Első másodfokú forma

A felület első másodfokú alakja (vagy az első alapforma vagy metrikus tenzor ) egy olyan másodfokú alakzat a felület érintőkötegében , amely meghatározza a felület belső geometriáját egy adott pont szomszédságában. Az első másodfokú alakot gyakran jelölik . $\mathrm {I}$

Az első másodfokú alak ismerete elegendő egy felület Gauss-görbületének kiszámításához , valamint az ívek hosszának , a görbék közötti szögek és a felület területeinek kiszámításához.

Definíció

Adjuk meg az euklideszi térben a skaláris szorzattal rendelkező felületet az egyenlet, ahol és belső koordináták a felületen; a sugárvektor differenciálja az elmozdulás választott iránya mentén egy ponttól egy végtelenül közeli pontig . (Itt és a sugárvektor parciális deriváltjai a -hoz , illetve -hoz képest .) Ekkor a hossznövekmény fő részének négyzetét a differenciál négyzete fejezi ki : $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $r_{u}$ $r_{v}$ $r$ $u$ $v$ $|MM'|$ $dr$