Tenzor konvolúció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. október 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A tenzorszámításban a konvolúció a tenzor vegyértékének 2-vel való csökkentésének művelete , amely a vegyértéktenzort valenciatenzorrá alakítja . $(m, n)$ $(m-1, n-1)$

Definíció

A legegyszerűbb esetben a , típusú egyszerű tenzor összehúzódását skalárként definiáljuk . Ez a művelet lineárisan folytatódik az összes típusú tenzorra . $v\otimes f$ ${\megjelenítési stílus (1,1)}$ $f(v)$ ${\megjelenítési stílus (1,1)}$

Általában egy típusú tenzor tekinthető lineáris leképezésnek a vegyértéktenzorok teréből a valenciatenzorok terébe ; egy ilyen ábrázolás kiválasztásához kokontravariáns indexet kell választani. A kép konvolúciója leképezést ad a valenciatenzorok teréből a skalárokra, azaz a valenciatenzorra . A tenzor konvolúciójának nevezzük a két megadott index alapján. $(m, n)$ ${\megjelenítési stílus (n-1,m-1)}$ ${\megjelenítési stílus (1,1)}$ ${\megjelenítési stílus (n-1,m-1)}$ $(m-1, n-1)$

Jelölés

Koordinátákban a következőképpen írják:

{T^{i_1, \pontok, \aláhúzás{i_0}, \pontok, i_n}_{j_1, \pontok, \aláhúzás{j_0}, \pontok, j_n}} \jobbra mutató {T^{i_1, \pontok, i_n}_{j_1, \pontok, j_n}} = {T^{i_1, \pontok, \aláhúzás{i_0}, \pontok, i_n}_{j_1, \pontok, \aláhúzás{i_0}, \pontok, j_n }}

ahol az Einstein-összegzési szabályt alkalmazzuk ismételt többváltozós (felső és alsó) indexekre, azaz jelen esetben a -ra . $én_{0}$

A konvolúciós műveletet gyakran olyan tenzorokon hajtják végre, amelyek a tenzorok szorzatai, vagy röviden két vagy több tenzort konvolválnak.

Például van egy rekord az A mátrix B mátrixszal való közönséges szorzásáról, vagyis a szokásos mátrixjelölésben, az indexeket alul írva, és nem hagyva ki az összegjelet, ez a $A^i_j B^j_k$

\sum_{j=1}^N A_{ij} B_{jk}

A konvolúciót elvileg mindig a felső és az alsó indexen hajtjuk végre, azonban ha a metrikus tenzor adott , akkor a ko- és kontravariáns indexek egyedileg átfordíthatók egymásba (emelés és csökkentés), így a konvolúció hordozható. a metrikus tenzort használó bármely indexpár felett, ha mindkét index felső vagy alsó. Például:

A_{ij} B_{jk} = A_{ij} g^{jm} B_{mk} = A_{ij} B^j_{\ k} = C_{ik}

Megjegyzés : a hajtási művelet definiált, és nem csak tenzor objektumok esetén van értelme. Mindenesetre a komponensekben pontosan ugyanazt a műveletet alkalmazzuk a koordináta-transzformációs mátrixokkal (Jacobi-mátrixokkal ) és olyan affin kapcsolati komponensekkel való konvolúcióhoz , amelyek nem tenzorok reprezentációi. Ezeknek a konvolúcióknak egyértelmű geometriai jelentése is van, és fontos szerepet játszanak a tenzorelemzésben, valamint valós tenzorobjektumok, például a görbületi tenzor reprezentációjának megalkotására is szolgálnak .

Példák

Ha egy tenzort ráhajtunk egy olyan indexpárra, amely felett anti(ferde)szimmetrikus, nulla tenzort kapunk.
Egy (1,1) rangú A tenzorral rendelkező v vektor konvolúciója a vektor lineáris operátorral való szorzását jelenti, például egy ilyen tenzor a vektorhoz képest. $A^i_{\ j} v^j$
A (0,2) rangú B tenzorral rendelkező a és b vektorok konvolúciója bilineáris alak ; tehát két metrikus tenzorral rendelkező vektor konvolúciója adja a skalárszorzatát. $\ B_{ij} a^ib^j$ $\ g_{ij} a^ib^j$
Beleértve - másodfokú forma ; így a metrikus tenzorral végzett konvolúció megadja a vektor normájának négyzetét. $\ B_{ij}v^iv^j$
Egy kovariáns és egy kontravariáns vektor konvolúciója megadja az 1-forma hatását a vektoron, vagy ha a kovariáns komponenseket csak a valós vektor duális reprezentációjának tekintjük, akkor ez két vektor skaláris szorzata, az egyik amely a kettős bázisban képviselteti magát. $\ a_j b^j$
Az (1,1) rangú A tenzor (önmagával) konvolúciója a mátrix nyoma . Ez a legegyszerűbb eset, amikor tenzorból (skaláris) invariánst állítunk elő. $A^j_{\ j}$ $A^i_{\ j}$
Egy lineáris operátor művelete egy bizonyos rangú tenzorok terére egy konvolúció, amelynek a tenzora kétszer akkora, mint ahányszor kontravariáns, például (koordináta-jelöléssel): $B^i_{jk} = L^{i\ \ \ qr}_{jkp} A^p_{qr}$

Tulajdonságok

Egy vagy több tenzor (beleértve a vektorokat és a skalárokat is) (helyes) konvolúciója mindig tenzort ad (beleértve esetleg vektort vagy skalárt is).

Irodalom

Vinberg E. B. Algebra tanfolyam. - 2. - Moszkva: MTSNMO, 2014. - S. 347. - 590 p. — ISBN 978-5-4439-2013-9 .