard valós függvény akkor és csak akkor folytonos egy szabványos pontban , ha végtelenül közel van a -hoz minden (és nem szabványos) ponthoz, amely végtelenül közel van a -hoz . Az így kapott kritériumok sikeresen alkalmazhatók a közönséges matematikai eredmények bizonyítására.

A standard matematika nem szabványos elemzési módszerekkel kapott eredményei természetesen a szokásos módon újra bizonyíthatók, de a nem szabványos modell figyelembevételének jelentős előnye, hogy lehetővé teszi az "ideális" elemek tényleges bevezetését Az érvelés, amely lehetővé teszi, hogy a határátmenetekkel kapcsolatos számos fogalomhoz transzparens megfogalmazásokat adjunk, végestől végtelenig. A nem szabványos elemzések segítségével számos új tényt fedeztek fel. Sok klasszikus bizonyítás észrevehetően tisztábbá válik, ha nem szabványos elemzési módszerekkel mutatják be. A nem szabványos elemzés helye és szerepe azonban ezzel korántsem merül ki.

Napjaink felfogásában a nem szabványos elemzés egy általános matematikai módszer, amely a ténylegesen végtelen mennyiségek fogalmán alapul. A nem szabványos elemzést most axiomatikusan építik fel a halmazelmélet új változatainak keretein belül, amelyek közül a legelterjedtebb Nelson belső halmazelmélete és Kawai külső halmazelmélete. Ezek az elméletek olyan elképzelések formalizálásán alapulnak, amelyek a tényleges és potenciális végtelenség közötti különbségről szóló ősi elképzelésekhez nyúlnak vissza. Ezek az elméletek a Zermelo-Fraenkel elmélet konzervatív kiterjesztését jelentik, és ezért ugyanolyan szigorúsággal bírnak, ha a modern matematika alapjaként tekintjük őket. Ugyanakkor az új elméleteknek összehasonlíthatatlanul szélesebb lehetőségei vannak.

Szabványos és nem szabványos elemek

A nem szabványos elemzés axiomatikájának értelmes kiindulópontja az a felfogás, hogy minden matematikai objektum csak kétféle elemet tartalmazhat. Az első típusú elemek vagy közvetlenül, vagy potenciálisan végtelenül állnak rendelkezésünkre, abban az értelemben, hogy az ilyen elemeket vagy közvetlenül jelezhetjük, vagy a már rendelkezésünkre álló objektumok segítségével bizonyíthatjuk létezésüket, egyediségüket. Az ilyen típusú objektumokat szabványosnak, míg másokat nem szabványosnak neveznek.

A nem szabványos elemzés azt feltételezi, hogy az objektumok minden végtelen halmazában van legalább egy nem szabványos elem - az „idealizálás elve”. Ugyanakkor a szabványos objektumok elegendőek bármely objektum klasszikus matematikai tulajdonságainak - az „átviteli elv” - tanulmányozásához. Szabványos objektumok beállítására is lehetőség van egy adott tulajdonsággal rendelkező szabványos elemek kiválasztásával - a "szabványosítás elve". Ezen elvek változatai jelen vannak a nem szabványos elemzés minden axiomatikájában.

Maga a standard objektum gyakran végtelen. Tegyük fel, hogy nem csak az 5, 7, 10 természetes számok 10 hatványa és a transzcendentális számok, mint a π és e szabványosak , hanem az összes természetes szám vagy az összes valós szám teljes gyűjteménye is . Mivel  egy végtelen halmaz , akkor van egy N nem szabványos elem . Nyilvánvaló, hogy N nagyobb 1-nél, mert az 1 egy standard szám. Ha az m szám szabványos, akkor a következő m + 1 szám is szabványos, mert két standard számból egyedileg adódik. Így minden nem szabványos természetes szám nagyobb bármely standard természetes számnál. Ezért a nem szabványos természetes számokat végtelenül nagynak nevezzük. Az r szám végtelenül nagy, ha | r | nagyobb, mint valami végtelenül nagy természetes szám. A nem nulla végtelen kicsi számok végtelenül nagy számok reciprokjai. Az infinitezimális analízis megalapítói nem szabványos vagy nem szabványos számokról beszéltek, hanem "megadható számokat" emeltek ki. Például Euler egy pozitív számot végtelenül nagynak tekintett, ha nagyobb bármely adott számnál.

