Variációszámítás

A variációszámítás egy olyan elemzési ág, amely a funkcionális variációkat vizsgálja . A legjellemzőbb feladat egy olyan függvény megtalálása , amelyen az adott függvény szélső értéket ér el .

A variációszámítás módszereit széles körben alkalmazzák a matematika különböző területein . Például a differenciálgeometriában geodéziai vonalak és minimális felületek keresésére használják őket . A fizikában a variációs módszer az egyik leghatékonyabb eszköz a mozgásegyenletek megszerzésére (lásd például a legkisebb cselekvés elvét ), mind diszkrét, mind elosztott rendszerek esetében, beleértve a fizikai mezőket is. A variációszámítás módszerei a statikában is alkalmazhatók (lásd Variációs elvek ).

Kifejezések és meghatározások

A variációszámítás legfontosabb fogalmai a következők:

variáció (első variáció),
variációs derivált (első variációs derivált),
az első variáción és az első variációs deriválton kívül a második és magasabb rendű variációkat és variációs deriváltokat is figyelembe veszik.

Az elemzésben szereplő függvény variációja , amely névben egybeesik, semmilyen módon nem kapcsolódik a variációs számításhoz .

A variáció ( vari ) kifejezést a variációszámításban használják egy variáció vagy variációs derivált megtalálásának jelölésére (ez a differenciálás kifejezés analógja egy végtelen dimenziós argumentum esetében, ami a számítás tárgya. variációk). Ezenkívül gyakran a rövidség kedvéért (különösen az alkalmazásokban) a variáció kifejezést egy variációs probléma megoldásának jelölésére használják, amely a variációs derivált megtalálására és nullával való egyenlővé tételére redukálódik.

A variációs probléma általában azt jelenti, hogy olyan függvényt találunk (a variációszámítás keretein belül egy függvényre egyenletet), amely kielégíti valamely adott függvény stacionaritási feltételét , vagyis olyan függvényt, amelynek (végtelenül kicsi) perturbációi nem okoz változást a funkcionálisban, legalábbis a kicsinység első sorrendjében. Szintén a variációs probléma egy szorosan összefüggő probléma (egyenlet egy függvényhez), amelyen egy adott függvény elér egy lokális szélsőséget (sok tekintetben ez a probléma az elsőre redukálódik, néha majdnem teljesen). Általában a kifejezések ilyen használatából az következik, hogy a problémát a variációszámítás módszerei oldják meg.

A variációs problémák tipikus példái a geometriai és mechanikai izoperimetriai problémák ; a fizikában a mezőegyenletek megtalálásának problémája egy adott típusú cselekvésből erre a mezőre.

Történelem

Már az ókorban is megjelentek az izoperimetriás problémák kategóriájával kapcsolatos első variációs problémák – például Dido problémája . Az ókori görög matematikusok már tudták [1] :

Az adott kerületű figurák közül a körnek van a legnagyobb területe.
Az adott számú oldallal és adott kerülettel rendelkező sokszög közül a szabályos sokszög területe a legnagyobb .
Az adott felületű testek közül a gömbnek a legnagyobb a térfogata . A gömbszelvényekre vonatkozó hasonló problémát Arkhimédész és Zenodor is megoldotta a Kr. e. 2. században. e. megírta az "Izoperimetrikus figurákról" című könyvet (ebből terjedelmes idézeteket őriztek meg más szerzők művei).

Az első variációs elvet a visszavert fénysugarak pályáira Alexandriai Heron fogalmazta meg "Katoptrik" (Kr. u. 1. század) című művében [2] .

A középkori Európában az izoperimetriai problémákkal I. Sacrobosco (XIII. század) és T. Bradwardin (XIV. század) foglalkozott. Az elemzés kidolgozása után új típusú, főként mechanikai jellegű variációs problémák jelentek meg. Newton a " Mathematical Principles of Natural Philosophy " (1687) című művében megoldja a problémát: meg kell találni a forgástestnek azt az alakját , amely a legkisebb ellenállást adja, ha gázban vagy folyadékban mozog (adott méretek esetén). Fontos történelmi probléma, amely lendületet adott a variációszámítás modern változatának kidolgozásához, a brachistochrone (1696) problémája volt. Gyors megoldása egyszerre több matematikus által megmutatta az új módszerek óriási lehetőségeit. Egyéb feladatok mellett érdemes megemlíteni a felsővezeték alakjának (vagyis egy nehéz homogén szál egyensúlyi alakjának, 1690) meghatározását. Általános módszerek a variációs feladatok megoldására ebben az időszakban még nem léteztek, minden feladatot szellemes (és nem mindig hibátlan) geometriai érvelés segítségével oldottak meg.

Pierre Fermat megfogalmazta a geometriai optika alapelvét, mely szerint a fény egy inhomogén közegben azt az utat választja, amelyik a legkevesebb időt vesz igénybe. 1746-ban Maupertuis általánosította ezt a szabályt azzal, hogy bevezette a tudományba a legkisebb cselekvés első elvét .

A variációszámítás kidolgozásához Leonhard Euler és Joseph Lagrange döntő mértékben hozzájárult . Euler birtokolja a variációszámítás és magának a kifejezésnek az első szisztematikus kifejtését (1766). Lagrange egymástól függetlenül (1755 óta) számos alapvető eredményt ért el, és bevezette a variáció fogalmát .

Ebben a szakaszban levezették az Euler-Lagrange egyenleteket . Szükséges feltételét jelentik egy szélsőségnek, amely a variációs módszerek analitikai alapjává vált. Hamar kiderült azonban, hogy ezeknek az egyenleteknek a megoldásai nem minden esetben adnak valós szélsőséget, így felmerült a szélsőséget garantáló elegendő feltétel megtalálása. Az első mélyreható tanulmányt (a második változatról) Legendre végezte , de Lagrange hibát fedezett fel munkájában. Legendre eredményeit Jacobi (1837), majd tanítványa, Hesse (1857), később Weierstrass finomította és egészítette ki . Ezeket az elégséges feltételeket most Jacobi-egyenleteknek [3] nevezzük .

Kötetlen beszélgetés

A variációszámítás tartalma a differenciál fogalmának általánosítása és egy véges dimenziós vektor argumentum függvényének deriváltja egy funkcionális esetre - olyan függvényre, amelynek definíciós tartománya a függvények bizonyos halmaza vagy tere. , és az értékek valós vagy komplex számok halmazában vannak.

Az alábbiakban ebben a részben mindenhol azt feltételezzük, hogy a függvények és funkcionálisok rendelkeznek a szükséges simasággal, vagyis bizonyos származékok létezésének kérdésével nem foglalkozunk külön, különösen azért, mert számos konkrét problémában ennek a kérdésnek nincs gyakorlati jelentősége (a szükséges simaság). minden bizonnyal ott van).

A függvény minden egyes függvényt a definíciós tartományából egy bizonyos számhoz társít. $\Phi[f]$ $f$

Könnyű analógokat írni a differenciálra és a funkcionális irány deriváltjára.

Változat

A differenciál analógja (az első differenciál) a variációszámítás variációja ( az első variáció ):

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

(a differenciálhoz hasonlóan ennek a növekménynek a lineáris részét értjük, és hagyományos módon infinitezimálisra választjuk, és a különbség kiszámításakor az infinitezimális magasabb rendeket figyelmen kívül hagyjuk). Ugyanakkor - a differenciál vagy egy független változó kis növekményének szerepét - variációnak nevezzük . $\delta f$ $\delta f$ $f$

Amint láthatja, maga viszont funkcionális, mivel általánosságban elmondható, hogy más és más (különböző ) esetén is más. $\delta\Phi$ $f$ $\delta f$

Tehát a funkcionálisokra alkalmazva ez egy véges dimenziós (beleértve az egydimenziós) argumentum függvénye differenciáljának közvetlen analógja:

dy=y(x+dx)-y(x)

- hasonlóan a függvény növekményének lineáris részeként az argumentum infinitezimális növekményével (vagy a ponthoz közeli hatványok bővítésének lineáris tagjával ). $y$ $x$ $y$ $dx$ $x$

Példák

Valós argumentum valós függvényének funkcionálásához - bármely és igaz lesz . $\Phi[f]=\cos(f(1))$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))$
Valós argumentum valós függvényének funkcionálásához - bármely és igaz lesz . $\Phi[f]=\cos(f(1))+\sin(f(6))$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))+\cos(f(6))$
Valós argumentum valós függvényének funkcionálásához - bármely és igaz lesz . $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$ $f$ $\delta f$ $\delta\Phi=\int\limits_1^2(f(x)+\delta f(x))\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2\delta f(x)\,dx$

Irányszármazék

( Gateaux derivált ) A függvény deriváltja az irány egy pontjában nyilvánvalóan $\Phi$ $f$ $g$

\frac{d\Phi[f+\alpha g]}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=0}.

Ez elvileg már elég egy tipikus variációs probléma megoldására - "stacionárius pontok" megtalálására, vagyis olyan függvényekre , amelyeknél az első variáció vagy irány derivált minden infinitezimális vagy bármely véges esetén eltűnik . A függvénytérben ezek a "pontok" - vagyis éppen az ilyen függvények - jelöltek a szélsőértékekre (azt külön kell ellenőrizni, hogy valóban szélsőségesek-e, azaz elértek-e rajtuk lokális szélsőséget, mivel véges dimenziós argumentum függvényeinél; Érdekes, hogy a fizika számos problémájában fontosabb, hogy ne szélsőértékeket, hanem pontosan stacionárius pontokat találjunk). Egyes forrásokban létezik egy olyan terminológia, ahol a funkcionális összes stacionárius pontját szélsőségesnek nevezik, majd kiderítik az extremális típusát. A stacionárius pontok elemzése a második derivált irány szerinti előjelének vizsgálatán alapul. $f$ $\delta f$ $g$

Példák (Itt nem vezetünk be speciális jelölést az irányszármazékra.)

A függvény deriváltja az irány mentén egy pontban : . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\cos(0))}{d\alpha}=1$
A függvény deriváltja az irány mentén egy pontban : . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\sin(0))}{d\alpha}=0$
A függvény deriváltja az irány mentén egy pontban : . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d}{d\alpha}\left((1+\alpha)\int\limits_0^{2\pi}\cos^2x\,dx)\right)=\pi$
A függvény deriváltja az irány mentén egy pontban : . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\sin$ $\frac{d}{d\alpha}\left(\alpha\int\limits_0^{2\pi}\sin x\cos x\,dx\right)=\frac{d0}{d\alpha}=0$

Variációs derivált

Az integrál funkcionálisoknál , amelyek nagyon fontos esetek a matematikában és az alkalmazásokban, nemcsak a differenciál analógját és egy iránybeli deriváltját lehet bevezetni, hanem egy Fréchet-derivált is - egy véges dimenziós gradiens analógját , amelyet variációs deriváltnak neveznek. .

Vagyis teljes analógia a véges dimenziós esettel, amikor

dy={\big (}{\vec {\nabla }}y,\;d{\vec {x}}{\big )}=\left({\frac {dy}{d{\vec {x}}}},\;d{\vec {x}}\right)=\sum _{i}\partial _{i}y\,dx_{i}

ahol a függvény gradiensének (vagy Fréchet-származékának) a jelölése , és a skaláris szorzat; a parciális derivált operátor a th koordinátához képest, az összeg a teljes differenciál . $\vec\nabla y$ $y$ $(\;,\;)$ $\partial_i$ $én$

A mi funkcionálisan

\delta\Phi=\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f},\;\delta f\right)=\int\frac{\delta\Phi}{\delta f}(x)\ delta f(x)\,dx

ahol a variációs derivált jelölése , és a véges dimenziós képlet összegzése természetesen az integrációra cserélődik. $\frac{\delta\Phi}{\delta f}$ $\Phi$

Így,

\frac{\delta\Phi}{\delta f}

a variációs derivált szabványos jelölése . Ez is egy bizonyos függvénye mind és (általában ez egy általánosított függvénye , de ez a fenntartás kívül esik a megfontolás keretein, mivel feltételezzük, hogy minden függvény és funkcionális tetszőlegesen sima, és nincs szingularitása).

x

f

Más szóval, ha lehetséges egy variáció ábrázolása

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

mint

\delta\Phi=\int A(x)\delta f(x)\,dx

, hol van valami függvény ,

A

x

azaz a variációs derivált by ("by " itt azt jelenti, hogy a többi argumentum vagy paraméter nem változik; a "by " beszédfordulat elhagyható abban az esetben, ha pontosan meg van határozva, hogy melyik függvény melyik funkcióját tekintjük , melyik előfordulhat, hogy a gyakorlat nem egyértelmű a képletéből, amely más paramétereket és függvényeket is tartalmazhat – lásd még alább). Azaz $A$ $\Phi$ $f$ $f$ $f$ $\Phi$

\frac{\delta\Phi}{\delta f} = A.

Példák (És itt az integrálok különbsége egy integrálra redukálódik.)

A mi funkcionálisan $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \left(f(x)+\delta f(x)\right)\,dx-\int \limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta f(x)\,dx \Jobbra \frac{\delta\Phi}{\delta f}=1.

Egy funkcionális esetében a variációs derivált a következőképpen számítható ki: $\Phi[f]=\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta(K(x)f(x))\,dx=\int\ limits_1^2 K(x)\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=K(x).

A funkcionalitás érdekében $\Phi[f]=\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2 \delta L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2\ frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.

Ha egy függvény infinitezimális különbségét a deriváltja és az argumentum különbségével fejezzük ki, akkor a következőt kapjuk:

\delta L(f)

\delta f

\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f.

Könnyen belátható, hogy ez a definíció az integrál bármely dimenziójára általánosítható. A -dimenziós esetre igaz az egydimenziós esetet közvetlenül általánosító képlet: $n$

\delta\Phi=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\right)\delta f(x)\,d^nx.

A variációs derivált fogalma könnyen általánosítható több argumentum funkcionális esetére is [4] :

\delta\Phi[f,\;g,\;\ldots]=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\delta f(x)+\frac{\ delta\Phi}{\delta g}\delta g(x)+\ldots\right)\,d\Omega.

Példák (Itt az integrálok különbsége egy integrálra redukálódik.)

Egy funkcionális esetében a variációs derivált többdimenziós esetét a következőképpen számítjuk ki: $\Phi[f]=\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\ delta L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x,\ ;y)\,dx\,dy\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f}.

A mi funkcionálisan $\Phi[f,\;g]=\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))\,dx=\int\limits_1^2\delta L(f(x),\;g( x))\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g (x)\right)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f},\;\frac{\delta\Phi }{\ delta g}=\frac{\partial L}{\partial g}.

Több argumentum függvényének végtelen kicsi különbségét teljes differenciálként kifejezve a következőt kapjuk:

\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f+\frac{\partial L}{\partial g}\delta g.

Másod- és magasabb rendű variációk és variációs származékok

Ahogy fentebb az első rendnél leírtuk, bevezethetjük a funkcionális második variációjának és második variációs deriváltjának , valamint a -edik variációjának és a -edik variációs deriváltjának fogalmát : $n$ $n$

\delta^2\Phi,\;\frac{\delta^2\Phi[f]}{\delta f^2},\;\delta^n\Phi,\;\frac{\delta^n\Phi [f]}{\delta f^n}.

Több függvénytől függő funkcionális esetén bevezethetjük a különböző rendű vegyes variációs deriváltok fogalmát is, például:

\frac{\delta^3\Phi[f,\;g]}{\delta f^2\delta g}.

Itt nem térünk ki erre részletesen, minden teljesen hasonló módon történik, mint a megfelelő differenciálok és deriváltak bevezetése egy véges dimenziós argumentum függvényében.

A függvénytér egy adott pontjához közeli funkcionális Taylor sorozattá bővül , ha természetesen minden rend variációs deriváltja létezik. Mint véges dimenziós esetekben, ennek a sorozatnak véges számú tagjának összege csak az argumentumának kis eltérései esetén adja meg a funkcionális értékét bizonyos pontossággal (a megfelelő kicsinységi sorrendben). Ezen túlmenően, akárcsak egy véges dimenziós argumentum függvényei esetében, a Taylor-sor (az összes tag összege) nem konvergálhat a benne kibővített funkcionálishoz bármely nem nulla véges eltolás esetén, bár az ilyen esetek meglehetősen ritkák alkalmazások.

A variációszámítás alkalmazása

Bár a problémák, amelyekre a variációs számítások alkalmazhatók, észrevehetően szélesebbek, az alkalmazásokban elsősorban két fő problémára redukálódnak:

pontok keresése azon függvények terében, amelyeken a funkcionális definiálva van - a stacionárius funkcionális pontjai , stacionárius függvényei, vonalai, pályái, felületei stb., vagyis adott adottságra olyanok keresése, amelyekre bármely (végtelenül kicsi) , ill. , egyébként hol , $\Phi[f]$ $f$ $\delta\Phi=0$ $\delta f$ $\frac{\delta\Phi}{\delta f}=0$
a funkcionális lokális szélsőségek megtalálása, vagyis mindenekelőtt azoknak meghatározása , amelyeken lokálisan szélsőséges értékeket vesznek fel - szélsőségek megtalálása ( néha az extrémum előjelének meghatározása is). $f$ $\Phi[f]$

Nyilvánvalóan mindkét probléma szorosan összefügg, és a második megoldása redukálódik (a funkcionális zökkenőmentessége mellett) az első megoldására, majd annak ellenőrzésére, hogy valóban elértünk-e egy lokális szélsőséget (ami önállóan, manuálisan, vagy szisztematikusabban történik , a második és – ha mindegyik azonos előjelű és legalább az egyik nulla – variációs deriváltjait tanulmányozzuk, akkor magasabb rendű). Az ismertetett eljárás során az extrémum típusát is meghatározzuk. Gyakran (például amikor a stacionárius funkcionális funkciója egyedi, és a függvény minden változása minden nagy perturbáció esetén azonos előjelű), a megoldás arra a kérdésre, hogy ez szélsőség-e, és milyen típusú, nyilvánvaló előleg.

Ebben az esetben az (1) probléma nagyon gyakran kiderül, hogy nem kisebb vagy még fontosabb, mint a (2) probléma, még akkor is, ha a stacionárius pont besorolása határozatlan (vagyis minimum, maximum) vagy nyeregpont, valamint egy gyenge szélső, egy olyan pont, amelynek közelében a funkcionális pontosan állandó, vagy a konstanstól magasabb rendű, mint a második). Például a mechanikában (és általában a fizikában) a stacioner potenciális energia görbéje vagy felülete egyensúlyt jelent, és az a kérdés, hogy szélsőséges-e, csak ennek az egyensúlynak a stabilitásának kérdéséhez kapcsolódik (ami korántsem mindig fontos). Az álló mozgás pályái megfelelnek a lehetséges mozgásnak, függetlenül attól, hogy egy ilyen pályán a cselekvés minimális, maximális vagy nyereg. Ugyanez mondható el a geometriai optikáról is, ahol az álló idő tetszőleges vonala (nem csak a minimális idő, mint a Fermat-féle legkevesebb idő elvének egyszerű megfogalmazásában ) megfelel egy fénysugár lehetséges mozgásának egy inhomogén optikai közegben. Vannak rendszerek, ahol egyáltalán nincsenek szélsőértékek, de léteznek stacionárius pontok.

