Koordináta-rendszer

A koordinátarendszer olyan definíciók halmaza, amely a koordináta-módszert valósítja meg , vagyis egy pont vagy test helyzetének és mozgásának számok vagy más szimbólumok segítségével történő meghatározásának módja. Egy adott pont helyzetét meghatározó számkészletet e pont koordinátáinak nevezzük .

A matematikában a koordináták egy adott atlasz valamely térképén lévő sokaság pontjaihoz társított számok halmaza .

Az elemi geometriában a koordináták olyan mennyiségek, amelyek meghatározzák egy pont helyzetét a síkban és a térben. Egy síkon egy pont helyzetét leggyakrabban az egy pontban (az origóban) derékszögben metsző két egyenes (koordinátatengely) távolsága határozza meg; az egyik koordinátát ordinátának , a másikat abszcisszának nevezzük . A térben a Descartes-rendszer szerint egy pont helyzetét három, egy pontban egymásra merőlegesen metsző koordinátasík távolsága vagy gömbi koordináták határozzák meg , ahol a koordináták origója a koordináta középpontjában van. szféra.

A földrajzban a koordinátákat ( körülbelül ) gömb alakú koordinátarendszerként választják ki – szélesség , hosszúság és magasság egy ismert közös szint (például az óceán) felett. Lásd a földrajzi koordinátákat .

A csillagászatban az égi koordináták szögmennyiségek rendezett párja (például jobbra emelkedés és deklináció ), amelyek meghatározzák a világítótestek és a segédpontok helyzetét az égi szférán. A csillagászatban különféle égi koordinátarendszereket használnak. Mindegyik lényegében egy gömbkoordináta-rendszer (radiális koordináta nélkül), megfelelően megválasztott alapsíkkal és origóval. Az alapsík megválasztásától függően az égi koordinátarendszert vízszintesnek (horizont sík), egyenlítői (ekvatoriális sík), ekliptikának (ekliptikus sík) vagy galaktikus (galaktikus sík) nevezzük.

A leggyakrabban használt koordinátarendszer a derékszögű koordinátarendszer (más néven derékszögű koordinátarendszer ).

A koordinátákat a síkban és a térben végtelen sokféleképpen lehet megadni. Ha egy adott matematikai vagy fizikai problémát koordináta módszerrel old meg, különböző koordinátarendszereket használhat, kiválasztva azt, amelyikben a feladatot ebben az esetben könnyebben vagy kényelmesebben oldják meg. A koordinátarendszer jól ismert általánosítása a vonatkoztatási rendszerek és a vonatkoztatási rendszerek .

Alaprendszerek

Ez a rész magyarázatot ad az elemi matematikában leggyakrabban használt koordinátarendszerekre.

Derékszögű koordináták

A P pont helyét a síkon a derékszögű koordináták határozzák meg egy számpár segítségével $(x,y):$

$x$ a P pont és az y tengely távolsága , figyelembe véve az előjelet
$y$ a P pont és az x tengely távolsága , figyelembe véve az előjelet

Három koordináta szükséges a térben $(x,y,z):$

$x$ a P pont és az yz sík távolsága
$y$ a P pont távolsága az xz síktól
$z$ a P pont és az xy sík távolsága

Poláris koordináták

A síkon alkalmazott polárkoordináta-rendszerben a P pont helyzetét az origótól való távolsága határozza meg r = |OP| és sugárvektorának φ szöge az Ox tengellyel .

A térben a poláris koordináták általánosításait használják - hengeres és gömb alakú koordinátarendszereket.

Hengeres koordináták

A hengeres koordináták a polárkoordináták háromdimenziós analógjai, amelyben a P pontot egy rendezett hármas képviseli egy derékszögű koordinátarendszerben, $(r,\varphi ,z).$

$0\leqslant {r}$ ( sugár ) a z tengely és a P pont közötti távolság ,
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ ( azimut vagy hosszúság) - az x tengely pozitív ("plusz") része és a pólustól a P pontig húzott és az xy síkra vetített szakasz közötti szög .
$z$ (magasság) egyenlő a P pont derékszögű z -koordinátájával .

Megjegyzés: a szakirodalomban az első (sugárirányú) koordinátára néha a ρ jelölést használják , a másodiknál (szög vagy azimut) - a θ jelölést , a harmadik koordinátánál - a h jelölést .

A poláris koordinátáknak van egy hátránya: a φ értéke nincs definiálva r = 0 -nál .

A hengeres koordináták hasznosak olyan rendszerek tanulmányozásához, amelyek valamilyen tengelyre szimmetrikusak. Például egy hosszú hengernek, amelynek R sugara derékszögű koordinátákkal (amelynek z tengelye egybeesik a henger tengelyével), van egy egyenlete , míg a hengeres koordinátákban sokkal egyszerűbbnek tűnik, ha r = R . $x^{2}+y^{2}=R^{2},$

Gömbkoordináták

A gömbkoordináták a poláris koordináták háromdimenziós analógjai.

Szférikus koordinátarendszerben egy P pont helyét három összetevő határozza meg: Derékszögű koordinátarendszerben, $(\rho ,\varphi ,\theta ).$

$0\leqslant\rho$ (sugár) a P pont és a pólus távolsága,
$0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (azimut vagy hosszúság) - az x pozitív ("plusz") féltengely és a pólustól a P pontig húzott szakasz vetülete közötti szög az xy síkon .
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (szélesség vagy poláris szög) - a z pozitív ("plusz") féltengely és a pólustól a P pontig húzott szakasz közötti szög.

Megjegyzés: A szakirodalomban néha az azimutot θ , a polárszöget pedig φ -vel jelölik . Néha r -t használunk ρ helyett a radiális koordinátára . Ezenkívül az azimut szögtartománya (−180°, +180°] a [0°, +360°) helyett. Végül a poláris szög nem a z tengely pozitív irányából , hanem az xy síkból mérhető ; ebben az esetben a [−90°, +90°] tartományba esik, és nem a [0°, 180°] tartományba. Néha a koordináták sorrendjét a hármasban a leírtaktól eltérően választják ki; például a poláris és azimutszögek felcserélhetők.

A gömbkoordináta-rendszernek van egy hátránya is: φ és θ nincs definiálva, ha ρ = 0; a φ szög szintén nincs meghatározva a θ = 0 és θ = 180° határértékekre (illetve a θ = ±90°-ra, ha a szög megfelelő tartománya elfogadott).

Egy P pont gömbkoordinátái alapján történő megszerkesztéséhez a pólusból a z pozitív féltengely mentén egy ρ -vel egyenlő szakaszt kell félretenni, és azt θ szöggel el kell forgatni az y tengely körül a pozitív irányába. féltengely x , majd forgassa el θ szöggel a z tengely körül az y pozitív féltengely irányába .

A gömbkoordináták hasznosak egy pontra szimmetrikus rendszerek tanulmányozásában. Tehát egy R sugarú gömb egyenlete derékszögű koordinátákkal a gömb középpontjában lévő origóval így néz ki, míg a gömbkoordinátákban sokkal egyszerűbbé válik: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ $\rho=R.$

Egyéb gyakori koordinátarendszerek

Az affin (ferde) koordinátarendszer egy egyenes vonalú koordinátarendszer affin térben . A síkon az O kezdőpont és két rendezett nem kollineáris vektor adja meg , amelyek egy affin bázist képviselnek. Ebben az esetben a koordinátatengelyek az origóponton áthaladó egyenesek , amelyek párhuzamosak az alapvektorokkal, amelyek viszont meghatározzák a tengelyek pozitív irányát. A háromdimenziós térben egy affin koordináta-rendszert lineárisan független vektorok hármasa és egy kezdőpont ad meg. Valamely M pont koordinátáinak meghatározásához kiszámoljuk az OM vektor bázisvektorokszerinti kiterjesztésének együtthatóit [1] .

A baricentrikus koordinátákat először 1827-ben A. Möbius vezette be, aki a háromszög csúcsaiban elhelyezkedő tömegek súlypontjának kérdését oldotta. Affin invariánsok, általános homogén koordináták speciális esetei . A baricentrikus koordinátákkal rendelkező pont az E n n - dimenziós vektortérben található , míg a tulajdonképpeni koordináták egy rögzített pontrendszerre vonatkoznak, amelyek nem az ( n − 1)-dimenziós altérben helyezkednek el. A baricentrikus koordinátákat az algebrai topológiában is használják a szimplex pontjaival kapcsolatban [2] .

A banguláris koordináták a bicentrikus koordináták egy speciális esete, egy síkon lévő koordinátarendszer, amelyet két fix C 1 és C 2 pont ad meg , amelyeken keresztül egy egyenes húzódik, amely az abszcissza tengelyeként működik. Egy nem ezen az egyenesen fekvő P pont helyzetét a PC 1 C 2 és PC 2 C 1 szögek határozzák meg .

A bipoláris koordinátákat [3] az jellemzi, hogy ebben az esetben két A és B pólusú körcsalád , valamint egy rájuk merőleges körcsalád működik koordinátaegyenesként a síkon. A bipoláris koordináták derékszögűekké alakítása speciális képletek segítségével történik. A térben lévő bipoláris koordinátákat biszférikusnak nevezzük; ebben az esetben a koordinátafelületek gömbök , körívek elforgatásával képzett felületek, valamint az O z tengelyen átmenő félsíkok [4] .

Bicentrikus koordináták - minden olyan koordinátarendszer, amely két rögzített ponton alapul, és amelyen belül egy másik pont helyzetét általában az eltávolítás mértéke vagy általában a két fő ponthoz viszonyított helyzet határozza meg. Az ilyen rendszerek igen hasznosak lehetnek a tudományos kutatás bizonyos területein [5] [6] .

Bicilinderes koordináták - olyan koordinátarendszer, amely akkor jön létre, ha az O xy síkon lévő bipoláris koordinátarendszert párhuzamosan visszük át az O z tengely mentén. A koordinátafelületek ebben az esetben egy olyan körhengerpárok családja, amelyek tengelyei párhuzamosak, a rájuk merőleges körhengerek családja és egy sík. Speciális képleteket használnak a háromdimenziós tér kéthengeres koordinátáinak derékszögű téglalap alakúra való konvertálására is [7] .

A dipoláris koordináták egy háromdimenziós görbe vonalú merőleges koordinátarendszer, amely egy pont (középső) dipóluson, pontosabban annak koordináta transzformációs invariánsain alapul. Az egyik invariáns az ekvipotenciális felület , amely koordinátafelületként szolgál; egy másik invariáns a vektormező erővonalai , amelyek merőlegesek az ekvipotenciális felületekre. A gömbi vagy derékszögű koordináták dipoláris koordinátáira való transzformálása speciális képletek segítségével történik.

A kúpkoordináták egy háromdimenziós merőleges koordináta-rendszer, amely koncentrikus gömbökből áll, amelyeket sugarukkal ír le , és két egymásra merőleges kúpcsaládot , amelyek az x és z tengelyek mentén helyezkednek el [8] .

A Rindler-koordinátákat elsősorban a relativitáselmélet keretein belül használják, és a lapos téridő azon részét írják le, amelyet általában Minkowski-térnek neveznek . A speciális relativitáselméletben egy egyenletesen gyorsuló részecske hiperbolikus mozgásban van , és a Rindler-koordinátákban minden ilyen részecskére kiválasztható egy referenciapont , amelyhez képest nyugalomban van.

A parabola koordináták egy kétdimenziós ortogonális koordinátarendszer, amelyben a koordinátavonalak konfokális parabolák gyűjteménye . A parabola koordináták háromdimenziós módosítását úgy állítjuk elő, hogy egy kétdimenziós rendszertparabolák szimmetriatengelye körül. A parabolikus koordinátáknak számos lehetséges gyakorlati alkalmazása is van: különösen a Stark-effektussal kapcsolatban használhatók . A parabolikus koordinátákat egy bizonyos összefüggés köti össze a derékszögű derékszögű koordinátákkal [9] .

A projektív koordináták a név szerint a P n ( K ) projektív térben léteznek, és egy az egyhez való megfelelést jelentik elemei és a K test véges részhalmazainak osztályai között , amelyet az ekvivalencia és a rendezettség tulajdonságai jellemeznek. . A projektív alterek projektív koordinátáinak meghatározásához elegendő a projektív térben lévő pontok megfelelő koordinátáit meghatározni. Általános esetben valamilyen alapra tekintettel a projektív koordinátákat tisztán projektív eszközökkel vezetik be [10] .

A toroidális koordinátarendszer egy háromdimenziós merőleges koordináta-rendszer, amelyet egy kétdimenziós bipoláris koordináta-rendszer elforgatásával kapunk a két fókuszt elválasztó tengely körül. A bipoláris rendszer gócai a toroidális koordinátarendszer xy síkján fekvő a sugarú gyűrűvé alakulnak , míg a z tengely a rendszer forgástengelyévé válik. A fókuszgyűrűt néha alapkörnek is nevezik [11] .

A trilineáris koordináták a homogén koordináták egyik példája, és egy adott háromszögön alapulnak, így egy pont helyzetét ennek a háromszögnek az oldalaihoz viszonyítva határozza meg - elsősorban a távolság mértéke alapján, bár más eltérések is lehetségesek. A trilineáris koordináták viszonylag könnyen átalakíthatók baricentrikussá; ezen kívül kétdimenziós derékszögű koordinátákká is konvertálhatók, amelyekhez a megfelelő képleteket használják [12] .

A hengeres parabola koordináták egy háromdimenziós ortogonális koordinátarendszer, amelyet egy kétdimenziós parabola koordináta-rendszer térbeli transzformációja eredményeként kapunk. A koordinátafelületek konfokális parabola hengerek. A hengeres parabola koordinátákat bizonyos kapcsolat köti a téglalap alakú koordinátákkal, és a tudományos kutatás számos területén alkalmazható [13] .

Az ellipszoid koordináták elliptikus koordináták a térben. Ebben az esetben a koordinátafelületek ellipszoidok , egylapos hiperboloidok , valamint kétlapos hiperboloidok, amelyek középpontja az origóban található. A rendszer ortogonális. Minden egyes számhármas, amelyek ellipszoid koordináták, nyolc pontnak felelnek meg, amelyek az O xyz rendszer síkjaihoz képest szimmetrikusak egymással [14] .

Átmenet egyik koordinátarendszerből a másikba

Descartes és poláris

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operátornév {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operátornév {sgn}y,

ahol u 0 a Heaviside függvény és sgn az előjelfüggvény . Itt az u 0 és az sgn függvények "logikai" kapcsolóként használatosak, jelentésükben hasonlóak a programozási nyelvek "if .. then" (if ... else) operátoraihoz. Néhány programozási nyelvnek van egy speciális atan2 ( y , x ) függvénye, amely a helyes φ -t adja vissza az x és y koordinátákkal meghatározott kvadránsban . $u_{0}(0)=0,$

derékszögű és hengeres

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

z=z.\quad

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operátornév {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operátornév {sgn}y,

z=z.\quad

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\r\sin \varphi &r \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}&{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\{\frac {-y}{{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Descartes és gömb alakú

{x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad

{y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;\quad

{\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operátornév {arctg}{\frac ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{z}} ,

{\varphi }=\operátornév {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operátornév {sgn}y.

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \ sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \ sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac { xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2))))}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}} }&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Hengeres és gömb alakú

{r}=\rho \,\sin \theta ,

{\varphi }=\varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;

{\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\operátornév {arctg}{\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operátornév {sgn}z,

{\varphi }=\varphi .\quad

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta & -\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}{\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z ^{2)))))&0&{\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2))))}\\{\frac {-z}{r^{2} +z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d \varphi\\dz\end{pmatrix}}.

Földrajzi koordinátarendszer

A földrajzi koordináta-rendszer lehetővé teszi a földgömb bármely pontjának azonosítását alfanumerikus jelölésekkel. A koordináták általában úgy vannak hozzárendelve, hogy az egyik mutató a függőleges helyzetet jelöli , a másik pedig vagy mások kombinációja a vízszintes pozíciót . A földrajzi koordináták hagyományos halmaza a szélesség , hosszúság és magasság [15] . A három felsorolt jelölőt használó földrajzi koordináta-rendszer merőleges.

A Föld felszínén lévő pont szélessége az egyenlítői sík és az ezen a ponton átmenő, az alapellipszoid felületére bezárt normál vonal közötti szög , amely körülbelül egybeesik a Földdel. Ez az egyenes általában a Föld középpontjától néhány kilométeren belül halad el, kivéve két esetet: a sarkokat és az Egyenlítőt (ebben az esetben közvetlenül a középponton halad át). Az azonos szélességi pontokat összekötő egyeneseket párhuzamosoknak nevezzük . A 0° szélesség az Egyenlítő síkjának, a Föld északi sarka az északi szélesség 90°-nak, a déli pólus a déli szélesség 90°-nak felel meg. A Föld felszínének egy pontjának hosszúsági fokát viszont úgy definiáljuk, mint a keleti vagy nyugati irányú szöget a fő meridiántól egy másik, ezen a ponton áthaladó meridiánig. Az azonos hosszúságú pontokat összekötő meridiánok a pólusokon összefutó fél-ellipszisek. A nulla a London melletti greenwichi Királyi Obszervatóriumon áthaladó meridián . Ami a magasságot illeti, azt a geoid feltételes felületétől mérik , amely a földgömb absztrakt térbeli ábrázolása.

Lásd még

Galilei koordináták
Gauss-koordináták
Normál koordináták
Riemann koordináták
Origin , koordinátatengely , ort
Helyi nyugalmi szabvány (a koordináták eredete a csillagászatban)
Fő ortodromikus koordinátarendszer
A tér mérete
Affin transzformációk

Jegyzetek

↑ Parkhomenko A. S. Affin koordinátarendszer. — Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ Sklyarenko E. G. Baricentrikus koordináták. — Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ Weisstein, Eric W. Bipoláris koordináták a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Dolgacsev I.V., Pskovskikh V.A. Bipoláris koordináták. — Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ R. Price, A periodikus állóhullám közelítése: adaptált koordináták és spektrális módszerek. . Letöltve: 2013. május 11. Az eredetiből archiválva : 2016. március 4. (határozatlan)
↑ A periodikus állóhullám közelítés: nemlineáris skaláris mezők, adaptált koordináták és a saját spektrális módszer. . Letöltve: 2013. május 11. Az eredetiből archiválva : 2019. április 2. (határozatlan)
↑ Sokolov D. D. Kéthengeres koordináták. — Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ Kúpos koordináták MathWorld leírása . Letöltve: 2013. május 11. Az eredetiből archiválva : 2013. október 6.. (határozatlan)
↑ Parabolikus koordináták MathWorld leírása . Letöltve: 2013. május 11. Az eredetiből archiválva : 2013. június 2. (határozatlan)
↑ Voitsekhovsky M. I. Projektív koordináták. — Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ Toroidális koordináták MathWorld leírása . Letöltve: 2013. május 11. Az eredetiből archiválva : 2021. május 20. (határozatlan)
↑ Weisstein, Eric W. Trilineáris koordináták a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Parabola hengerkoordináták MathWorld leírása . Letöltve: 2013. május 11. Az eredetiből archiválva : 2020. november 11. (határozatlan)
↑ Sokolov D. D. Ellipszoid koordináták. — Matematikai enciklopédia. - M . : Szovjet Enciklopédia, 1977-1985.
↑ Útmutató a koordinációs rendszerekhez Nagy-Britanniában Archiválva : 2008. április 22. v1.7 2007. október

Irodalom

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. A koordináták módszere. (elérhetetlen link) Ötödik kiadás, sztereotip. Sorozat: A Fizika és Matematika Iskola Könyvtára. Matematika. 1. szám. M.: Nauka, 1973.
Delaunay N. B. Koordináták, matematikában // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.

Linkek

Fakultatív matematika óra a következő témában: "Különböző koordinátarendszerek"