A nem végtelen számot véges számnak nevezzük. Két számot végtelenül közelinek mondunk, ha a köztük lévő különbség végtelenül kicsi. Bebizonyítható, hogy minden véges szám végtelenül közel van az egyetlen standard számhoz, annak standard részéhez . Azok a számok, amelyek végtelenül közel vannak egy adott véges számhoz, alkotják a monádot . A monádok nem közönséges halmazok (a Zermelo-Fraenkel világgal kapcsolatban külső halmazoknak nevezik őket). A különböző szabványszámú monádok nem metszik egymást párban, hanem az unióban minden véges számot lefednek. Így a nem szabványos elemzés formális technikája jól tükrözi a „fizikai” számegyenes kettős „diszkrét-folytonos” szerkezetéről szóló természetfilozófiai elképzeléseket.

Nem szabványos számok egy reprezentációja

A nem szabványos elemzés egy új elsődleges koncepciót használ - az objektum azon tulajdonságát, hogy szabványos legyen vagy sem. A „standard” matematikában ezek a különbségek általában kifejezhetetlenek: nem beszélhetünk tényleges végtelenül nagy és végtelenül kicsi állandókról.

Valójában a nem szabványos elemzés formális elmélete a klasszikus konzervatív kiterjesztése, vagyis a klasszikus matematika bármely, nem szabványos elemzéssel igazolt megítélése új módszerek alkalmazása nélkül is igazolható. Van azonban egy technikailag hasznos "klasszikus" ábrázolása a nem szabványos számoknak, amelyet az ún. kettős számok , azaz olyan számok, amelyek alakja , ahol .

Alkalmazások

A nem szabványos elemzés ugyanakkor képes a ténylegesen végtelen objektumok tulajdonságait tanulmányozni, új modellezési módszereket kínálva, amelyek a szabványos matematika számára elérhetetlenek. Elmondhatjuk, hogy a nem szabványos elemzés pontosan ugyanazokat a matematikai objektumokat vizsgálja, mint a standard matematika. Azonban minden ilyen objektumban további belső struktúrát lát, amelyet a hétköznapi matematika teljesen figyelmen kívül hagy. Néha a nem szabványos elemzés módszerét összehasonlítják a színes televízióval. A fekete-fehér TV ugyanazokat a tárgyakat képes megjeleníteni, mint egy színes TV, de nem képes átadni az alkotóelemeik színgazdagságát. Ez az analógia világosan illusztrálja azt az alapvető körülményt, hogy a nem szabványos elemzés szerepe sokkal szélesebb annál, mint hogy további eszközöket biztosítson a közönséges matematika apparátusának egyszerűsítésére. A nem szabványos elemzés feltárja előttünk a klasszikus matematikai objektumok gazdag belső szerkezetét, amely tele van elérhető és csak képzeletbeli elemekkel.

Irodalom

• Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitezimális elemzés . - Novoszibirszk: Matematikai Intézet, 2006.
• Davis M. Alkalmazott nem szabványos elemzés. M.: Mir, 1980.
• Uspensky V. A. Mi a nem szabványos elemzés.  (elérhetetlen link) M.: Nauka, 1987.
• Uspensky B. Nem szabványos elemzés // Tudomány és élet . - 1984. - 1. sz . - S. 45-50 .
• Kanovei V., Reeken M. Nem szabványos elemzés, axiomatikusan. Berlin: Springer-Verlag, 2004.
• Robinson, Ábrahám. nem szabványos elemzés. Princeton University Press, 1996.

• Albeverio S., Fenstad J., Heeg-Kron R., Lindstrom T. Nem szabványos módszerek a sztochasztikus elemzésben és a matematikai fizikában, M.: Mir, 1990, 616 pp., ISBN 5-03-001180-3 .
• Zvonkin A. K., Shubin M. A. A közönséges differenciálegyenletek nem szabványos elemzése és szinguláris perturbációi // Advances in Mathematical Sciences , 39 (1984), 2. szám, p. 77-127.

Jegyzetek

1. ↑ Lásd például: Detlaf A.A., Yavorsky B.M. Fizika tanfolyam. - M . : Felsőiskola, 1999. - S. 128 és tovább.
2. ↑ Panov V. F. Ősi és fiatal matematika. - Szerk. 2., javítva. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 548-553. — 648 p. — ISBN 5-7038-2890-2 .
3. ↑ Kutateladze S. S. A nem szabványos elemzés 50 éves  // Tudomány Szibériában. - 2012. - Kiadás. 11(2846) . - S. 6 .