A feltételes szélsőségek és feltételes stacionárius pontok megtalálásának módszerei (lásd alább) a variációszámítást még hatékonyabb eszközzé teszik mindkét probléma megoldására.

Variációs technika

Az integrálfüggvény variációs deriváltjának megtalálásának fő és szokásos technikája , amelynek integrandusa nemcsak a függvény értékét tartalmazza a pontban , hanem deriváltjainak értékeit is, vagyis nem csak , hanem , és így tovább (elvileg tetszőleges sorrendű származékok szerepelhetnek, bár gyakorlati feladatokban a másodiknál magasabb rendek sokkal ritkábban fordulnak elő, és legtöbbször a származékok sorrendje nem magasabb, mint az első; valamilyen sorrendű származékok szerepelnek a gyakorlatilag szinte mindig érdekes funkcionálisok: például egy olyan funkcionális, mint a görbe hossza, elsőrendű deriváltjait tartalmazza, a hajlított rugalmas rúd potenciális energiája pedig legalább másodrendű derivált) részenkénti integráció. Ez a funkcionális variáció kifejezésének meglehetősen átlátható és nyilvánvaló rögzítését követően közvetlenül a fenti cikkben leírt recept szerint lehetővé teszi a cél elérését: a variációs derivált megtalálását. $\Phi[f]$ $f$ $x$ $f(x)$ $df/dx$ $d^2f/dx^2$

A függvény variációjának kifejezése meglehetősen közvetlenül és egyszerűen van megírva. De ebben az esetben egy tipikus kellemetlenség adódik [5] , ami abban áll, hogy ebben az esetben nemcsak c, hanem c kifejezések is megjelennek az integrál alatti kifejezésben . Ezt a kényelmetlenséget az alkatrészek integrálása küszöböli ki . $\delta\Phi[f]$ $\delta f$ $\delta(df/dx)$

Vizsgáljuk meg ezt először egy egyszerű konkrét példával, majd egy általános példával.

Példa: Legyen szükséges a függvény variációs deriváltjának megtalálása

\Phi[f]=\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx,

ahol a prím jelöli a származékot a tekintetében , és find , amelynek értéke extrém. $x$ $f(x)$ $\Phi$

Könnyű kiírni

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx=\int\limits_1^2\left( \delta\left((f'(x))^2\right)+\delta\left((f(x))^3\right)\right)\,dx=

=\int\limits_1^2\left(2f'(x)\delta(f'(x))+3(f(x))^2\delta f(x)\jobbra)\,dx.

Nyilvánvaló, hogy a vonatkozású derivált felvételének művelete szabadon felcserélhető a művelettel . Akkor $x$ $\delta$

\delta\Phi=\int\limits_1^2\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx .

Most, hogy ne a derivált jele alá kerüljünk, ami megakadályozza, hogy mindkét tagból zárójeleket vegyünk ki (a zárójelben maradó a variációs derivált), az első tagban részenkénti integrációt kell használnunk: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$

\delta\Phi=\int\limits_1^2 2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\ ,dx=

=2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}-\int \limits _{1}^{2}(2f'(x))'\delta f( x)\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx.

Most ismét az integrálok összegét eggyel alakíthatja, és kiveheti a zárójelekből : $\delta f$

\delta\Phi=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1 ^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x) )^2\delta f(x)\jobbra)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^2\jobb \delta f(x)\,dx,

elhagyva a határkifejezést , egyedül állva. $2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)$

A határtag nullával egyenlő [6] , ezzel megoldva a variációs derivált megtalálásának problémáját (valójában definíció szerint az, ami az integrál alatt van nagy zárójelben, csak a határtag zavarja a definíciót). Annak a ténynek a magyarázata, hogy a határtag nullával egyenlő, nem túl szigorú (lásd a [6] jegyzetet ), de korlátozzuk magunkat, hogy a fő dologra koncentráljunk.

Először rögzítjük a határpontokon, majd a határtag eltűnik, mivel ilyen rögzítésnél el kell tűnnie a és -nél . Sok probléma esetén a peremfeltételek ilyen rögzítése kezdetben megtörténik. Amikor szélsőséget és variációs deriváltot keresünk egy ilyen peremfeltételekkel rendelkező függvényosztályon, a határtag egyszerűen elvehető. De ha a peremfeltételeket nem maga a probléma szabja meg, akkor azokat mesterségesen is fel lehet szabni, a feladatot fix feltételekre oldjuk meg, majd a különböző peremfeltételekre vonatkozó megoldások halmaza közül kiválaszthatjuk az optimálisat (ez általában Nem nehéz). Röviden: a határtag nullázásával a feladat megoldása tartalmazza többek között az eredeti probléma megoldását, csak szűkíteni kell a már megtalált, változó és közülük a legjobbat kiválasztani megoldások osztályát. (A rendezettebb és általánosabb megközelítésért lásd alább.) $f$ $\delta f$ $x=1$ $x=2$ $f(1)$ $f(2)$

Tehát itt a variációs derivált alatt a fix végű függvények osztályára vonatkozó variációs deriváltot értünk, amely (extremális keresésekor és hasonló feladatoknál) nullával egyenlő lévén meghatározza a függvény viselkedését a szegmensen belül. . Ebben az értelemben példánkban a következőket találjuk: $[1;\;2]$

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=(-2f'(x))'+3(f(x))^2,

és az extremitás szükséges feltétele a nullával való egyenlősége, vagyis van egy egyenletünk : $f$

-2f''(x)+3(f(x))^2=0.\

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása explicit formát ad , de a differenciálegyenlet megoldásának problémája már túlmutat a variációszámítás keretein. Ez utóbbi feladata egy ilyen egyenlet megszerzésére korlátozódik, és esetleg további feltételekre, amelyek korlátozzák az elfogadható megoldások osztályát. $f(x)$

Példa egy általánosabb jelöléssel: Legyen megkövetelve a funkcionális variációs deriváltjának megtalálása (az előző példa ennek egy speciális esete, illusztrálására szolgálhat):

\Phi[f]=\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx,

ahol a prím jelöli a deriváltot a -hoz képest , a dupla prím a második deriváltot jelöli -hez képest , és még mindig lehetnek magasabb rendű származékok, amelyeket pontokkal jelölünk, és találjuk meg , amelyeknél az érték szélsőséges. Itt L -en több argumentum néhány (általában jól definiált és minden konkrét feladatra specifikus, mint a fenti példában, de az általánosság kedvéért itt absztrakt módon írva) funkcióját értjük. Az f függvény deriváltjainak értékei az integrációs tartomány minden pontjában (amelyet itt szegmensként jelölünk, de lehet a teljes valós tengely is) argumentumként helyettesítjük L -ben, majd az x feletti integrációt hajtjuk végre. . $x$ $x$ $f(x)$ $\Phi$

Könnyű kiírni

\delta\Phi=\delta\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx

= \int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x) + \frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx,

ahol a parciális deriváltok stb. egyszerűen az L függvény parciális deriváltjai a megfelelő argumentumaihoz képest, vagyis ebben a jelölésben egyszerűen a megfelelő paraméterek értendők (az a jelentés, hogy végtelenül kis különbséget találjunk $\frac{\partial L}{\partial f}, \frac{\partial L}{\partial f'}, \frac{\partial L}{\partial f''}$ $f, f', f''$

L \left(f(x) + \delta f(x), (f(x) + \delta f(x))', (f(x) + \delta f(x))'', ... \jobb)

és

L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...\right)

Nyilvánvaló, hogy a derivált figyelembevételének művelete szabadon felcserélhető a művelettel , amint azt a fenti példában részletesen tárgyaltuk. Ezért itt egyszerűen nem teszünk zárójeleket, amelyek jelzik a műveletek sorrendjét a kifejezésekben stb. $x$ $\delta$ $\delta f'(x), \delta f''(x)$

Most, hogy ne a derivált jele alá kerüljön, ami megnehezíti a zárójelek kiszedését az integrandus összes tagjából (a zárójelben marad - és lesz variációs derivált), szükség van rá (a integrál összege az integrálok összegeként) a második tagra a részenkénti integráció alkalmazása, a harmadikra - a részenkénti integráció kétszeri alkalmazása, a további magasabb származékokat tartalmazókra (amelyeket itt ellipszis jelöl), a harmadik részekkel történő integráció alkalmazása vagy többször, amíg az összes stroke el nem múlik stb.: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$ $\delta f'''(x)$

\int\limits_a^b\left( \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x) + \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x) + \ frac{\partial L}{\partial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx = \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f} \delta f(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\ részleges L}{\részleges f''}\delta f''(x)\,dx + ...\, =

= \int\limits_a^b \frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)\,dx + \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg |_a^b - \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' \delta f(x)\,dx + \frac{\partial L}{\ részleges f''} \delta f'(x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a ^b + \int\limits_a^b \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)''\delta f(x)\,dx + ...

Most ismét az integrálok összegét eggyel alakíthatja, és kiveheti a zárójelekből : $\delta f$

\delta \Phi = \frac{\partial L}{\partial f'} \delta f(x) \bigg|_a^b + \frac{\partial L}{\partial f''} \delta f'( x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a^b + ... + \int\ limits_a^b \bigg( \frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\partial L} {\partial f''}\bigg)'' + ... \bigg) \delta f(x)\,dx

magára hagyva a határkifejezést. A határtag nullára állítható, amint azt a fenti konkrét példában leírtuk és kifejtettük, valamint - még óvatosabban - az alábbi külön bekezdésekben, amelyek külön foglalkoznak a határoló taggal kapcsolatos kérdésekkel.

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg (\frac{\partial L}{\partial f''}\bigg)'' + ... ,

és az extremitás szükséges feltétele a nullával való egyenlősége, vagyis van egy egyenletünk : $f$

\frac{\partial L}{\partial f} - \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\partial L}{\partial f'' }\bigg)'' + ... =0.\

(Ha itt behelyettesítjük az L függvény sajátos alakját, e jelölés helyett egy konkrét egyenletet kapunk, például ha a függvényt az egyenlet ebbe az általános alakjába a fentebb tárgyalt konkrét példának megfelelően behelyettesítjük, azaz megkapjuk a az adott példának megfelelő egyenlet sajátos formája, mivel itt és a második és a magasabb (ellipszissel jelölt) rend deriváltjai - egyszerűen nem - mindegyik egyenlő nullával). $L(f,f') = f^3 + f'^2,\$ ${\frac {\partial L}{\partial f))=3f^{2},{\frac {\partial L}{\partial f'))=2f',$

Egy ilyen differenciálegyenlet megoldása, amint azt fentebb már említettük, elvileg egy explicit formát ad , amely azonban túlmutat a variációszámítás keretein, amely egy differenciálegyenlet megszerzésére korlátozódik, és esetleg további feltételekre, amelyek korlátozzák. a megvalósítható megoldások osztálya (a határtag elemzése kapcsán) . $f(x)$

Általános függvények használata

Ez a rész az általánosított függvények olyan speciális, de gyakorlatilag fontos esetét tárgyalja a variációs problémák megoldásában, mint a Dirac delta függvény használata .

A -függvény használata (ne keverje össze a jelölését a variációs szimbólummal!), valamint az általánosított függvények használata általában lehetővé teszi az integrál funkcionálisok formájában írható funkcionálisok osztályának jelentős bővítését, és amelyekre ezért a (fentebb leírt) alapvető variációs módszerek alkalmazhatók. ). Ugyanakkor az ebben a formában írt funkcionálisok között olyan gyakorlatilag fontos funkcionálisok is szerepelnek, mint a határfunkcionálok , ami nagyban megkönnyíti a velük való munkát és szisztematikussá teszi. $\delta$ $\delta(x)$

Ennek a szakasznak az áttekinthetősége érdekében félkövérrel emeljük ki a delta függvényt: - hogy megkülönböztessük a variációs szimbólumtól. $\boldsymbol\delta$

Nézzünk egy egyszerű példát. Legyen szükséges olyan függvényt találni, amely minimalizálja a funkcionálist , ráadásul a feltételeket is szabják rá . $f(x)$ $W[f]=\frac{1}{2}\int\limits_0^1(f'(x))^2\,dx$ $f(0)=10,\;f(1)=20$

A probléma megoldásának kényelmesebbé tétele érdekében célszerű a kiszabott feltételeket az űrlapba írni (jelen esetben ezek funkcionálisak). Nem korlátozva erre, a delta függvény fő tulajdonságát felhasználva integrál formában is írhatunk: $\Gamma_0[f]=10,\;\Gamma_1[f]=20$ $\Gamma_0[f]=f(0),\;\Gamma_1[f]=f(1)$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$

\Gamma_0[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-0)f(x)\,dx,

\Gamma_1[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-1)f(x)\,dx.

Most már lehetőség van (az integrációs tartományt a definíciójában legalább egy végtelenül kicsi értékkel a intervallumon túlra bővítve ) szabadon összeadni és kivonni [7] a funkcionálisokat , ami lehetővé teszi az eredeti probléma megoldásának formális egyszerű csökkentését. a függvény feltételes szélsőértékének problémájára (lásd alább ), amely egy új , állandó faktorú funkcionális extrémumának megtalálására redukálódik , amelynek fajlagos értékeit a minimum megtalálásának feladatának megoldása után kell kiválasztani. a megfelelő algebrai egyenletek megoldásával. Így a peremfeltételek teljesülnek. És ami a legfontosabb, a funkcionálisnak ebben az esetben teljesen átlátszó integrált formája lesz, amely kényelmes a variációhoz. $W$ $[0;1]$ $W,\;\Gamma_0,\;\Gamma_1$ $V=W-\lambda_0\Gamma_0-\lambda_1\Gamma_1$ $\lambda_0,\;\lambda_1$ $V$ $V$

Egy hasonló technika akkor kényelmes, ha a kívánt függvényre nem peremfeltételeket szabunk, hanem feltételeket egy bizonyos egyenlet minden pontban való teljesítéséhez . $x$

Feltételes szélsőségek

A rövidség kedvéért ebben a részben a feltételes szélsőségekről fogunk beszélni, de az itt leírtak ugyanúgy alkalmazhatók általában a stacionárius pontok megtalálására.

A feltételes szélsőség egy olyan szélsőség, amely nem a függvény (funkcionális) meghatározásának teljes tartományára vonatkozik, hanem annak egy bizonyos részhalmazára, amelyet egy speciálisan meghatározott feltétel (vagy feltételek) különböztet meg. Általában a definíciós tartomány egy alacsonyabb dimenziójú részhalmazának e feltétellel (feltételekkel) való allokációjáról beszélünk, amely véges dimenziós tartományok esetében bizonyos vizuális jelentéssel bír, de végtelen dimenziós tartományok esetében (amelyek általában a funkcionális definíciós tartományokban), a kiszabott feltételeket csak absztrakt módon kell figyelembe venni (ami elméletileg nem akadályozza a véges dimenziós esettel való hasznos analógiát).

Legyen szükség a funkcionális szélsőértékének megtalálására valamilyen kiszabott feltétel mellett. $\Phi[f]$

Jegyzetek és példák

Szokás szerint az a triviális eset, amikor a kiszabott feltétel valaminek valamiben kifejezett kifejeződésére redukálódik (például ha ismert, hogy ), nincs értelme külön foglalkozni vele, mert ez egyszerűen átíráshoz vezet. a funkcionálisnak új formában (vagy akár a funkcionálisnak véges számú változó függvényévé való redukálása). $f=\mathrm{const}\cdot\sin(x)+\mathrm{const}'\cdot\cos(x)$

Figyelembe kell venni azt az esetet, amikor más (egy vagy több) funkcionális nullával (általában konstanssal) való egyenlőség formájában írjuk elő, vagy egy egyenletet írunk elő a kívánt függvényre, amelyet teljesítenie kell.

Az első probléma tipikus esete egy feltétellel egy izoperimetriás probléma (például Dido probléma ). A második típusú feltételre példa lehet a folytonossági egyenlet (stacionárius problémák esetén - annak stacionárius változata ) betartásának követelménye bizonyos fizikai problémákban . $\mathrm{div}\vec v=0$

A feltételes extrémum probléma fő típusai, amelyeket érdemes megvizsgálni, a következők:

Meg kell találni a funkcionális szélsőértékét azzal a feltétellel, hogy a másik függvény nullával egyenlő ; (az a tény, hogy a jobb oldal nulla, nem sérti az általánosságot). $U[f]\$ $V[f]=0\$
A feltétel alatt meg kell találni a funkcionális szélsőértékét . $U[f]\$ $V_1[f]=0,\;V_2[f]=0,\;\lpontok,\;V_N[f]=0$
Meg kell találni a funkcionális extrémumát a teljesülés feltétele mellett az egyenlethez , ahol a vonás valamilyen függvénye és/vagy származékai . $U[f]\$ $f\$ $v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)})=0$ $v\$ $f\$ $f\$

(A harmadik típusú feltételt itt nem a legáltalánosabb formában írjuk le, de ez a mi célunkhoz elegendő.)

Az első két esetre szinte közvetlenül (a most elfogadott szigorúság szintjén nincs értelme határt húzni a véges dimenziós argumentum függvényeinek esete és a funkcionálisok között) a határozatlan szorzók Lagrange-módszerét alkalmazzuk. . Ugyanis a feltételes szélsőség megtalálásához megfelelő feltételek mellett meg kell oldani egy variációs problémát az első és a második esetben a funkcionálisra, majd kiválasztani ( az első esetben az egyenlet és az N egyenlet parciális deriváltokkal történő megoldásával). mindegyikre a másodikban) azokat , amelyek minimumot valósítanak meg az f talált függvénycsaládban , amelyekre ezek a paraméterek. Vagyis a variációszámítást illetően a kulcsfontosságú pont az, hogy megkeressük és nullával egyenlővé tegyük néhány új funkcionális variációt (vagy variációs deriváltot) erre a két esetre: $U[f]\$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda V[f]$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda_1 V_1[f] - \lambda_2 V_2[f] - \pontok - \lambda_N V_N[f]$ $d \ hat U/ d \ lambda = 0$ $\lambda _{i}$ $\lambda$ $\lambda$ $\kalap U[f]$

$\delta \hat U = \delta (U - \lambda V) = 0,$
$\delta \hat U = \delta (U - \lambda_1 V_1- \lambda_2 V_2 - \dots - \lambda_N V_N) = \delta (U - \sum_i\lambda_i V_i) = 0,$

