Gömbös koordinátarendszer

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. december 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A gömbkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer , amelyben a tér minden pontját három szám határozza meg , ahol az origó távolsága (sugárirányú távolság), és a zenit- és azimutszög . $(r,\;\theta ,\;\varphi)$ $r$ $\theta$ $\varphi$

A zenit és az azimut fogalmát széles körben használják a csillagászatban . Zenith - az alapsíkhoz tartozó tetszőlegesen kiválasztott pont (megfigyelési pont) feletti függőleges emelkedés iránya . A csillagászatban alapvető síkként választható az egyenlítő, vagy a horizont síkja, vagy az ekliptika síkja stb., amely különböző égi koordinátarendszereket eredményez. Az azimut az alapsík egy tetszőlegesen kiválasztott, a megfigyelési pont origójával rendelkező sugara és ennek a síknak egy másik olyan sugara közötti szög, amelynek az elsővel közös origója van.

Ha a gömbkoordinátarendszert a derékszögű rendszerhez viszonyítva tekintjük , akkor az alapsík a sík , a sugárvektor által megadott pont zenitszöge a és a tengely közötti szög , az azimut pedig az a vetítés a síkra és a tengelyre . Ez megmagyarázza a szögek elnevezését és azt, hogy a gömbkoordináta-rendszer sokféle égi koordináta-rendszer általánosításaként szolgálhat . $Oxyz$ $xy$ $P$ $P$ $z$ $P$ $xy$ $x$

Definíciók

Egy pont helyzetét a gömbkoordináta-rendszerben a hármas határozza meg , ahol $P$ $(r,\;\theta ,\;\varphi)$

$r\geqslant 0$ a koordináták kezdőpontja és az adott pont távolsága . $P$
$0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ a tengely és az origót és pontot összekötő szakasz közötti szög . $z$ $P$
$0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }$ a koordináták kezdőpontját a síkon lévő ponttal összekötő szakasz tengelye és vetülete közötti szög (lásd 1. ábra). $x$ $P$ $xy$

A szöget zenitnek vagy polárisnak , nevezhetjük inklinációnak vagy colatitudenak is , a szöget pedig azimutnak . A és szögek nincsenek definiálva -ban, és a -nál (vagyis -nál vagy -nál ) lévő szög sem. $\theta$ $\varphi$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\sin(\theta )=0$ $\theta=0$ $\theta =180^{\circ }$

Egy ilyen megállapodást a szabvány ( ISO 31-11 ) tartalmaz. Ezenkívül az egyezmény akkor használható, ha a zenitszög helyett a pont sugárvektora és a sík közötti szöget használjuk , amely egyenlő . Szélességi foknak hívják, és ugyanazzal a betűvel jelölhető . A szélességi fok belül változhat . Ezen egyezmény értelmében a szögek és nem számítanak mikor , csakúgy, mint az első esetben, de nem mindegy, hogy mikor (vagyis mikor vagy ). $\theta$ $P$ $xy$ $90^{\circ }-\theta$ $\theta$ $-90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }$ $\theta$ $\varphi$ $r=0$ $\varphi$ $\cos(\theta )=0$ $\theta =-90^{\circ }$ $\theta =90^{\circ }$

Átmenet más koordinátarendszerekre

Derékszögű koordinátarendszer

Ha a pont gömbkoordinátái adottak , akkor a derékszögűre való áttérés a következő képletek szerint történik: $(r,\;\theta ,\;\varphi)$

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Megfordítva, derékszögűről gömb alakúra:

{\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\ sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2))}{z )),\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}

A gömbkoordinátákra való transzformáció jakobiusza az

{\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )))={\begin{vmatrix}\ sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \ theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta )+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2 }\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi )=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2} \sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}

Így a derékszögű koordinátákról a gömbkoordinátákra való átmenet térfogateleme így fog kinézni:

\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \, \mathrm {d} \varphi

Hengeres koordinátarendszer

Ha a pont gömbkoordinátái adottak, akkor a hengeresre való áttérés a következő képletek szerint történik:

{\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Vissza a hengeresről a gömb alakúra:

{\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2))},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z} },\\\varphi =\varphi .\end{cases}}

Jakobi átalakulás gömb alakúról hengeresre . $J=r$

Differenciál jellemzők

A pontról pontra húzott vektor egyenlő $\mathrm {d} \mathbf {r}$ $(r,\theta,\varphi)$ $(r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi)$

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat { \theta ))}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}},

ahol

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r))}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\ hat {\jmath ))}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k))))

{\boldsymbol {\hat {\varphi ))}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath ))}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath ))}

szférikus koordináták merőleges egységvektorai a növekedés irányában , illetve a derékszögű koordináták egységvektorai. A gömbkoordináták merőlegesek, így a metrikus tenzornak átlós alakja van: $r,\theta ,\varphi$ ${\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$

g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix)),\quad g^{ij}= {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }} \end{pmatrix}}

$\det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\$
Ívhossz-különbség négyzetben:

ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.

Béna együtthatók :

H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .

Christoffel szimbólumok : $\{r,\;\theta ,\;\varphi \}$

\Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta,

\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1} {r}},

\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\théta .

A többi nulla.

A Föld matematikai modellezése

Szférikus földrajzi koordinátarendszer

A gömbi földrajzi koordináta-rendszer a következőképpen épül fel [1] :

kezdete a Föld középpontjában van elhelyezve ;
a poláris tengely a Föld forgástengelye mentén irányul;
a koordinátát a Föld középpontjából húzott sugárvektor mentén mérjük; $r$
a poláris szög a colatitude ( a földrajzi szélesség komplementere -hez ); $\theta$ $90^{\circ }$
az azimutszög egybeesik a földrajzi hosszúsággal (kelet). $\varphi$

A Föld mágneses mezejének mágneses indukciós vektorának vannak összetevői $\mathbf {B}$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,

hol van a mágneses inklináció ; - mágneses deklináció . $én$ $D$

A szabadesés gyorsulási vektorának összetevői az ${\mathbf {g}}$

g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.

Végül a Föld szögsebesség- vektorának összetevői : $\mathbf {\Omega }$

\Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.

Szférikus földrajzi koordinátákban optimális a Földközeli tér semleges részecskéinek viselkedését leíró egyenletek megoldása [1] .

Gömbös geomágneses koordinátarendszer

A gömb alakú geomágneses koordináta-rendszer a következőképpen épül fel [1] :

kezdete a Föld középpontjában van elhelyezve ;
a poláris tengely a Föld mágneses dipólusának (geomágneses tengelyének) tengelye mentén irányul, áthaladva a mágneses pólusokon ;
a koordinátát a Föld középpontjából húzott sugárvektor mentén mérjük; $r$
a polárszög a geomágneses colatitude (a mágneses szélesség komplementere -hez ); $\Theta$ $\Phi$ $90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi$
az azimutszög egybeesik a földrajzi és geomágneses pólusokat tartalmazó nyugati féltekén a síktól keletre mért geomágneses hosszúsággal. $\lambda$

Az északi mágneses pólus földrajzi koordinátái a következők

\theta _{0}=4.6^{\circ },\;\varphi _{0}=43.0^{\circ }\;(2012).

A gömbi geomágneses koordinátarendszerben a deklináció ill $D=0$

B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,

g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.

\Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda ),

\Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .

A földrajzi és geomágneses gömbkoordinátákra vonatkozó képletek [1] :

\cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),

\cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0} )}{\sin \Theta )),

\cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,

\cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta )).

Szférikus geomágneses koordinátákkal könnyebb leírni a geomágneses tér hatását a Föld-közeli tér töltött részecskéire, mint a gömbföldrajzi koordinátákkal [1] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 4 5 Bryunelli B. E., Namgaladze A. A. Az ionoszféra fizikája. Moszkva: Nauka, 1988. 3.5. §, 172-173. ISBN 5-02-000716-1

Linkek

Weisstein, Eric W. Szférikus koordináták a Wolfram MathWorldnél .

Koordináta rendszerek
A koordináták neve	Abszcissza Ordináta Rátét
A koordinátarendszerek típusai	Egyenes koordinátarendszer Görbe vonalú koordinátarendszer
2D koordináták	Kétszög koordináták Bicentrikus koordináták Hiperbolikus koordináták Poláris koordináták Bipoláris koordináták Parabolikus koordináták Elliptikus koordináták Tetraciklikus koordináták Trilineáris koordináták
3D koordináták	Hengeres koordináták Gömb koordináták Biszférikus koordináták Toroidális koordináták Hengeres parabola koordináták Bicilinderes koordináták Ellipszoid koordináták Kúpos koordináták Pentaszférikus koordináták Dipoláris koordinátarendszer
$n$ - dimenziós koordináták	Derékszögű koordináták Affin koordináták Projektív koordináták Plücker koordináták baricentrikus koordináták
Fizikai koordináták	Rindler koordináták Született koordináták Égi koordináta-rendszer Földrajzi koordináták Fő ortodromikus koordinátarendszer
Kapcsolódó definíciók	Koordináta módszer Eredet Koordináta tengely Vektor Orth referenciarendszer Viszonyítási alap Béna együtthatók Metrikus tenzor

Égi mechanika

Törvények és feladatok	Newton törvényei A gravitáció törvénye Kepler törvényei Két test probléma Három test probléma Gravitációs N-test probléma Bertrand problémája Kepler-egyenlet
Éggömb	Égi koordináta-rendszer galaktikus vízszintes egyenlítői ekliptika Nemzetközi égi koordináta-rendszer Gömbös koordinátarendszer világtengely Égi egyenlítő jobb felemelkedés deklináció Ekliptika Napéjegyenlőség Napforduló alapsík
Pályaparaméterek _	A pálya Kepleri elemei különcség fél-nagy tengely anomáliát jelent növekvő csomóponti hosszúság periapszis érv Apocenter és periapsis Keringési sebesség Keringési csomópont Korszak
Az égitestek mozgása	A Nap és a bolygók mozgása az égi szférában Ephemeris Bolygó konfigurációk szembesítés összetett kvadratúra megnyúlás bolygók felvonulása Fogyatkozás Napfogyatkozás holdfogyatkozás saros Metonikus ciklus Bevonat Végigjátszás csúcspontja sziderikus időszak zsinati időszak Forgatási időszak orbitális rezonancia Equinox Prelude Közeledés libráció A gravitáció hatóköre Kozai hatás Yarkovsky-effektus Dzsanibekov hatás

Asztrodinamika

Űrrepülés	térsebesség első (kör alakú) második (parabola) harmadik negyedik Ciolkovszkij képlete Gravitációs manőver Hohmann pálya Az elemek oszkulációjának módszere Árapálygyorsulás Orbitális dőlésváltozás Bolygóközi közlekedési hálózat Dokkolás Lagrange pontok Úttörő hatás
SC kering	geostacionárius pálya Heliocentrikus pálya geoszinkron pálya geocentrikus pálya geotranszfer pálya Alacsony földpálya sarki pálya "Tundra" pálya Napszinkron pálya Keringő "villám" Oszkuláló pálya