Izoperimetriás probléma

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 14-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Az izoperimetrikus egyenlőtlenség egy geometriai egyenlőtlenség , amely egy síkon lévő zárt görbe kerületét és a sík e görbe által határolt szakaszának területét viszonyítja. A kifejezést ezen egyenlőtlenség különféle általánosításaira is használják.

Az izoperimetrikus szó szerint azt jelenti, hogy "azonos kerülettel rendelkezik ". Konkrétan az izoperimetrikus egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy egy zárt görbe L hosszát és a görbe által határolt sík terület A területét figyelembe véve,

4\pi A\leqslant L^{2},

és ez az egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha a görbe egy kör.

Az izoperimetriás feladat célja a lehető legnagyobb terület alakjának megtalálása , amelynek határa adott hosszúságú [1] .

Az izoperimetriás problémát sokféleképpen általánosították az ábrák, halmazok és sokaságok jellemzői közötti más egyenlőtlenségekre. Az izoperimetriai probléma magában foglalja a fizikai eredetű mennyiségek (tehetetlenségi nyomatékok, rugalmas nyaláb torziós merevsége, membrán alapfrekvenciája, elektrosztatikus kapacitás stb.) geometriai jellemzőkön keresztüli becslését is. Például vannak általánosítások a felületek görbéire és a magasabb dimenziós terek tartományaira.

A 3D izoperimetriás egyenlőtlenség talán legismertebb fizikai megnyilvánulása a vízcsepp alakja. A csepp ugyanis általában kerek formát ölt. Mivel a cseppben lévő víz mennyisége rögzített, a felületi feszültség hatására a csepp olyan alakot vesz fel, amely minimálisra csökkenti a csepp felületét, és a minimális felület egy gömb.

Történelem

A tartalmilag közel álló Dido feladatban meg kell találni egy maximális területű tartományt, amelyet egy egyenes és egy görbe ív határol, amelyek végei ezen az egyenesen vannak. A feladat a föníciai Tírusz városának királyának nővére, Dido Karthágó alapításáról szóló ősi legendához kapcsolódik .

Az izoperimetriás probléma megoldása egy kör , és ezt már az ókori Görögországban is ismerték . „Az izoperimetrikus alakokról ” című értekezésében ( ógörögül Περὶ ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ) Zenodorus ( Kr. e. II. század ) megoldja az izoperimetriás problémát a térben, és részleges eredményeket kap a térben. A tér izoperimetriás egyenlőtlenségének első matematikailag szigorú bizonyítékát Hermann Schwartz szerezte meg 1884-ben . Azóta sokkal több bizonyíték látott napvilágot.

Izoperimetriás probléma a síkon

A klasszikus izoperimetriás probléma az ókorba nyúlik vissza. A probléma a következőképpen fogalmazható meg: Egy adott kerületű síkban lévő összes zárt görbe közül melyik görbe (ha van) maximalizálja az általa határolt terület területét? Ez a kérdés a következő problémával ekvivalensnek tekinthető: A síkban lévő összes zárt görbe közül, amely egy adott terület tartományát határolja, melyik minimalizálja (ha van ilyen) a kerületet?

A probléma fogalmilag a fizikában a legkisebb cselekvés elvéhez kapcsolódik, és ennek az elvnek megfelelően újrafogalmazható: milyen cselekvések foglalnak magukban egy nagy területet, maximális támogatási gazdaságossággal? A 15. századi filozófus és tudós, Cusa Miklós bíboros a forgásról , a körök keletkezésének folyamatáról beszélt , mint az univerzum létrejöttének folyamatának legközvetlenebb tükröződéseként. Johannes Kepler német csillagász és asztrológus az izoperimetriás elvet használta, amikor a Naprendszer felépítését tárgyalta A világegyetem titka (1596) című művében.

Bár a kör kézenfekvő megoldás a problémára, ennek bizonyítása nem egyszerű feladat. A bizonyítás útján az első előrelépést Jakob Steiner svájci geométer tette meg 1838-ban egy geometriai módszerrel, amelyet később Steiner szimmetrizációnak neveztek [2] . Steiner megmutatta, hogy ha létezik megoldás, akkor annak egy körnek kell lennie. Steiner bizonyítását később néhány más matematikus is kiegészítette.

Steiner néhány könnyen érthető geometriai szerkezettel kezdi. Például kimutatható, hogy bármely zárt görbe, amely egy nem teljesen konvex tartományt vesz körül , módosítható nagyobb területre úgy, hogy a homorú részeket "visszaverjük", hogy konvexek legyenek. Ekkor kimutatható, hogy minden zárt görbe, amely nem tökéletesen szimmetrikus, úgy "dönthető", hogy nagyobb területet zár be. Az egyetlen teljesen konvex és szimmetrikus ábra a kör, bár ez az érvelés nem nyújt szigorú bizonyítékot (lásd a külső hivatkozásokat).

Izoperimetrikus egyenlőtlenség

Egy izoperimetriás probléma megoldását általában egy zárt görbe L hosszához és a görbe által határolt sík A területéhez viszonyított egyenlőtlenségben fejezzük ki . Az izoperimetrikus egyenlőtlenség azt mondja ki

4\pi A\leqslant L^{2},

és hogy ez az egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha a görbe egy kör. Valójában egy R sugarú kör területe π R 2 , kerülete pedig 2π R , így az egyenlőtlenség mindkét oldala 4π 2 R 2 lesz .

Az izoperimetrikus egyenlőtlenségre tucatnyi bizonyítékot találhatunk. 1902-ben Hurwitz közzétett egy rövid bizonyítékotFourier -sort használva , amely tetszőleges egyenirányítható (nem feltétlenül sima) görbékre alkalmazható. E. Schmidt 1938-ban egy sima, egyszerű zárt görbe és egy megfelelő kör összehasonlításán alapuló elegáns közvetlen bizonyítást adott. . A bizonyítás csak a görbehossz - képletet, a Green-tételből származó sík terület képletet és a Cauchy-Bunyakovsky-egyenlőtlenséget használja .

Egy adott zárt görbe esetében az izoperimetrikus együtthatót egy ábra területének és egy azonos kerületű kör területének arányaként határozzuk meg. Azaz

Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}},

és az izoperimetrikus egyenlőtlenség azt mondja, hogy Q ⩽ 1.

Egy szabályos n - gon izoperimetrikus együtthatója az

Q_{n}={\frac {\pi }{n\operátornév {tg} {\frac {\pi }{n)))).

Izoperimetrikus egyenlőtlenség a gömbön

Legyen C egy egyszerű zárt görbe egy 1 sugarú gömbön . Jelölje L a C görbe hosszát, A- val pedig a C görbe által határolt terület területét . A szférikus izoperimetrikus egyenlőtlenség azt mondja ki

L^{2}\geqslant A(4\pi -A),

és ez az egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha a görbe egy kör. Valójában kétféleképpen lehet megmérni a gömb alakú régió területét, de az egyenlőtlenség szimmetrikus a komplementválasztás szempontjából.

Ezt az egyenlőtlenséget Paul Levy (1919) fedezte fel , aki magasabb dimenziókra és általánosabb felületekre általánosította. .

Egy tetszőleges R sugár esetén ismert [3] , hogy

L^{2}\geqslant 4\pi AA^{2}/R^{2}.

Izoperimetrikus egyenlőtlenség nagyobb dimenziójú terekben

Az izoperimetrikus tételt a háromdimenziós euklideszi tér felületeire általánosítják . Az összes, adott felületű egyszerű zárt felület közül a gömb tartalmazza a maximális térfogatú tartományt . Hasonló állítások érvényesek bármilyen dimenziójú euklideszi terekben.

A [4] általános alakban az izoperimetrikus egyenlőtlenség azt mondja ki, hogy bármely S ⊂ R n halmazra, amelynek lezárása véges Lebesgue-mértékkel rendelkezik ,

n\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S)))^{(n-1)/n}\leqslant M_{*}^{n- 1}(\partialS),

ahol M * n −1 az ( n − 1)-dimenziós Minkowski-kapacitás , L n az n - dimenziós Lebesgue-mérték, és ω n az egységgömb térfogata R n -ben . Ha az S határ egyenirányítható , akkor a Minkowski-kapacitás egyenlő az ( n − 1)-dimenziós Hausdorff-mértékkel .

Az n dimenzió izoperimetrikus egyenlőtlensége gyorsan bebizonyítható a Brunn-Minkowski egyenlőtlenséggel [3] [4] .

Az izoperimetrikus egyenlőtlenség az n - dimenziós térben egyenértékű (kellően sima tartományok esetén) az R n - beli Szobolev-egyenlőtlenséggel optimális állandóval:

\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{\frac {n}{n-1}}\right)^{\frac {n-1}{n }}\leqslant n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|

minden u ∈ W 1,1 ( R n ).

Izoperimetrikus egyenlőtlenség mértékterekben

Az izoperimetriai problémával kapcsolatos legtöbb munka az euklideszi terek sima tartományaival vagy általánosabb Riemann-sokaságokkal összefüggésben történik . Az izoperimetriás probléma azonban alapvetően általánosítható a Minkowski-kapacitás fogalmával . Legyen metrikus tér mértékkel : X egy metrikus tér d metrikával és μ Borel-mértékkel X -en . Az X mérhető A részhalmazának határmértéke vagy Minkowski - kapacitása lim infként van meghatározva : $(X,\,\mu ,\,d)$

\mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon )),

ahol

{\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X\mid d(x,A)\leqslant \varepsilon \))

az A halmaz ε-kiterjesztése .

Az X -ben szereplő izoperimetriás probléma azt kérdezi, hogy adott μ( A ) mennyiségre milyen kicsi lehet . Ha X egy euklideszi sík a szokásos távolsággal és Lebesgue-mértékkel , akkor ez a kérdés általánosítja a klasszikus izoperimetriai problémát a sík azon tartományaira, amelyek határai nem feltétlenül simaak, bár a válasz ugyanaz. $\mu ^{+}(A)$

Funkció

{\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)\mid \mu (A)=a\))

metrikus mérhető tér izoperimetrikus profiljának nevezzük . Izoperimetrikus profilokat tanulmányoztak a Riemann-sokaságok diszkrét csoportjainak és speciális osztályainak Cayley -gráfjainak (ahol általában a közönséges határokkal rendelkező A tartományokat veszik figyelembe). $(X,\,\mu ,\,d)$

Izoperimetrikus egyenlőtlenség gráfokhoz

A gráfelméletben az izoperimetrikus egyenlőtlenségek állnak az erős konnektivitású bővítők , ritka gráfok vizsgálatának középpontjában . Az expanderek felépítése a tiszta és alkalmazott matematika kutatását eredményezte a számítási komplexitáselméletben , a robusztus számítógépes hálózatok tervezésében és a korrekciós kódok elméletében [5] .

A gráfok izoperimetrikus egyenlőtlenségei a csúcsok részhalmazainak méretét hozzák összefüggésbe ezen részhalmazok határainak méretével, ami általában a részhalmazt elhagyó élek számát vagy a szomszédos csúcsok számát jelenti. Egy gráfhoz és egy számhoz két szabványos gráf izoperimetriás paraméter létezik [6] . $G$ $k$

Edge izoperimetrikus paraméter:

\Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|E(S,{\overline {S)))|:|S|=k {\nagy \))).

Vertex izoperimetriás paraméter:

\Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}{\big \{}|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k{\big \ }}.

Itt jelöli a kilépő élek halmazát , és jelöli azon csúcsok halmazát, amelyeknek szomszédai a -ban vannak . Az izoperimetriás probléma annak megértése, hogy a paraméterek és hogyan viselkednek a gráfcsaládokban. $E(S,{\overline {S)))$ $S$ $\Gamma (S)$ $S$ $\Phi _{E}$ $\Phi _{V}$

Példa: Izoperimetrikus egyenlőtlenség hiperkockákhoz

$d$ A -dimenziós hiperkocka olyan gráf, amelynek csúcsai hosszúságú logikai vektorok , azaz egy halmaz . Két ilyen vektort éllel kötünk össze, ha egyetlen pozícióban különböznek, vagyis a Hamming-távolság közöttük pontosan egy. ${\displaystyle Q_{d))$ $d$ ${\displaystyle \{0,1\}^{d))$ ${\displaystyle Q_{d))$

Az alábbiakban két izoperimetrikus egyenlőtlenséget mutatunk be a Boole-féle hiperkockára [7] .

Izoperimetrikus egyenlőtlenség élekhez

A hiperkocka éleinek izoperimetrikus egyenlőtlensége a következő: . $\Phi _{E}(Q_{d},k)\geqslant k(d-\log _{2}k)$

Izoperimetrikus egyenlőtlenség csúcsokhoz

Harper tétele [8] kimondja, hogy a Hamming-golyóknak van a legkisebb csúcshatáruk az összes adott méretű halmaz között. A Hamming labdák olyan halmazok, amelyek minden olyan pontot tartalmaznak, amelynek Hamming súlya nem haladja meg valamelyik egész számot . A tételből az következik, hogy bármely halmaz kielégíti a [9] $r$ $r$ $S\subseteq V$ $|S|\geqslant \sum _{i=0}^{r}{\binom {n}{i))$ $|S\cup \Gamma (S)|\geqslant \sum _{i=0}^{r+1}{\binom {n}{i)).$

Abban a speciális esetben, amikor a halmaz mérete valamilyen egész szám alakja , a fentiekből következik, hogy a csúcspont izoperimetriás paramétere pontosan [5] . $k=|S|$ $k={\binom {d}{0}}+{\binom {d}{1}}+\pontok +{\binom {d}{r}}$ $r$ $\Phi _{V}(Q_{d},k)={\binom {d}{r+1}}$

Izoperimetrikus egyenlőtlenség háromszögekre

A háromszögek p kerülete és T területe szerinti izoperimetrikus egyenlőtlensége azt mondja, hogy [10]

p^{2}\geqslant 12{\sqrt {3}}\cdot T,

egyenlőséggel szabályos háromszög esetén .

Jegyzetek

↑ Blåsjö, 2005 , p. 526-566.
↑ Steiner, 1838 , p. 281-296.
↑ Osserman 12. , 1978 .
↑ 1 2 Federer, 1987 .
↑ 1 2 Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ A 4.2 és 4.3 definíciók: Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Lásd Bollobás, 1986 és 4. szakasz: Hoory, Linial, Widgerson, 2006 .
↑ Lásd Calabro, 2004 vagy Bollobás, 1986 .
↑ Vezető, 1991 .
↑ Chakerian, 1979 .

Irodalom

Viktor Blasjö. The Evolution of the Izoperimetriás Probléma (angol) // Amer. Math. Havi. - 2005. - 20. évf. 112 .
Blaschke , Leichtweiss. Elementare Differentialgeometrie (német) . - 5., teljesen átdolgozta K. Leichtweiß. - New York Heidelberg Berlin: Springer-Verlag , 1973. - Bd. 1. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 0-387-05889-3 .
Blaschke . Kör és labda . - M . : Tudomány. – 1967.
Bollobas Béla. Kombinatorika: halmazrendszerek, hipergráfok, vektorcsaládok és kombinatorikus valószínűség . - Cambridge University Press, 1986. - ISBN 978-0-521-33703-8 .
Burago. Matematikai enciklopédia / Michiel Hazewinkel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Chris Calabro. Harper tétele . – 2004.
Luca Capogna, Donatella Danielli, Scott Pauls, Jeremy Tyson. Bevezetés a Heisenberg-csoportba és a Sub-Riemanni izoperimetriai problémába . - Birkhäuser Verlag , 2007. - ISBN 3-7643-8132-9 .
GD Chakerian. Matematikai szilva (angol) / R. Honsberger. – Washington, DC: Amerikai Matematikai Szövetség, 1979.
T. Bonnesen, W. Fenchel. Konvex testek elmélete. - 2002. - (Matematikus hallgatói könyvtár).
Protasov V. Yu. Maximák és minimumok a geometriában . — M. : MTsNMO. — 56 p. - ("Matematikai oktatás" könyvtár, 31. szám).
G. Federer. Geometriai mértékelmélet. - M .: Nauka, 1987.
M. Gromov . Paul Levyizoperimetrikus egyenlőtlensége . - Boston, Massachusetts: Birkhäuser Boston, Inc., 1999. - Vol. 152. - (Előrehaladás a matematikában).
J. Steiner. Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze (német) . - J. reine angew Math.. - 1838. Szintén összegyűjtött munkák, 2. kötet, Reimer, Berlin, (1882).
G. Hadwiger. Előadások térfogatról, felületről és izoperimetriáról. - M .: Nauka, 1966.
Shlomo Hoory, Nathan Linial, Avi Widgerson. Expander gráfok és alkalmazásaik // Bulletin (New series) of the American Mathematical Society . - 2006. - Vol. 43 , iss. 4 . - doi : 10.1090/S0273-0979-06-01126-8 .
Imre Vezető. Proceedings of Symposium in Applied Mathematics . - 1991. - 1. évf. 44. - P. 57-80.
Robert Osserman. Az izoperimetrikus egyenlőtlenség // Bull . amer. Math. Soc.. - 1978. - 1. évf. 84 , iss. 6 . - P. 1182-1238 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14553-4 .