Itt a harmadik esetet tekintjük az integrálfunkcionálisnak . Ezután a feltételes szélsőség megtalálása először a funkcionális változtatására redukálódik $U[f] = \int\limits_\Omega \dots d\Omega$

\hat U[f] = U[f] - \int\limits_\Omega \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n) )})d\Omega

\int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)}) \bigg) d\Omega

ahol az integrációs tartományhoz tartozó változó (egydimenziós vagy n - dimenziós), és valamilyen határozatlan x függvény , amely a variációs derivált kiszámítása és nullával való egyenlővé tétele után bekerül a kapott egyenletbe. $x$ $\Omega$ $\lambda(x)$

Egy ilyen megoldás igazolása a 3. esetre az lehet, hogy az egyenlőség teljesüléséből származó egyes pontokat a Dirac-delta függvény segítségével nullával egyenlővé tesszük . Továbbá az itt vizsgált informális szinten nyilvánvalónak tekinthető, hogy a probléma a 2. lehetőséghez hasonlóvá vált, és az összesítést követően a megoldása a fent leírtakra redukálódik. $x_{0}$ $\Omega$ $v(f(x_0), f'(x_0), \dots, f^{(n)}(x_0)) = 0$ $x_{0}$ $V_{x_0} = \int\limits_\Omega \delta(x-x_0) \lambda(x_0) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n) )})d\Omega$ $x_{0}$

Így a harmadik típus feltételes szélsőértékének megtalálásának kulcspontja a variációszámítás szempontjából a következőre redukálódik:

\delta \hat U = \delta \int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{ (n)})\bigg)d\Omega = 0.

A többdimenziós x deriváltjain például különböző rendű parciális származékokat érthetünk , beleértve a vegyeseket is.

Az Euler-Lagrange egyenlet

A nagy gyakorlati jelentőségű variációszámítás egyik fő klasszikus eredménye az Euler-Lagrange-egyenletek – olyan differenciálegyenletek, amelyeket egy olyan függvénynek kell kielégítenie, amely stacionárius az osztályában meglehetősen általános és nagyon fontos formája esetén. egy integrálfüggvénynek (és ennélfogva annak a függvénynek, amelyen az ilyen funkcionális lokális szélsőértéket ér el, szintén teljesítenie kell ezeket az egyenleteket).

Az Euler-Lagrange egyenletek megszerzéséhez kellően standard a szokásos módszer a variációs derivált megtalálásával és nullával való egyenlővé tételével, vagy az azzal gyakorlatilag egybeeső variáció standard jelöléssel történő kiírása, ahogy fentebb leírtuk.

Itt a példák típusainak bővítése érdekében megadjuk az Euler-Lagrange egyenletek származtatását a függvény irányderiváltja segítségével.

Levezetés irányderivált segítségével. Privát példa

Valós változó vagy véges dimenziós vektorargumentum sima függvényeihez egy adott függvény maximumát és minimumát úgy találhatjuk meg, hogy megkeressük azokat a pontokat, ahol a derivált eltűnik (legalábbis ez szükséges szélsőséges feltétel). Hasonlóképpen a variációszámítás sima feladatainak megoldása is elérhető a megfelelő Euler-Lagrange egyenlet megoldásával.

Ennek a folyamatnak a szemléltetésére először nézzük meg a két pontot és a pontot összekötő síkban a legrövidebb görbe megtalálásának sajátos problémáját . A görbe hosszát a $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx,

ahol

f'(x)=\frac{df}{dx},

és hol , és . A függvénynek legalább egy deriválttal kell rendelkeznie. Ha egy lokális minimum és egy megfelelő függvény, amely eltűnik a határpontokban , és rendelkezik legalább az első deriválttal, akkor azt kapjuk, $y=f(x)$ $f(x_1)=y_1$ $f(x_2)=y_2$ $f$ $f_0$ $f_1$ $x_1$ $x_{2}$

A[f_0]\leqslant A[f_0+\varepsilon f_1]

Ezért a függvény deriváltjának ( amely nem nulla tényezőnek felel meg az első variációnak , az irányderiválton keresztül számítva) minden függvénynél el kell tűnnie . Ily módon $\varepsilon$ $A[f_0+\varepsilon f_1]$ $\varepsilon$ $A$ $\varepsilon=0$ $f_1$

\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\,dx=0

bármilyen funkcióválasztáshoz . Ha feltételezzük, hogy van egy második folytonos deriváltja, akkor használhatjuk a részenkénti integrációt : $f_1$ $f_0$

\int\limits_a^bu(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, dx.

Csere után

u(x)=\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2)),\quad v'(x)=f_1'(x),

kiderül

u(x)v(x)\bigg|_{x_1}^{x_2}-\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0 '(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]\,dx=0,

de az első kifejezés eltűnik, mert úgy választották, hogy eltűnjön a és . Következésképpen, $v(x)=f_1(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2 }}\right]\,dx=0

bármely kétszer differenciálható függvényre , amely eltűnik az intervallum végén. Ez egy speciális esete a variációszámítás fő lemmájának: $f_1$

I=\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)H(x)\,dx=0

minden differenciálható függvényre , amely eltűnik az intervallum végén. Mivel az integrációs intervallumban tetszőleges függvény található, arra a következtetésre juthatunk, hogy . Akkor, $f_1(x)$ $f_1(x)$ $H(x)=0$

\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]=0.

Ebből az egyenletből az következik

\frac{d^2f_0}{dx^2}=0.

Így a feladatunkban az extrémum az egyenesek szakaszai.

Könnyen belátható, hogy ez a módszer gyakorlatilag egybeesik a szokásos (szabványos jelöléssel) módszerrel, ha helyette . $\varepsilon f_1$ $\delta f\$

Levezetés irányderivált segítségével. Egy általánosabb eset

Hasonló számításokat végezhetünk általános esetben [8] , amikor

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2} L(x,\;f,\;f')\,dx

és két folytonos deriváltnak kell lennie. Az érvelést megismételve megkeressük az extremálist , elfogadjuk , megkeressük a származékát , majd behelyettesítjük : $f$ $f_0$ $f=f_0+\varepszilon f_1$ $\varepsilon$ $\varepsilon=0$

\left.{\frac {dA}{d\varepsilon }}\right|_{{\varepsilon =0}}=\int \limits _{{x_{1}}}^{{x_{2}}} \left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_({\varepsilon =0}}\,dx=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1+\frac{\partial L}{\partial f'}f'_1\right)\,dx =\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial L}{\partial f}f_1-f_1\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f' }\right)\,dx+\left.\frac{\partial L}{\partial f'}f_1\right|_{x_1}^{x_2}=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}f_1\left(\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right)\,dx=0.

Végül a variációszámítás fő lemmája alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a függvénynek teljesítenie kell az Euler-Lagrange egyenletet. $L$

-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}+\frac{\partial L}{\partial f}=0.

Általános esetben ez az egyenlet egy másodrendű közönséges differenciálegyenlet , amelynek megoldásával meg lehet találni a szélsőértéket . $f$

Az Euler-Lagrange egyenlet szükséges , de nem elégséges feltétele a szélsőség létezésének. A további feltételek külön kerülnek megfogalmazásra.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Rybnikov, 1949 , p. 356-378.
↑ Rybnikov, 1949 , p. 377-378.
↑ A funkcionalitás második változata. Elegendő állapot a funkcionális minimumhoz. . Letöltve: 2011. február 25. Az eredetiből archiválva : 2010. április 4.. (határozatlan)
↑ Formálisan több argumentum funkcionalitását is le lehet redukálni egy dimenziós térbeli értékkészlettel rendelkező függvény használatával : , ettől az új függvénytől függően funkcionálisra , de pusztán technikailag gyakran kényelmesebb a használata az eredeti változat változtatás nélkül, hiszen konkrét számításoknál minden a végsőkig komponensenkénti számításig fajul, amikor is mindegyik valós értékű (extrém esetben komplex értékű) függvény. $\Phi_n[f_1,\;f_2,\;\ldots,\;f_n]$ $n$ $f(x):=(f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x))$ $\Phi_1[f]$ $f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x)$
↑ Itt mindenekelőtt az a kellemetlenség, hogy a származékok megnehezítik, hogy mindent zárójelből kivehessünk, ami a formához vezet , ami azt jelenti, hogy meg kell találni a variációs deriváltot (ami minden, ami zárójelben van, és ellipszis jelzi). De még akkor is, ha a függvény olyan, hogy a derivált könnyen kivehető a zárójelekből, vagyis a variáció ábrázolható -ként , akkor is meg kell szüntetni a differenciálást. Erre azon megfontolások alapján van szükség, hogy definíció szerint (és jelentésben) variációs deriválttal csak , és hogy kiderül, hogy már nem „bármilyen” függvény , az integrál alatt kell lennie . Ellenkező esetben egy szélsőség keresésekor előfordulhat, hogy egy fel nem számolt irány van, amely mentén . Ami már nem funkció, az könnyen belátható, ha peremfeltételeket szabunk meg. A cikkben leírtak szerint ez a nehézség könnyen megoldható. $\delta f$ $\delta\Phi$ $\int(\ldots)\delta f(x)\,dx$ $\int(\ldots)\delta\frac{df(x)}{dx}\,dx$ $\delta f$ $\delta f$ $df/dx$ $x$ $\delta \Phi \neq 0$ $df/dx$
↑ 1 2 A delta függvény használatával azonnal szigorúbb eredményt kaphatunk, figyelembe véve a határtagot, de itt a bemutatás egyszerűsítése érdekében ezzel a megközelítéssel fogunk gazdálkodni.
↑ Természetesen a függvények összeadása és kivonása elvileg a jelölési formájuktól függetlenül definiálva van, azonban ugyanazon forma használata teljesen automatikussá, átláthatóvá és technikailag kényelmessé redukálja, mivel most már minden csak az integrálok hozzáadását jelenti. ugyanaz a terület, ami azt jelenti, hogy – az integrandusok hozzáadását.
↑ Itt explicit módon elemezzük azt az esetet, amikor a Lagrange-függvénynek csak egy függvénye és egyik első deriváltja van argumentumként (ez az eset a legfontosabb a gyakorlatban) , és az integrációt egy valós változón keresztül hajtjuk végre. A tétel és a bizonyítás azonban meglehetősen könnyen és közvetlenül általánosítható tetszőleges véges számú argumentumra, a deriváltak tetszőleges véges sorrendjére, valamint egy véges dimenziós tartomány feletti integrációval rendelkező formulációra. $L$ $f$

Irodalom

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Optimális szabályozás. - M.: Nauka, 1979
Afanasiev VN, Kolmanovsky VB, Nosov VR Vezérlőrendszerek tervezésének matematikai elmélete. - M . : Felsőiskola , 2003. - 614 p. — ISBN 5-06-004162-X .
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometria: Módszerek és alkalmazások. - M.: Nauka, 1979
Seifert G., Trellfall V. Variációk számítása általában 2. kiadás, - M .: RHD, 2000
Krasnov M. L., Makarenko G. I., Kiselev A. I. Variációk, problémák és gyakorlatok számítása. - M.: Nauka, 1973
Petrov Yu. P. A variációszámítás történetéből és az optimális folyamatok elméletéből // Történeti és matematikai kutatás . - M . : Nauka , 1990. - 32/33 . - S. 53-73 .
Rybnikov K. A. A variációszámítás fejlesztésének első szakaszai // Történeti és matematikai kutatás . - M. - L .: GITTL, 1949. - 2. sz . - S. 355-498 .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Fizikai előadások. 6. kötet: Elektrodinamika. Fordítás angolból (3. kötet). — Szerkesztői URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . — 19. fejezet: A legkisebb cselekvés elve. (Nagyon egyszerű, informális és vizuális bevezető a variálás technikájába a legkisebb cselekvés elvét példálózva; idősebb diákoknak, esetleg kisdiákoknak ajánlott).
Nyikolaj Filonov. Variációs számítás . Lectorium (18.02.15). (határozatlan)
Fomenko AT Variációs módszerek a topológiában. — M.: Nauka, 1982
Elsgol'ts LE differenciálegyenletek és a variációszámítás. — M.: Nauka, 1969.
Polak L.S. A mechanika variációs elvei. - M .: Fizmatlit , 1959-932 p.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy katalán Nagy norvég Nagy orosz Brockhaus és Efron a világ körül Kis Brockhaus és Efron Britannica (online) Universalis
Bibliográfiai katalógusokban	J9U : 987007293785905171 LCCN : sh85018809 NDL : 00563089 NKC : ph126994

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák