A felület második másodfokú alakja (vagy második alapalakja ) a felület érintőkötegének másodfokú alakja , amely az első másodfokú formával ellentétben meghatározza a felület külső geometriáját egy adott pont szomszédságában. .
A második másodfokú formát gyakran jelölik , összetevőit pedig hagyományosan és .
Az első és a második másodfokú alak ismerete elegendő egy felület fő görbületeinek , átlagos és Gauss-görbületeinek kiszámításához.
Adjuk meg a háromdimenziós euklideszi tér felületét skaláris szorzattal az egyenlet, ahol és a felület belső koordinátái; a sugárvektor differenciálja az elmozdulás választott iránya mentén egy ponttól egy végtelenül közeli pontig ; pontban lévő felület normálvektora . Ekkor a második másodfokú alaknak van formája
ahol az együtthatókat a következő képletek határozzák meg:
ahol a vektorok vegyes szorzatát jelöli , és a felület első másodfokú alakjának együtthatói.
Egy adott esetben, amikor a felület egy függvény grafikonja háromdimenziós euklideszi térben együtthatókkal , a második másodfokú alak együtthatói a következő alakot öltik:
Tekintsünk egy hiperfelületet egy m - dimenziós euklideszi térben belső szorzattal . Legyen egy helyi térkép a felületről a pontban .
Ezután a képlettel számítjuk ki a második másodfokú alak együtthatóit
ahol az egységnyi normálvektort jelöli.
A második alapforma szintén az önkényes kóddimenziójú alváltozatokhoz van definiálva. [egy]
ahol a kovariáns derivált normáltérre való vetületét jelöli .
Ebben az esetben a második alapforma egy bilineáris forma az érintőtérben, a normál térben lévő értékekkel.
Az euklideszi tér részsokaságainál a részsokaság görbületi tenzora kiszámítható az úgynevezett Gauss-képlet segítségével:
A Riemann-féle sokaság részösszegeihez hozzá kell adni a környezeti tér görbületét; ha az elosztó egy Riemann -féle sokaságba van beágyazva, akkor az indukált metrikával ellátott elosztó görbületi tenzorát a második alapforma és a környezeti elosztó görbületi tenzora adja meg :