Peterson-Codazzi egyenletek

A Peterson-Mainardi-Codazzi egyenletek olyan egyenletek, amelyek a Gauss -egyenlettel együtt képezik a rendszer integrálhatóságának szükséges és elégséges feltételeit, amelyekre redukálódik a felület első és második másodfokú alakjából való visszanyerésének problémája .

Egyenletek

A Peterson-Mainardi-Codazzi egyenletek alakja

{\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2} b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{ 2}b_{21}

ahol a második másodfokú alak együtthatói vannak, ott vannak Christoffel-szimbólumok . $b_{{ij}}$ ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i))$

Tulajdonságok

Bonnet tétele. Ha és , két sima másodfokú alak a tartományban , amelyek kielégítik a Peterson–Codazzi egyenleteket, akkor létezik egy egyedi (mozgásig terjedő) felület is , amelynél ezek az alakok az első és a második másodfokú alakok. ${\displaystyle g=g_{ij))$ ${\displaystyle b=b_{ij))$ $i,j\in \{1,2\}$ $U$ $\mathbb {R} ^{3}$
- Ezt a tételt Peterson is bebizonyította disszertációjában.

Történelem

Az egyenleteket először Peterson [1] találta meg 1853-ban, majd Mainardi [2] és Codazzi (1867) [3] fedezte fel újra .

Jegyzetek

↑ Peterson, KM "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. jelöltnschrift. 1853.
↑ Mainardi, G. "Sulle curvilinee d'una superfice dello spazio koordináta." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385-398, 1856.
↑ Codazzi, D. "Sulle curvilinee d'una superficie dello spazio koordináta." Ann. matematika. pura applicata 2, 101-19, 1868-1869.

Irodalom

Rashevsky P.K., A differenciálgeometria tanfolyama , M., 1956.
Toponogov, V. A. Görbék és felületek differenciálgeometriája . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .