Gateaux származék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. április 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Gateaux derivált kiterjeszti a derivált fogalmát lokálisan konvex topológiai vektorterekre . A neveket René Eugène Gâteaux francia matematikus ( fr. René Eugène Gâteaux ) tiszteletére adták.

Definíció

Legyen és legyen normált terek egy mező felett, és legyen egy leképezés, amely től- ig ható $x$ $Y$ $\mathbb {R} ,$ $F$ $x$ $Y.$

Ha van néhánynak és néhánynak határa (a konvergenciát a térnorma alatt értjük ) $x\X-ben$ $h\in X$ $Y$

$dF(x,\;h)=\left.{d \over dt}F(x+t\cdot h)\right\vert _{t=0}=\lim _{t\to 0} {F(x+t\cdot h)-F(x)\over t},$

akkor a pont szerinti leképezés Gateaux-differenciáljának (vagy gyenge differenciáljának ) nevezzük (növekmény ). $F$ $x$ $h$

A leképezést a leképezés első változatának is nevezik egy ponton (növekmény ). $dF(x,\;h)$ $F$ $x$ $h$

A Gateaux-differenciál homogenitási tulajdonsággal rendelkezik : ha definiálva van , akkor bármelyik esetén definiálva lesz $dF(x,\;h)$ $k\in \mathbb {R}$ $dF(x,\;k\cdot h)=k\cdot dF(x,\;h).$

A gyenge differenciálnak nem kell lineárisnak lennie $h.$

Ha fennáll a linearitás, akkor

$dF(x,\;h)=F\;'(x)\ h,$

ahol egy korlátos lineáris operátor, akkor a pont szerinti leképezés gyenge deriváltjának (vagy Gateaux deriváltjának ) nevezzük $F\;'(x)$ $F\;'(x)$ $F$ $x.$

Lásd még

Irodalom

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimális vezérlés – Bármilyen kiadás.