Sherk felület

A Scherk felület (Heinrich Scherkről kapta a nevét) egy példa a minimális felületre . Sherk 1834-ben két komplett egymásba ágyazott minimális felületet írt le [1] . Első felülete kétszeresen periodikus, a második felülete pedig egyszerűen periodikus. Ez volt a harmadik nem triviális példa a minimális felületekre (az első kettő a catenoid és a helicoid ) [2] . A két felület össze van kötve egymással.

A Scherk felületek bizonyos minimális felületi problémák és a hiperbolikus tér harmonikus diffeomorfizmusainak tanulmányozása során merülnek fel .

Sherk első felülete

Az első Scherk-felület aszimptotikusan két végtelen, egymásra merőleges párhuzamos síkcsaládra hajlik. A felületek z = 0 közelében sakktáblás mintázatú hidak íveit alkotják. A felület végtelen számú egyenes függőleges vonalat tartalmaz.

Egy egyszerű Sherk felület felépítése

Tekintsük a következő minimális felületet egy négyzeten az euklideszi síkban: n természetes szám esetén keressük meg a minimális felületet valamilyen függvény grafikonjaként $\Sigma _{n}$

u_{n}:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\ pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R}

így

\lim _{y\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=+n

számára

-{\tfrac {\pi }{2}}<x<+{\tfrac {\pi }{2)),

\lim _{x\to \pm \pi /2}u_{n}\left(x,y\right)=-n

számára

-{\tfrac {\pi }{2}}<y<+{\tfrac {\pi }{2}}.

Vagyis u n kielégíti a minimális felületi egyenletet

\mathrm {div} \left({\tfrac {\nabla u_{n}(x,y)}{\sqrt {1+|\nabla u_{n}(x,y)|^{2} }}}\jobbra)\equiv 0

és

\Sigma _{n}=\left\{(x,y,u_{n}(x,y))\in \mathbb {R} ^{3}\left|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right.\right\}.

Mi fog történni a felülettel, amikor n a végtelenbe hajlik? A választ H. Sherk adta meg 1834-ben: a határfelület a függvény grafikonja $\Sigma$

u:\left(-{\tfrac {\pi }{2)),+{\tfrac {\pi }{2))\right)\times \left(-{\tfrac {\pi }{ 2)),+{\tfrac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} ,

u(x,y)=\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\right).

Vagyis a négyzet feletti Scherk felület az

\Sigma =\left\{\left.\left(x,y,\log \left({\tfrac {\cos(x)}{\cos(y)))\jobbra)\jobbra)\ in \mathbb {R} ^{3}\right|-{\tfrac {\pi }{2}}<x,y<+{\tfrac {\pi }{2}}\right\}.

Általánosabb Scherk felületek

Az euklideszi sík más négyszögein is hasonló problémákat vethetünk fel minimális felületekkel . Ugyanezt a problémát a hiperbolikus síkon lévő négyszögeken is meg lehet vizsgálni . 2006-ban Harold Rosenberg és Pascal Collin a Scherk-féle hiperbolikus felületek segítségével harmonikus diffeomorfizmust alkotott a komplex síktól a hiperbolikus síkig (hiperbolikus metrikával rendelkező egységkorong), ezzel megcáfolva a Schön-Yau sejtést .

Sherk második felülete

A második Scherk felület globálisan úgy néz ki, mint két merőleges sík, amelyek metszéspontja váltakozó irányú alagutak sorozatából áll. A vízszintes síkokkal való metszéspontjuk váltakozó hiperbolákból áll.

A felületet a következő egyenlet adja meg:

\sin(z)-\mathrm {sh} \,(x)\mathrm {sh} \,(y)=0

A felület Weierstrass-Enneper paraméterezéssel rendelkezik , és a következőképpen paraméterezhető: [3] : ${\displaystyle f(z)={\tfrac {4}{1-z^{4))))$ $g(z)=iz$

x(r,\theta )=2\Re (\ln(1+re^{i\theta })-\ln(1-re^{i\theta }))=\ln \left({ \tfrac {1+r^{2}+2r\cos \theta }{1+r^{2}-2r\cos \theta }}\right)

y(r,\theta )=\Re (4i\tan ^{-1}(re^{i\theta }))=\ln \left({\tfrac {1+r^{2}- 2r\sin \theta }{1+r^{2}+2r\sin \theta }}\right)

z(r,\theta )=\Re (2i(-\ln(1-r^{2}e^{2i\theta })+\ln(1+r^{2}e^{2i \theta }))=2\tan ^{-1}\left({\tfrac {2r^{2}\sin 2\theta }{r^{4}-1}}\right)

és . _ Ez megadja a felület egy periódusát, amely szimmetriával z irányban meghosszabbítható. $\theta \in [0,2\pi )$ $r\in(0,1)$

A felületet H. Karcher általánosította a periódusos minimális felületű pilonnyergek családjába

A szakirodalomban ezt a felületet tévesen ötödik Sherk-felületnek nevezik [4] [5] . A félreértések elkerülése érdekében érdemes a felületet egy korszak Sherk felületeként vagy Sherk-toronyként hivatkozni.

Jegyzetek

↑ Scherk, 1835 , p. 185–208.
↑ Heinrich Scherk (1798-1885) - Életrajz - MacTutor Matematika története . Letöltve: 2020. július 16. Az eredetiből archiválva : 2019. november 3. (határozatlan)
↑ Weisstein, 2002 .
↑ Kapuoleas, 2001 , p. 499.
↑ Hoffman, Meeks, 1990 .

Irodalom

Scherk HF Bemerkungen über die kleinste Fläche innerhalb gegebener Grenzen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1835. - T. 13 .
Nikolaos Kapuoleas. Minimális felületek konstrukciója minimális bemerítések ragasztásával // Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, június 25-július 27. - 2001.
David Hoffman, William H. Meeks. A minimális felületek határai és a Scherk-féle ötödik felület // Archívum a racionális mechanikához és elemzéshez. - 1990. - T. 111.
Eric W. Weisstein. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics // 2. kiadás - CRC sajtó, 2002.

Linkek

Sabitov, I. Kh. (2001), Scherk_surface , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Scherk első felülete az MSRI geometriában [1]
Scherk második felülete az MSRI geometriában [2]
Scherk minimális felületei a Mathworldben [3] Archiválva : 2020. február 21. a Wayback Machine -nél

Minimális felületek
Társult család Bura Catalana katenoid Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pilon nyereg Sherka Háromszor időszakosan Gyroid Lidinoid Neovius Schwartz