Minimális Schwartz felület

A Schwartz -minimálfelületek periodikus minimális felületek ,  amelyeket eredetileg Karl Schwartz írt le .

Az 1880-as években Schwartz és tanítványa, E. R. Neovius periodikus minimális felületeket írt le [1] [2] . Később Alan Schoen nevezte el őket alapvető jelentésében, ahol leírta a giroidot és más háromszor periodikus minimális felületeket [3] .

A felületeket szimmetriák felhasználásával generáltuk: a Plateau-probléma megoldása adott sokszögre, a felületnek a határvonalak körüli tükröződései is szabályos minimális felületeket adnak, amelyek folytonosan kapcsolhatók az eredeti megoldáshoz. Ha a minimális felület derékszögben találkozik a síkkal, akkor a síkról egy tükörtükrözés is rögzíthető a felülethez. Ezért egy egységcellába írt megfelelő kezdeti sokszög megadásával periodikus felület szerkeszthető [4] .

A Schwarz-felületek topológiai nemzetsége 3, a háromperiodikus minimális felületek minimális nemzetsége [5] .

Ezeket modellként tekintették a blokk-kopolimerek periodikus nanostruktúráinak , a kristályok elektrosztatikus ekvipotenciális felületeinek [6] és a hipotetikus negatívan ívelt grafitfázisoknak [7] .

Schwarz felület P ("Primitive" = "Primitív")

Schön ezeket a felületeket "primitívnek" nevezte, mert két egymásba fonódó, egybevágó labirintusuk van, amelyek mindegyike egy egyszerű köbös rács felfújt csőszerű változata. Míg a szabványos P felület köbös szimmetriájú, a cellák tetszőleges téglalap alakúak lehetnek, ami egy ugyanolyan topológiájú minimális felületek családját adja [8] .

Egy felületet explicit felülettel lehet közelíteni

A P felületet a nagy felület/térfogat arányú és nagy porozitású szövet állványok prototípusának kifejlesztéséhez vették figyelembe [10] .

Schwarz felület D ("Diamond" = "Diamond")

Schön ezt a felületet "gyémántnak" nevezte, mert két egymásba fonódó, egybevágó labirintusa van, amelyek mindegyike a gyémántkötés szerkezetének felfújt üreges változata . A szakirodalomban ezt a felületet néha F felületnek is nevezik.

Egy felületet explicit felülettel lehet közelíteni

A pontos kifejezés a Weierstrass-Enneper paraméterezésen alapuló elliptikus integrálok formájában létezik [11] .

Schwarz felület H ("Hexagonal" = "Hexagonal")

A H Schwartz-felület hasonló egy háromszög határvonalú katenoidhoz , amely lehetővé teszi a teljes tér kitöltését.

Schwarz-felszíni CLP ("Crossed layers of parallels")

Illusztrációk

• http://www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/periodic.html
• A 3. nemzetség háromszoros időszakos felületei
• Bikontinuális köbös fázisok, amelyek háromszor periodikus minimális felületeken alapulnak
• Schwartz felszíne
• http://virtualmathmuseum.org/Surface/gallery_m.html

Jegyzetek

1. ↑ Schwarz, 1933 .
2. ↑ Neovius, 1883 .
3. ↑ Schoen, 1970 .
4. ↑ Karcher és Polthier 1996 , p. 2077–2104.
5. ↑ Alan Schoen geometria . Letöltve: 2020. július 30. Az eredetiből archiválva : 2020. május 26. (határozatlan)
6. ↑ Mackay, 1985 , p. 604–606.
7. ↑ Terrones, Mackay, 1994 , p. 183–195.
8. ↑ Meeks, 1990 , p. 77-936.
9. ↑ Háromszoros időszakos szintfelületek . Letöltve: 2019. február 10. Az eredetiből archiválva : 2019. február 12. (határozatlan)
10. ↑ Shin, Kim, Jeong et al., 2012 .
11. ↑ Gandy, Cvijović, Mackay, Klinowski, 1999 , p. 543–551.

Irodalom

• H. A. Schwarz. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. – Berlin: Springer, 1933.
• ER Neovius. Akad. Abhandlungen. – Helsingfors, 1883.
• Alan H. Schoen. Végtelen időszakos minimális felületek önmetszéspontok nélkül // NASA Technical Note TN D-5541 . – 1970.
• Hermann Karcher, Konrad Polthier. Háromszoros időszakos minimális felületek építése // Phil. Trans. R. Soc. London. A. - 1996. - szeptember ( 354. évf . , 1715. sz.).
• Alan L. Mackay. Időszakos minimális felületek // Természet. - 1985. - április ( 314. évf. , 6012. sz.). - doi : 10.1038/314604a0 .
• Terrones H., Mackay AL Negatívan ívelt grafit és háromszor periodikus minimális felületek. - 1994. - december ( 15. szám , 1. szám ). - doi : 10.1007/BF01277558 .
• W. H. Meeks. A háromperiódusos minimális felületek elmélete // Indiana University Math. Folyóirat. - 1990. - T. 39 , sz. 3 .
• Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim, Junseok Kim. A Schwarz P felületi pórusgeometriák végeselemes elemzése szövet-mérnöki állványokhoz // Matematikai problémák a tervezésben. - 2012. - doi : 10.1155/2012/694194 .
• Paul JF Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski. A háromszoros periodikus D ("gyémánt") minimális felület pontos kiszámítása // Chemical Physics Letters. - 1999. - December ( 314. évf. , 5-6., 10. szám ).