Társult család
A minimális felülethez tartozó család (vagy Bonnet család ) a minimális felületek egyparaméteres családja, amelyek ugyanazon Weierstrass-adatokon osztoznak [1] . Vagyis ha a felületnek van reprezentációja
a családot a képlet írja le
![{\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\, dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8412d52c5c7faf8f45b10c51e0b334f11ebf2ce1)
Amikor a felületet konjugált felületnek nevezzük [2] .
A transzformáció a fő görbületi irányok lokális elforgatásaként fogható fel . Egy fix pont felületi normálisai változatlanok maradnak, ha . Maga a pont egy ellipszis mentén mozog .
A kapcsolódó felszíni családok néhány példája a katenoidok és a helicoidok családja, a Schwartz P , a Schwartz D és a giroid családok , valamint az első és második Scherk felületek családja . Enneper felülete konjugált önmagához – változatlan marad, ha .
A konjugált felületek a következő tulajdonsággal rendelkeznek: a felületen lévő bármely egyenes vonal a konjugált felületén sík geodéziai vonallá tükröződik, és fordítva. Ha a felület egy darabját egyenes vonal határolja, akkor a konjugált darabot egy sík szimmetriavonal határolja. Ez akkor hasznos, ha minimális felületeket készítünk a kettős térbe való átlépéssel: a síkok korlátozása megegyezik a sokszöggel való korlátozással [3] .
Vannak analógok a minimálfelületek kapcsolódó családjaival nagyobb méretű terekben és elosztókban [4] .
Jegyzetek
- ↑ A Weierstrass-adatok a Karcher G., Simon L., Fujimoto H., Hildebrandt S., Hoffman D. Weierstrass adatok // Minimal Surfaces / Szerk. Osserman R. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 82-85. — ISBN 5-9221-0380-6 .
- ↑ Matthias Weber, Klasszikus minimális felületek az euklideszi térben példák alapján, a Minimális felületek globális elméletében: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, California, 2001. június 25–július 27. Soc American Mathematical ., 2005 [1] Archivált : 2019. július 12. a Wayback Machine -nél
- ↑ Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Háromszoros időszakos minimális felületek építése", Phil. Trans. R. Soc. London. A 1996. szeptember 16. 354 sz. 1715 2077–2104 [2] Archivált 2022. január 21-én a Wayback Machine -nél
- ↑ J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1–12, 2006 [3] Archivált 2016. március 5. a Wayback Machine -nél
Irodalom
| Minimális felületek | ||
|---|---|---|