Geodéziai görbület

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A riemanni geometriában a görbe geodéziai görbülete azt méri, hogy egy görbe milyen messze tér el a geodetikustól . Például egy 3D térbe ágyazott 2D felületen lévő 1D görbe esetén a görbe görbülete a felületet érintő síkra vetítve. Általánosabban, egy adott sokaságban a geodéziai görbület a görbe szokásos görbülete (lásd alább). Ha azonban a görbe az elosztó egy részösszetevőjében van (például a felületi görbületnél ), akkor a geodéziai görbület a -ben lévő görbületre vonatkozik , és általános formában eltér a környezeti elosztó görbületétől . Egy görbe (környezeti) görbülete két tényezőtől függ: az alsokatórium irányú görbületétől ( normál görbület ), amely csak a görbe irányától függ, és a sokaság görbületétől (geodéziai görbület ), amely egy másodrendű mennyiség. A kapcsolat közöttük az . Különösen a geodetikus elemeknek nulla a geodéziai görbülete („egyenesek”), így . $k_{g}$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $\gamma$ $M$ ${\bar {M))$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ ${\bar {M))$ $k$ $\gamma$ $M$ $\gamma$ $k_n$ $\gamma$ $M$ $k_{g}$ ${\displaystyle k={\sqrt {k_{g}^{2}+k_{n}^{2))))$ $M$ ${\displaystyle k=k_{n))$

Definíció

Tekintsünk egy görbét egy csomóponton , amelyet a görbe hossza határozza meg egy egység érintővektorral . Görbülete megegyezik a vektor kovariáns deriváltjának normájával : . Ha -on fekszik , a geodéziai görbület megegyezik a kovariáns deriváltnak az alsokaság érintőterére vetítésének normájával. Éppen ellenkezőleg, a normál görbület megegyezik az alsokatórium normál kötegére való vetítés normájával a vizsgált pontban. $\gamma$ ${\bar {M))$ $T=d\gamma /ds$ $T$ $k=\|DT/ds\|$ $\gamma$ $M$ $DT/ds$ $DT/ds$

Ha a környezeti sokaság euklideszi tér , akkor a kovariáns derivált egyenlő a közönséges deriválttal . $\mathbb {R} ^{n}$ $DT/ds$ $dT/ds$

Példa

Legyen egységgömb a háromdimenziós euklideszi térben . Egy gömb normál görbülete 1, függetlenül a figyelembe vett iránytól. A nagy köröknek van görbületük , tehát nulla geodéziai görbületük van, ezért geodetikusak. A kisebb sugarú körök görbülettel és geodéziai görbülettel rendelkeznek . $M$ $S^{2}$ $S^{2}$ $k=1$ $r$ $1/r$ $k_{g}={\frac {\sqrt {1-r^{2}}}{r}}$

Néhány eredmény geodéziai görbülettel

A geodéziai görbület nem más, mint az alsokaságon számított közönséges görbület . Ez nem attól függ, hogy az alosztó hogyan van elhelyezve . $M$ $M$ ${\bar {M))$
A geodéziai on nulla geodéziai görbülettel rendelkezik, ami egyenértékű azzal, hogy azt mondjuk, hogy merőleges a -hez tartozó érintőtérre . $M$ $DT/ds$ $M$
Másrészt a normál görbület szigorúan attól függ, hogy az alelosztó hogyan helyezkedik el a környező térben, de kevés a görbétől – ez csak az elosztón lévő ponttól és az iránytól függ , de nem attól . $k_n$ $T$ $DT/ds$
Az általános Riemann-geometriában a derivált a környezeti elosztó Levi-Civita kapcsolatával számítják ki : . Ez kettéválik egy érintő részre és egy normál részre egy részelosztó számára, . Az érintő rész a v szokásos deriváltja ( ez a Gauss-egyenlet speciális esete a Peterson-Codazzi egyenlethez ), míg a normál rész a , ahol a második másodfokú alakja . ${\bar {\nabla ))$ $DT/ds={\bar {\nabla }}_{T}T$ ${\bar {\nabla }}_{T}T=\nabla _{T}T+({\bar {\nabla }}_{T}T)^{\perp }$ $\nabla _{T}T$ $M$ $\mathrm {I\!I} (T,T)$ $\mathrm{I\!I}$
Gauss-Bonnet képlet .

Lásd még

Irodalom

Manfredo P. do Carmo. Görbék és felületek differenciálgeometriája. - Prentice-Hall, 1976. - ISBN 0-13-212589-7 .
Heinrich Guggenheimer. Felületek // Differenciálgeometria. - Dover, 1977. - ISBN 0-486-63433-7 .
Yu.S. Slobodyan. Geodéziai görbület // Matematikai enciklopédia. — EMS Press, 2001.

Linkek

Weisstein, Eric W. Geodéziai görbület (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .