Felület

A geometriai és topológiás felület egy kétdimenziós topológiai sokaság . A felületek legismertebb példái a geometriai testek határai a szokásos háromdimenziós euklideszi térben. Másrészt vannak olyan felületek (például a Klein-palack ), amelyek nem ágyazhatók be a háromdimenziós euklideszi térbe anélkül, hogy szingularitást vagy önmetszéspontot okoznának.

Egy felület "kétdimenzióssága" magában foglalja a koordináta módszer megvalósításának lehetőségét is , bár nem feltétlenül minden pontra. Tehát a Föld felszíne (ideális esetben) egy kétdimenziós gömb , amelynek minden pontjának szélessége és hosszúsága a koordinátái ( a pólusok és a 180. meridián kivételével ).

A felület fogalmát a fizikában , a mérnöki munkában , a számítógépes grafikában és a fizikai objektumok tanulmányozásának más területein alkalmazzák. Például egy repülőgép aerodinamikai tulajdonságainak elemzése a felszín körüli levegő áramlásán alapul.

Küldetésmódszerek

A felület olyan pontok halmaza, amelyek koordinátái megfelelnek egy bizonyos típusú egyenletnek:

F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)

Ha egy függvény egy ponton folytonos és folytonos parciális deriváltjai vannak, amelyek közül legalább az egyik nem tűnik el, akkor ennek a pontnak a közelében az (1) egyenlettel megadott felület szabályos felület lesz . $F(x,\,y,\,z)$

A fenti implicit megadási módon túlmenően egy felület explicit módon definiálható , ha az egyik változó, például a z, kifejezhető a többivel:

z=f(x,y)\qquad (1')

Van egy paraméteres beállítási mód is. Ebben az esetben a felületet az egyenletrendszer határozza meg:

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{tömb }\jobbra.\qquad (1")

Az egyszerű felület fogalma

Intuitív módon egy egyszerű felület egy sík darabjának tekinthető, amely folyamatos alakváltozásoknak van kitéve ( feszítések, összenyomások és hajlítások ).

Szigorúbban az egyszerű felület az egységnégyzet belsejének homeomorf leképezésének (vagyis egy az egyhez és kölcsönösen folytonos leképezésnek) képe . Ennek a definíciónak analitikus kifejezést adhatunk .

Legyen adott egy négyzet egy u és v téglalap koordinátájú síkon, amelynek belső pontjainak koordinátái kielégítik a 0 < u < 1, 0 < v < 1 egyenlőtlenségeket. A térbeli négyzet homeomorf képe x derékszögű koordinátákkal , y, z az x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) képletekkel van megadva ( parametrikus felület specifikáció ). Ezenkívül az x(u, v), y(u, v) és z(u, v) függvényeknek folytonosnak kell lenniük , és a különböző (u, v) és (u', v') pontoknak eltérő megfelelőkkel kell rendelkezniük. pontok (x, y, z) és (x', y', z').

Egy egyszerű felületre példa a félgömb. Az egész gömb nem egy egyszerű felület . Ez szükségessé teszi a felület fogalmának további általánosítását.

A tér azon részhalmazát, amelynek minden pontja egy egyszerű felülettel rendelkezik, szabályos felületnek nevezzük .

Felület a differenciálgeometriában

A differenciálgeometriában a vizsgált felületekre általában a differenciálszámítás módszereinek alkalmazási lehetőségével kapcsolatos feltételek vonatkoznak. Általában ezek a feltételek a felület simaságának , vagyis annak, hogy a felület minden pontjában létezzen egy érintősík , görbület stb. Ezek a követelmények abból fakadnak, hogy a felületet meghatározó függvények egyszer, kétszer, háromszor tételezzük fel, egyes kérdésekben pedig korlátlan számú differenciálható vagy akár analitikus függvényt . Ebben az esetben a rendszerességi feltétel is érvényesül.

Az implicit hozzárendelési eset . Az egyenlet által adott felület sima szabályos felület , ha , a függvény definíciós tartományában folyamatosan differenciálható , és parciális deriváltjai nem tűnnek el egyszerre (helyességi feltétel) a teljes halmazon : $F(x,\,y,\,z)=0,\; F:\Omega\to\mathbb{R}^3$ $\exist P_0(x_0,\,y_0,\,z_0):\;F(x_0,\,y_0,\,z_0)=0$ $F$ $\Omega$ $\Omega$

\left( \frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2>0

Paraméteres feladat esete . A felületet egy vektoregyenlettel határozzuk meg , vagy ami ugyanaz, három koordinátaegyenlettel: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)$

\left\{ \begin{array}{ccc} x &=& x(u,v) \\ y &=& y(u,v) \\ z &=& z(u,v) \end{tömb }\right.\quad (u,\,v)\in\Omega

Ez az egyenletrendszer sima, szabályos felületet határoz meg, ha a következő feltételek teljesülnek:

a rendszer egy az egyhez megfeleltetést hoz létre a kép és a prototípus között ; $\Omega$
a függvények folyamatosan differenciálhatók -ben ; $x(u,v),\,y(u,v),\,z(u,v)$ $\Omega$
a nem-degenerációs feltétel teljesül:

\begin{vmatrix}x'_u & x'_v \\ y'_u & y'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}y'_u & y'_v \\ z'_u & z'_v \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}z'_u & z'_v \\ x'_u & x'_v \end{vmatrix}^2>0

Geometriailag az utolsó feltétel azt jelenti, hogy a vektorok sehol sem párhuzamosak. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Az u, v paraméterek a felületi pontok belső koordinátáinak tekinthetők. Az egyik koordinátát rögzítve két koordináta görbe családot kapunk, amelyek egy koordináta ráccsal borítják a felületet.

Explicit eset . Egy felület egy függvény gráfjaként definiálható ; akkor sima szabályos felület , ha a függvény differenciálható. Ez az opció egy paraméteres feladat speciális esetének tekinthető: . $S$ $z=f(x,y)$ $S$ $f$ $x=u;\ y=v;\ z=f(u,v)$

Érintősík

A sima felület egy pontjában az érintősík az a sík, amely az adott pontban a felülettel a maximális érintkezési sorrendben érintkezik . Egyenértékű definíció: Az érintősík egy olyan sík, amely tartalmazza az azon a ponton átmenő összes sima görbe érintőit .

Adjunk meg egy sima görbét egy parametrikusan meghatározott felületen a következő formában: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\ v)$

u = u(t);\ v = v(t)

Az ilyen görbe érintőjének iránya ad egy vektort: $\mathbf{v}$

\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} \frac{du}{dt} + \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \frac{dv}{dt}

Ez azt mutatja, hogy egy adott pontban az összes görbe minden érintője ugyanabban a síkban van, amely tartalmazza a vektorokat , amelyeket fentebb függetlennek feltételeztünk. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$

Az érintősík egyenlete egy pontban a következőképpen alakul: $\mathbf{r_0}=(x_0, y_0, z_0)$

\left(\mathbf{r} - \mathbf{r_0}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}\right ) = 0\quad

( vektorok vegyes szorzata ).

A koordinátákban az érintősík egyenletei a felület különböző meghatározásához a táblázatban találhatók:

	egy pontban a felület érintősíkja $(x_{0},y_{0},z_{0})$
implicit hozzárendelés	$\frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z -z_0)=0$
kifejezett megbízás	$\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)=(z-z_0)$
parametrikus feladat	$\begin{vmatrix} x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ x_u' & y_u' & z_u' \\ x_v' & y_v' & z_v' \end{vmatrix} = 0$

Az összes származékot a pontban veszik . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Metrikák és belső geometria

Tekintsünk ismét egy sima görbét:

u = u(t);\ v = v(t)

Hosszúságának elemét az arány határozza meg:

ds^{2}=|d\mathbf {r} |^{2}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u))du+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}dv\right)^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}

ahol . $E=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_u};\ F=\mathbf{r'_u}\mathbf{r'_v};\ G=\mathbf{r'_v}\mathbf{r' _v}$

Ezt a másodfokú formát az első másodfokú alaknak nevezik , és a felületi metrika kétdimenziós változata . Szabályos felület esetén minden ponton diszkriminatív . Együttható a felület egy pontjában akkor és csak akkor, ha a koordináta görbék abban a pontban merőlegesek. Konkrétan egy metrikát egy derékszögű koordinátákkal rendelkező síkon kapunk ( a Pitagorasz-tétel ). $EG-F^2>0$ $F=0$ $u,\v$ $ds^2 = du^2 + dv^2$

A metrika nem határozza meg egyértelműen a felület alakját. Például egy helikoid és egy katenoid metrikája ennek megfelelően paraméterezve megegyezik, vagyis a régióik között minden hosszt megőrző megfelelés van ( izometria ). Az izometrikus transzformációk során megőrzött tulajdonságokat a felület belső geometriájának nevezzük . A belső geometria nem függ a felület térbeli helyzetétől, és nem változik, ha feszítés és összenyomás nélkül hajlítják (például ha egy hengert kúpmá hajlítanak ) [1] .

A metrikus együtthatók nemcsak az összes görbe hosszát határozzák meg, hanem általában a felületen belüli összes mérés eredményét (szögek, területek, görbület stb.). Ezért minden, ami csak a metrikától függ, a belső geometriára vonatkozik. $E,\F,\G$

Normál és normál szakasz

A felület egyik fő jellemzője a normál - egy adott pontban az érintősíkra merőleges egységvektor:

\mathbf{m} = \frac{[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]} {|[\mathbf{r'_u}, \mathbf{r'_v}]|}

A normál előjele a koordináták megválasztásától függ.

Egy felületnek egy adott pontban a felület normálisát tartalmazó sík metszete egy bizonyos görbét alkot, amelyet a felület normálmetszetének nevezünk. A normál szakasz fő normálja egybeesik a felszín normáljával (egy előjelig).

Ha a felületen lévő görbe nem normál metszet, akkor főnormálja szöget zár be a felületnormál . Ekkor a görbe görbületét a normál szakasz görbületéhez (ugyanaz az érintővel) viszonyítjuk a Meunier -képlet alapján : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

A normálvektor koordinátáit a felület különböző meghatározásához a táblázat tartalmazza:

	Normális koordináták egy felületi pontban
implicit hozzárendelés	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
kifejezett megbízás	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1))$
parametrikus feladat	$\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\jobbra)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\jobbra)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ jobbra)^2}}$

itt . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmátrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmátrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmátrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$

Az összes származékot a pontban veszik . $(x_{0},y_{0},z_{0})$

Görbület

Különböző irányok esetén a felület egy adott pontjában a normál szakasz eltérő görbületét kapjuk, amelyet normál görbületnek nevezünk ; pluszjelet kap, ha a görbe főnormálja ugyanabba az irányba megy, mint a felület normálja, vagy mínuszjelet, ha a normálok irányai ellentétesek.

Általánosságban elmondható, hogy a felület minden pontjában van két merőleges irány és , amelyben a normálgörbület minimum és maximum értéket vesz fel; ezeket az irányokat főnek nevezzük . Kivételt képez az az eset, amikor a normál görbület minden irányban azonos (például egy gömb közelében vagy egy forgásellipszoid végén ), akkor egy pontban minden irány fő. $e_{1}$ $e_{2}$

A főirányú normál görbületeket fő görbületeknek nevezzük ; jelöljük őket és . Méret: $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

Gauss görbületnek , teljes görbületnek vagy egyszerűen a felület görbületének nevezik . Létezik a görbületi skalár kifejezés is , amely a görbületi tenzor konvolúciójának eredményét jelenti ; ebben az esetben a görbületi skalár kétszer akkora, mint a Gauss-görbület.

A Gauss-görbület a metrikával számítható, ezért a felületek belső geometriájának tárgya (megjegyezzük, hogy a fő görbületek nem tartoznak a belső geometriához). A görbületi jel alapján osztályozhatja a felület pontjait (lásd az ábrát). A sík görbülete nulla. Az R sugarú gömb görbülete mindenhol egyenlő . Van egy állandó negatív görbületű felület is – pszeudoszféra . ${\frac {1}{R^{2}}}$

Geodéziai vonalak, geodéziai görbület

A felületen lévő görbét geodéziai vonalnak , vagy egyszerűen geodéziainak nevezzük , ha a görbe főnormálja minden pontján egybeesik a felület normáljával. Példa: síkon a geodetikusok egyenesek és vonalszakaszok, gömbön nagykörök és szegmenseik.

Ekvivalens definíció: egy geodéziai egyenesnél a főnormáljának az érintősíkra vetítése a nulla vektor. Ha a görbe nem geodéziai, akkor a megadott vetület nem nulla; hosszát a felületen lévő görbe geodéziai görbületének nevezzük . Van egy arány: $k_{g}$

k^2 = k_g^2 + k_n^2

ahol az adott görbe görbülete, a felület normál metszetének görbülete azonos érintővel. $k$ $k_n$

A geodéziai vonalak a belső geometriára utalnak. Felsoroljuk főbb tulajdonságaikat.

Egy és csak egy geodetikus halad át a felület adott pontján adott irányban.
A felület kellően kis területén két pontot mindig össze lehet kötni geodéziával, ráadásul csak egyet. Magyarázat: egy gömbön az ellentétes pólusokat végtelen számú meridián köti össze, és két közeli pontot nem csak egy nagy kör szakasza köthet össze, hanem annak egy teljes körhöz való hozzáadásával is, így az egyediség csak akkor figyelhető meg. egy kicsiben.
A geodéziai a legrövidebb. Szigorúbban: a felület egy kis darabján az adott pontok közötti legrövidebb út a geodézia mentén vezet.

Terület

A felület másik fontos tulajdonsága a területe , amelyet a következő képlettel számítanak ki:

S=\iint\,|[\mathbf{r}'_u\times\mathbf{r}'_v]|\;\mathrm{d}\,u\,\mathrm{d}\,v

itt . $\mathbf{r}'_u=\left\{\frac{\partial x}{\partial u},\,\frac{\partial y}{\partial u},\,\frac{\partial z}{ \partial u}\right\},\ \mathbf{r}'_v=\left\{\frac{\partial x}{\partial v},\,\frac{\partial y}{\partial v}, \,\frac{\partial z}{\partial v}\right\}$

Koordinátákban a következőket kapjuk:

	kifejezett megbízás	parametrikus feladat
terület kifejezés	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1 }\;\mathrm{d}\,x\,\mathrm{d}\,y$	$\iint\,\sqrt{\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(y,z)}{D( u,v)}\jobbra)^2+\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\jobbra)^2}\;\mathrm{d}\,u\, \mathrm{d}\,v$

Felületi topológia

Tájolás

A felület másik fontos jellemzője a tájolása .

Egy felületet kétoldalasnak nevezünk, ha a teljes hosszában folytonos normálvektorral rendelkezik. Ellenkező esetben a felületet egyoldalúnak nevezzük .

Az orientált felület egy kétoldalas felület, amelynek a normál iránya választott.

Az egyoldalas és ezért nem tájolható felületekre példa a Klein palack vagy a Möbius szalag .

Felülettípusok

A zárt felület egy tömör, határ nélküli felület.
A nyitott felület teljes, nem tömör, határ nélküli felület; beágyazott felület esetén ezenkívül feltételezzük, hogy a környező térben zárt halmazt alkot.
tájolható és nem tájolható felületek

Példák

A forradalom felületei

A forgásfelületet úgy kaphatjuk meg, hogy egy görbét az xz síkban a z tengely körül elforgatunk , feltételezve, hogy a görbe nem metszi a z tengelyt . Tegyük fel, hogy a görbét a kifejezés adja

x=\varphi (t),\,\,z=\psi (t)

ahol t ( a , b ) -ben fekszik , és ívhosszal paraméterezve, így

{\pont {\varphi }}^{2}+{\pont {\psi }}^{2}=1.

Ekkor a forradalom felülete pontok halmaza

M=\{(\varphi (t)\cos \theta ,\varphi (t)\sin \theta ,\psi (t))\colon t\in (a,b),\theta \in [ 0.2\pi )\}.

A Gauss-görbületet és az átlagos görbületet a [2] kifejezések adják meg.

K=-{{\ddot {\varphi }} \over \varphi },\,\,K_{m}={-{\pont {\psi }}+\varphi ({\pont {\psi }}{\ddot {\varphi }}-{\ddot {\psi }}{\dot {\varphi }}) \over 2\varphi }.

A forgásfelületen a geodeziát a Clairaut-reláció határozza meg .

Másodrendű felület

Tekintsük a [3] kifejezés által adott másodrendű felületet.

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

Ez a felület lehetővé teszi a paraméterezést

x={\sqrt {a(au)(av) \over (ab)(ac)))),\,\,y={\sqrt {b(bu)(bv) \over (ba) ( bc))),\,\,z={\sqrt {c(cu)(cv) \over (cb)(ca)))).

A Gauss-görbületet és az átlagos görbületet a

K={abc \over u^{2}v^{2)),\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^ {3}}}.

Vonalozott felületek

A szabályos felület egy olyan felület, amelyet egy egyenes mozgatásával kaphatunk [4] [5] -ben . Ha a felületen választunk egy direktrixet , azaz egy sima , az egyenesekre merőleges egységnyi sebességgörbét c ( t ) , majd egységvektorként választunk a görbe mentén az egyenesek irányába, a sebességvektorra és u , $\mathbb{E}^3$ $u(t)$ ${\displaystyle v=c_{t))$

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

A felület pontokból áll

c(t)+s\cdot u(t)

s és t megváltoztatásakor .

Aztán ha

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}} ,\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

A Gauss- és az átlagos görbületet a kifejezések adják meg

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2)),\,\,K_{m}=- {r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-) \alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

Egy szabályozott felület Gauss-görbülete akkor és csak akkor tűnik el, ha és v arányos [6] . Ez a feltétel egyenértékű azzal, hogy a felület egy v érintővektort és egy u ortogonális vektort tartalmazó görbe síkjainak burkológörbéje , vagyis a felület a görbe mentén kibontakozik [7] . Általánosságban elmondható, hogy egy felületnek nulla Gauss-görbülete van egy pont közelében, akkor és csak akkor, ha ennek a pontnak a közelében fejlődik [8] (Egyenértékű feltételt az alábbiakban mutatunk be metrika formájában.) $u_{t}$ $\mathbb{E}^3$

Minimális felületek

1760-ban Lagrange kiterjesztette az egy változóban lévő integrálok variációszámításának Euler-féle eredményeit két változós integrálokra [9] [10] . A következő problémára gondolt:

Az ilyen felületet minimálfelületnek nevezzük .

1776-ban Jean Baptiste Meunier kimutatta, hogy a Lagrange által levezetett differenciálegyenlet ekvivalens a felület eltűnésének átlagos görbületével:

A minimális felületeket a való életben egyszerűen értelmezik – szappanfilm formát öltenek, ha a drótvázat szappanos vízbe mártják és óvatosan eltávolítják. Azt a kérdést, hogy van-e minimális felület adott határvonallal, Plateau-problémának nevezik Joseph Plato belga fizikus után , aki a tizenkilencedik század közepén szappanfilmekkel kísérletezett. 1930-ban Jesse Douglas és Tibor Rado pozitív választ adott Plateau problémájára (1936-ban Douglas az egyik első Fields-díjat kapott ezért a munkáért) [11] .

A minimális felületekre számos példa ismert, mint például a catenoid , a helicoid , a Scherk felület és az Enneper felület . Ezen a területen intenzív kutatások folytak, melyek eredményeit Osserman [12] könyve foglalja össze . Konkrétan Osserman eredménye azt mutatja, hogy ha a minimális felület nem sík, akkor a Gauss-térkép alatti képe sűrű ben . $S^{2}$

Állandó Gauss-görbületű felületek

Ha egy felületnek állandó Gauss-görbülete van, akkor állandó görbületű felületnek nevezzük [13] [14] [15] .

Az egységgömb in állandó Gauss-görbülete +1. $\mathbb{E}^3$
Az euklideszi sík és a henger állandó Gauss-görbülete 0.
A c fordulat felületének állandó Gauss-görbülete −1. Egy speciális esetet kapunk a , és [14] [16] [17] felvételével . Az utolsó eset a klasszikus pszeudoszféra , amelyet a tractrix központi tengelye körüli elforgatása alkot. 1868-ban Eugenio Beltrami kimutatta, hogy a pszeudo-vízgömb geometriája közvetlenül kapcsolódik a Lobacsevszkij (1830) és Bolyai (1832) által egymástól függetlenül felfedezett hiperbolikus sík geometriájához. F. Minding, Gauss tanítványa már 1840-ben olyan trigonometrikus képleteket kapott a pszeudoszférára, amelyek megegyeznek a hiperbolikus síkkal [18] . Ez az állandó görbületű felület ma már jobban érthető a felső félsíkon vagy egységkörön lévő Poincaré-metrikával , és más modellekkel is leírható, mint például a Klein-modell vagy a hiperboloid modell , amelyet egy kétlapos hiperboloid figyelembevételével kapunk . a háromdimenziós Minkowski tér , ahol [19] . $\varphi _{tt}=\varphi$ $\varphi (t)=C\mathrm {ch} \,t$ $C\mathrm {sh} \,t$ ${\displaystyle Ce^{t))$ $q(x,y,z)=-1$ ${\displaystyle q(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2))$

Ezen állandó görbületű felületek mindegyike rendelkezik egy tranzitív Lie szimmetriacsoporttal. Ennek a csoportelméleti ténynek messzemenő következményei vannak, amelyek különösen figyelemre méltóak e speciális felületeknek a felületek geometriájában betöltött központi szerepére tekintettel, a Poincaré uniformizálási tétel szerint (lásd alább).

A 0 Gauss-görbületű felületek további példái közé tartoznak a kúpok , a kifejleszthető érintőfelületek általánosabban bármely előhívható felület .

Általánosítás

Az elmélet többdimenziós analógjaiért lásd:

Irodalom

Iljin V. A., Poznyak E. G. Analitikus geometria. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. - M . : Túzok. — 570 p.
Pogorelov AI Differenciálgeometria . — 6. kiadás. - M .: Nauka, 1974.
Rashevsky PK Differenciálgeometria kurzus . — 3. kiadás. — M. : GITTL, 1950.
Felület // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Jegyzetek

↑ Rashevsky P.K., 1950 , 7. fejezet.
↑ do Carmo, 1976 , p. 161–162.
↑ Eisenhart, 2004 , p. 228–229.
↑ Eisenhart, 2004 , p. 241–250.
↑ do Carmo, 1976 , p. 188–197.
↑ do Carmo, 1976 , p. 194.
↑ Eisenhart, 2004 , p. 61–65.
↑ Eisenhart, 2004 .
↑ Eisenhart, 2004 , p. 250–269.
↑ do Carmo, 1976 , p. 197–213.
↑ Douglas megoldását Courant tanulmánya írja le (( Courant 1950 )).
↑ Osserman, 2002 .
↑ Eisenhart, 2004 , p. 270–291.
↑ 1 2 O'Neill, 1997 , p. 249–251.
↑ Hilbert, Cohn-Vossen, 1952 .
↑ do Carmo, 1976 , p. 168–170.
↑ Gray, Abbena, Salamon, 2006 .
↑ Stillwell, 1996 , p. 1–5.
↑ Wilson, 2008 .

Linkek

Felületek kialakítása görbék mozgatásával, videó Archivált : 2016. szeptember 23. a Wayback Machine -nél