Quaternion elemzés

A kvaternióanalízis a matematikának egy olyan ága, amely egy kvaternióváltozó reguláris kvaternióértékű függvényeit vizsgálja . A kvaternió- algebra nem kommutativitása miatt a reguláris kvaterniós függvények definiálására többféle, nem egyenértékű megközelítés létezik. Ez a cikk főként Fueter megközelítésével foglalkozik [1] .

Szabályos függvény definíciója

Vegye figyelembe az operátort

{\bar \partial }={\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))+{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

Egy kvaterniós változó függvényét regulárisnak nevezzük, ha $f\colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$

{\bar \partial }f=0

Harmonikus függvények

Hagyjuk , majd és . Könnyen ellenőrizhető, hogy az operátor rendelkezik-e az űrlappal ${\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }f=0$ $\partial {\bar \partial }$

\partial {\bar \partial }={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _ {4}

és egybeesik a Laplace operátorral . Így a szabályos kvaterniós függvény minden összetevője harmonikus függvény a -ben . Ezzel szemben kimutatható, hogy bármely harmonikus függvényhez létezik olyan szabályos kvaterniós függvény , hogy . A reguláris kvaterniós függvények számos tulajdonsága azonnal következik a harmonikus függvények tulajdonságaiból, különösen a maximum elvből . $\mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$ $\tau \colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R}$ $f$ $\tau =\operátornév {Scal}\,f$

Egyes alkalmazások

A kvaterniókat aktívan használják a számítógépes játékok háromdimenziós grafikájának kiszámításához

A leképezések differenciálása

Legyen a kvaterniók testén definiált függvény. A baloldali derivált fogalmát egy pontban olyan számként definiálhatjuk, hogy $y=f(x)$ $y'_{l}$ $x=a$

f(x)-f(a)=y'_{l}(xa)+o(xa)

ahol a végtelen kicsi , azaz. $o(h)$ $h$

\lim _{h\to 0}{\frac {|o(h)|}{|h|}}=0

A baloldali származékkal rendelkező függvények halmaza korlátozott. Például olyan funkciókat, mint

y=axb

y=x^2

nincs baloldali származéka.

Vizsgáljuk meg alaposabban ezeknek a függvényeknek a növekedését.

a(x+h)b-axb=ahb

(x+h)^{2}-x^{2}=xó+hx+ó^{2}

Könnyű ellenőrizni, hogy a kifejezések

ahb

és

xh+hx

a kvaternió lineáris függvényei . Ez a megfigyelés az alapja a következő definíciónak [2] . $h$

folyamatos megjelenítés

f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

differenciálhatónak nevezzük a halmazon , ha minden pontban a leképezés változása így ábrázolható $U\subset \mathbb {H}$ $x\u-ban$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

ahol

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

a kvaternió algebra lineáris térképe és egy olyan folytonos térképe, hogy $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Lineáris kijelző

{\frac {df(x)}{dx))

a leképezés deriváltjának nevezzük . $f$

A derivált a következőképpen ábrázolható: [3]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Ennek megfelelően a leképezési differenciál alakja $f$

df={\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{ s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Itt az index szerinti összegzést feltételezzük . A kifejezések száma a függvény választásától függ . Kifejezések $s$ $f$

{\frac {d_{s0}df(x)}{dx)),{\frac {d_{s1}f(x)}{dx))

a derivált összetevőinek nevezzük.

A derivált kielégíti az egyenlőségeket

{\frac {d(f(x)+g(x))}{dx))={\frac {df(x)}{dx))+{\frac {dg(x)}{dx }}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg (x)}{dx}}

{\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x )+f(x)\left({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)

{\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b

{\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b

Ha , akkor a derivált alakja $y=axb$

{\frac {daxb}{dx}}=a\otimes b,dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b

{\frac {d_{10}axb}{dx}}=a,{\frac {d_{11}axb}{dx}}=b

Ha , akkor a derivált alakja $y=x^2$

{\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x,dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\ ,dx+dx\,x

és a származék összetevőinek alakja van

{\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x,{\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1

{\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1,{\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x

Ha , akkor a derivált alakja $y=x^{-1}$

{\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1},dy={\frac {dx^{-1}}{dx }}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}

és a származék összetevőinek alakja van

{\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1},{\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}} =x^{-1}

Jegyzetek

↑ Fueter, R. Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1. sz. - Birkhäuser Basel, 1936. - P. 371-378.
↑ Aleks Kleyn , eprint arXiv:1601.03259 Archiválva : 2018. január 25., a Wayback Machine -en Introduction into Calculus over Banach algebra, 2016
↑ A kifejezés nem tört, és egyetlen karakterként kell kezelni. Ez a jelölés a származékos jelöléssel való kompatibilitás érdekében javasolt. A kifejezés értéke adott esetben negyedrész. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $x$

Irodalom

DB Sweetser , Doing Physics with Quaternions Archiválva : 2009. január 7. a Wayback Machine -nél
A. Sudbery , Quaternionic Analysis, Matematika Tanszék, Yorki Egyetem, 1977.
V. I. Arnold , Gömbgörbék geometriája és kvaternió-algebra , Uspekhi Mat. Nauk, 1995, 50:1(301), 3-68

Lásd még

Komplex elemzés

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória