Felületek differenciálgeometriája
A felületek differenciálgeometriája a differenciálgeometria történelmileg fontos területe .
A felületek differenciálgeometriája két fő alszakaszra oszlik: külső és belső geometriára. A felületek külső geometriájának vizsgálatának fő tárgya az euklideszi térbe ágyazott sima felületek , valamint ezek számos általánosítása. Az intrinzik geometriában a fő objektum absztrakt módon adott felületek különféle kiegészítő struktúrákkal, leggyakrabban az első alapformával (ugyanaz, mint a Riemann-metrika ).
Történelem
A forgásfelületek bizonyos tulajdonságait már Arkhimédész is ismerte . A számítások tizenhetedik századi fejlődése szisztematikusabb megközelítéseket biztosított ezek bizonyítására.
Az általános felületek görbületét Leonhard Euler tanulmányozta ; 1760-ban kapott egy kifejezést egy felület normál görbületére. [1] 1771-ben [2] a felületeket parametrikus formában adta meg, bevezette a felületek szuperpozíciójának fogalmát (a modern terminológiában izometrikus); különösen a síkra ráhelyezett felületeket tekintette. Így Euler volt az első, aki figyelembe vette a felület belső geometriáját.
Gaspard Monge aszimptotikus görbéket és görbületi vonalakat tekintett a felületeken.
A felületelmélethez a legfontosabb hozzájárulást Gauss tette két, 1825-ben és 1827-ben írt tanulmányában [3] . Különösen bebizonyította az úgynevezett Theorema Egregiumot - Gauss történelmileg fontos eredményét, amely szerint a Gauss-görbület belső invariáns, azaz invariáns a lokális izometriák alatt . A differenciálgeometria külön kutatási területre való szétválasztása gyakran pontosan ehhez a tételhez kapcsolódik. [4] Bevezette az első és második másodfokú forma fogalmát . Később Karl Mikhailovich Peterson egy teljes egyenletrendszert vezetett le a másodfokú felületformákra.
A felületek belső geometriájában a legfontosabb eredményeket Ferdinand Gotlibovich Minding érte el . Különösen a görbe mentén történő párhuzamos fordítás fogalmát vezette be, amelyet Tullio Levi-Civita műveiben fejlesztettek tovább .
A 19. század vége óta nagy figyelmet fordítanak az izometrikus bemerülés, a felületi hajlítás és a merevségi problémák problémájára. A legfontosabb eredményeket Alekszandr Danilovics Alekszandrov , David Gilbert , Dmitrij Fedorovics Egorov , Stefan Cohn-Vossen és mások érték el.
A felületek differenciálgeometriájában kidolgozott módszerek nagy szerepet játszottak a Riemann- és Alexander-geometriák kialakulásában .
Alapfogalmak
A sima beágyazott felület a felületek differenciálgeometriájának, pontosabban a felületek külső geometriájának fő vizsgálati tárgya . A következőképpen definiálható: Az euklideszi tér egy részhalmazát sima beágyazott felületnek (pontosabban sima, határ nélküli, szabályos beágyazott felületnek ) nevezzük, ha bármely pontban létezik olyan szomszédság , amely egy megfelelően kiválasztott sima függvény gráfja . Derékszögű koordinátarendszer .
Bármely euklideszi térbe ágyazott felületen megmérhető egy görbe hossza a felületen, a két görbe közötti szög és egy terület területe a felületen. Ezt a struktúrát az első alapforma , azaz egy 2×2 pozitív-definit mátrix adja, amely a felület lokális paraméterezésében pontról pontra simán változik. Lehetőség van elvonatkoztatni az eredeti melléklettől. Vagyis tekintsünk egy absztrakt felületet , amelyet lokális koordinátákkal adunk meg Riemann-metrikával. Ez a felületek úgynevezett belső geometriájához vezet, amelyet a Riemann-geometria továbbfejleszt .
A görbület központi szerepet játszik a felületek tanulmányozásában , beleértve a főgörbületeket , a Gauss- és az átlagos görbületeket , valamint a görbület tenzorleírásait, például az alakoperátort és a második alapformát .
Nagy figyelmet szentelnek a felületen lévő görbék más osztályaira , ideértve a geodetikumokat , az aszimptotikus görbéket és a görbületi vonalakat .
Az elmélet főbb eredményei a konvex , a nyeregfelületek , a forgásfelületek , az állandó átlagos görbületű felületek és különösen a minimális felületek tulajdonságaira vonatkoznak .
Építmények- A gömbi leképezés olyan leképezés, amelyben egy felületi pont egy egységnyi normálvektorra van leképezve abban a pontban.
- A Darboux triéder egy természetes referencia egy felületen lévő görbére, amelyet a geodéziai és a normál görbület meghatározásában használnak .
- Az Euler-képlet lehetővé teszi a felület normál görbületének kiszámítását.
- Meunier-tétel - egy felületen fekvő görbe görbületére ad kifejezést.
Alaptételek
- Gauss-lemmája a geodézisről – kimondja, hogy a felület egy pontjában lévő kellően kis kör középpontjából merőleges minden geodéziai görbére. Annak bizonyítására szolgál, hogy a geodéziai görbék helyileg legrövidebb görbék. Kulcsszerepet játszik a normál és félgeodéziai koordináták tulajdonságainak bizonyításában is
- A Peterson-Codazzi egyenletek helyi viszonyokat adnak meg a felület első és második másodfokú alakjában .
- Az uniformizálási tétel garantálja egy adott felület konform paraméterezését egy állandó Gauss-görbületű felülettel.
- A Gauss-Bonnet képlet kifejezi a Gauss-görbület integrálját egy felületen.
- Alexandrov összehasonlító tétele – becsléseket ad egy geodéziai háromszög szögeire.
Nyitott kérdések
- Izometrikus beágyazási probléma. Nyitott kérdés marad, hogy bármely absztrakt módon adott felület megenged-e izometrikus beágyazást egy 3-as dimenziójú euklideszi térbe . Ez az úgynevezett " Weyl - egyenlet " [5] .
- Jakobovich [6] és Poznyak [7] eredménye pozitív választ ad a 4 dimenziós térbe történő beágyazásra.
- 1926-ban Maurice Janet bebizonyította és megoldotta az analitikai metrikák problémáját.
- Alekszandrov beágyazási tétele azt mondja, hogy a pozitív Gauss-görbületű gömb bármely kellően sima metrikája izometrikus a zárt konvex felülethez -ben . Hasonló eredményt kapott korábban Weil is az analitikai metrikákra.
- Carathéodory sejtése: A sejtés azt állítja, hogy egy zárt konvex háromszor differenciálható felület legalább két lekerekítési pontot enged meg . Az első munkája ezzel a sejtéssel Hans Hamburger munkája volt 1924-ben, aki megfigyelte, hogy a sejtés a következő szigorúbb állításból következik: Egy izolált köldök főgörbületi kötegének félegész indexe nem haladja meg az egyet.
- Wilmore hipotézise . Ez a sejtés azt állítja, hogy a beágyazott tórusz átlagos görbületének négyzetének integráljátalulról határolni kell. Ismeretes, hogy az integrál Möbius invariáns. A hipotézist 2012-ben Fernando Koda Marquez és Andrk Neves oldotta meg [9] .
Jegyzetek
- ↑ Euler, 1760 .
- ↑ Euler, 1771 .
- ↑ Gauss, 1902 .
- ↑ Toponogov, 2012 , p. 132.
- ↑ Han, Hong, 2006 .
- ↑ Jacobowitz, 1972 .
- ↑ Poznjak, 1973 .
- ↑ Pogorelov A. V. Konvex felületek hajlítása GITTL (1951)
- ↑ Marques, Neves, 2014 , p. 683–782.
Linkek
- DIFFERENCIÁLIS GEOMETRIA // Nagy Orosz Enciklopédia : [35 kötetben] / ch. szerk. Yu. S. Osipov . - M . : Nagy orosz enciklopédia, 2004-2017.
Irodalom
- S. E. Cohn-Vossen , D. Gilbert . vizuális geometria. - M . : NKTP Szovjetunió Egyesült Tudományos és Műszaki Kiadója, 1936. - 302 p.
- Do Karmo, M. Görbék és felületek differenciálgeometriája. - Moszkva, Izhevsk, 2013. - ISBN 978-5-4344-0150-0 .
- Pogorelov, A. I. Differenciálgeometria . — 6. kiadás. - M .: Nauka, 1974.
- Poznyak EG Kétdimenziós Riemann-metrikák izometrikus merítései euklideszi terekben. - 1973. - T. 28 , sz. 4 . – 47–77 . - doi : 10.1070/RM1973v028n04ABEH001591 .
- Rashevsky, P. K. A differenciálgeometria kurzusa . — 3. kiadás. — M. : GITTL, 1950.
- Toponogov, V. A. Görbék és felületek differenciálgeometriája. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .
- Recherches sur la courbure des surfaces // Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. - 1760. - T. 16 . – S. 119–143 . . Megjelenés dátuma - 1767
- Leonhard Euler . De solidis quorum superficiem in planum explicare licet // Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. - 1771. - T. 16 . – 3–34 . . Megjelenés dátuma - 1772
- Carl Friedrich Gauss . 1825. és 1827. évi görbe felületek általános vizsgálatai . - Princetoni Egyetemi Könyvtár, 1902.
- Qing Han, Jia-Xing Hong. Riemann-elosztók izometrikus beágyazása euklideszi terekben. - 2006. - ISBN 978-0-8218-4071-9 .
- Howard Jacobowitz. Felületek helyi izometrikus beágyazása euklideszi négy térbe // Indiana Univ. Math. J .. - 1972. - T. 21 , sz. 3 . – S. 249–254 . - doi : 10.1512/iumj.1971.21.21019 .
- Fernando Codá Marques, André Neves. A Min-Max elmélet és a Willmore-sejtés // Annals of Mathematics. - 2014. - T. 179 , sz. 2 . - doi : 10.4007/annals.2014.179.2.6 . - arXiv : 1202.6036 . — .