Lobacsevszkij tér

Lobacsevszkij tér , vagy hiperbolikus tér – állandó negatív görbületű tér . A kétdimenziós Lobacsevszkij -tér a Lobacsevszkij-sík .

A negatív görbület különbözteti meg a Lobacsevszkij-teret a nulla görbületű euklideszi tértől , amelyet az euklideszi geometria ír le , és a gömbtől - egy állandó pozitív görbületű tértől, amelyet a Riemann geometria ír le .

Az n -dimenziós Lobacsevszkij-teret általában vagy jelöli . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle {\Lambda }^{n))$

Definíció

Az n - dimenziós Lobacsevszkij - tér egy egyszerűen összekapcsolt n - dimenziós Riemann - sokaság állandó negatív metszeti görbülettel .

Hiperbolikus térmodellek

A Lobacsevszkij-tér, amelyet Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij és Bolyai János egymástól függetlenül vizsgált, az euklideszi térhez hasonló geometriai tér , de az eukleidészi párhuzamossági axióma nem teljesül benne. Ehelyett a párhuzamosság axiómáját a következő alternatív axióma váltja fel (a kettes dimenziós térben):

Adott bármely L egyenes és egy P pont, amely nem az L egyenesen van, akkor legalább két különálló egyenes van P -n keresztül , amelyek nem metszik L -t .

Ez magában foglalja azt a tételt, hogy végtelenül sok ilyen egyenes megy át P -n . Az axióma nem határozza meg egyértelműen a Lobacsevszkij-síkot a mozgásig , mivel állandó görbületet kell beállítani, K < 0 . Az axióma azonban meghatározza a síkot a homotétikusságig , azaz olyan transzformációkig, amelyek valamilyen állandó tényezővel változtatják a távolságot elforgatás nélkül. Ha ki tudunk választani egy megfelelő hosszúsági skálát, akkor az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy K = −1 .

Lehetőség van Lobacsevszkij-terek modelljeinek megépítésére, amelyek beágyazhatók sík (vagyis euklideszi) terekbe. A Lobacsevszkij-térmodell euklideszi létezéséből különösen az következik, hogy a párhuzamosság axiómája logikailag független az euklideszi geometria egyéb axiómáitól.

A Lobacsevszkij-térnek számos fontos modellje van - a Klein-modell , a hiperboloid-modell, a Poincaré-modell egy labdában és a Poincaré-modell a felső félsíkban. Ezeknek a modelleknek ugyanaz a geometriája abban az értelemben, hogy bármelyik kettőt egy olyan transzformáció köti össze, amely megőrzi az általuk leírt hiperbolikus tér összes geometriai tulajdonságát.

Hiperboloid modell

A hiperboloid modell a Lobacsevszkij teret hiperboloidként valósítja meg -ban . A hiperboloid azon pontok lokusza, amelyek koordinátái kielégítik az egyenletet $\mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1, ...,n\}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.

Ebben a modellben az egyenes (vagyis geodéziai ) egy görbe, amelyet a pontban lévő origón átmenő sík metszéspontja alkot . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\R^{n+1}$

A hiperboloid modell szorosan összefügg a Minkowski tér geometriájával . másodfokú forma

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},

amely egy hiperboloidot határoz meg, lehetővé teszi a megfelelő bilineáris forma megadását

B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ cdots -x_{n}y_{n}.

A B bilineáris formával ellátott tér ( n +1)-dimenziós Minkowski tér . $\R^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$

Egy hiperboloid modellen úgy határozhatunk meg "távolságot", hogy [1] két x és y pont közötti távolságot definiáljuk ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

d(x,y)=\operátornév {arch} B(x,y).

Ez a függvény metrika, mivel egy metrikus tér axiómái teljesülnek rá . Az ortokrón Lorentz csoport O + ( n ,1) hatására megőrződik . Ezért az ortokrón Lorentz -csoport távolságmegtartó automorfizmusok , azaz mozgások csoportjaként hat . $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

Klein modellje

Lobacsevszkij geometriájának egy alternatív modellje egy bizonyos terület a projektív térben . A Q Minkowski másodfokú forma egy részhalmazt definiál, amely azon pontok halmazaként van definiálva, amelyeknél x homogén koordinátákban van . Az U n régió a Lobacsevszkij-tér Klein-modellje . $U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}$ $Q(x)>0$

Ebben a modellben az egyenes vonalak a környező projektív tér nyitott szegmensei, amelyek U n -ben helyezkednek el . Két x és y pont közötti távolság U n - ben a következőképpen definiálható

d(x,y)=\operátornév {arch} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))}\jobbra).

Ez a távolság jól definiált egy projektív téren, mivel a szám nem változik, ha minden koordináta ugyanazzal a tényezővel változik (ameddig a homogén koordinátákat meghatározzuk). ${\displaystyle {\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))))$

Ez a modell a következő módon kapcsolódik a hiperboloid modellhez. Minden pont megfelel az L x egyenesnek az origón keresztül a projektív tér meghatározása szerint. Ez az egyenes egyetlen pontban metszi a hiperboloidot . Megfordítva: bármely ponton keresztül egyetlen egyenes halad át az origón (ami egy pont a projektív térben). Ez a megfeleltetés bijekciót határoz meg U n és között . Ez egy izometria, mivel a d ( x , y ) kiszámítása a távolság definícióját reprodukálja a hiperboloid modellben. $x\in U^{n}$ $\R^{n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $Q(x)=Q(y)=1$

A Poincaré-modell labdában

Az euklideszi Lobacsevszkij geometriájának két szorosan összefüggő modellje van: a Poincaré-modell a labdában és a Poincaré-modell a felső félsíkban.

A labdamodell egy hiperboloid hipersíkba való sztereografikus vetületéből származik . További részletek: legyen S egy pont koordinátákkal (−1,0,0,...,0) - a déli pólus a sztereográfiai vetítéshez. A hiperboloid minden P pontjára legyen P ∗ az SP egyenes és a sík egyetlen metszéspontja . $\R^{n+1}$ $\{x_{0}=0\}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\{x_{0}=0\}$

Ez beállítja a bijektív térképet az egységgolyóra ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

B^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\ }

az { x 0 = 0} síkban .

Ebben a modellben a geodetikus elemek a B n gömb határára merőleges félkörök . A golyóizometriákat a határra merőleges hipergömbökhöz képest gömb alakú inverziókkal alakítjuk ki.

A Poincaré-modell a felső félsíkban

A felső félsík modelljét a Poincaré-modellből kapjuk a golyóban , a Poincaré-modell B n határán (lásd fentebb) a modell sugarának kétszeresével megegyező sugarú inverzió alkalmazásával.

Ez a transzformáció a köröket körökké és egyenesekké képezi le (utóbbi esetben - ha a kör áthalad az inverzió középpontján) - és ráadásul konform leképezésről van szó . Ezért a felső félsík modelljében a geodetikusok a hipersík határára merőleges egyenesek és (fél)körök.

Hiperbolikus sokaságok

Bármely teljes , összefüggő , egyszerűen összekapcsolt állandó negatív görbületű −1 sokaság izometrikus a Lobacsevszkij-térrel . Ennek eredményeként bármely –1 állandó negatív görbületű zárt M sokaság, azaz a hiperbolikus sokaság univerzális fedele : . Ekkor bármely ilyen M sokaság felírható így , ahol egy diszkrét torziómentes izometria csoport a -n . Vagyis ez egy rács SO + ( n ,1) -ben . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\Gamma$

Riemann felületek

A kétdimenziós hiperbolikus felületek Riemann-felületekként is értelmezhetők . Az uniformizálási tétel szerint bármely Riemann-felület elliptikus , parabolikus vagy hiperbolikus . A legtöbb hiperbolikus felületnek van egy nem triviális alapcsoportja . Az így létrejött csoportokat fuksziánusnak nevezzük . A felső félsík hányadosterét az alapcsoporthoz viszonyítva a hiperbolikus felület fuksziánus modelljének nevezzük . A felső Poincare félsík szintén hiperbolikus, de egyszerűen össze van kötve és nem kompakt . Ezért más hiperbolikus felületek univerzális borítása . $\pi _{1}=\Gamma$ $\mathbb {H} ^{2}/\Gamma$

A háromdimenziós hiperbolikus felületek hasonló konstrukciója a Klein-modell .

Lásd még

Merevség híd
Hiperbolikus elosztó
Hiperbolikus 3-elosztó
Murakami-Yano képlet
Pszeudoszféra
Dini felület

Jegyzetek

↑ Ez a kifejezés hasonló a gömb húrmetrikájához , amelyben a kifejezés hasonló, de a hiperbolikus függvények helyett trigonometrikus függvényeket használnak.

Irodalom

Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Megjegyzések a hiperbolikus geometriához // Strasbourg Master class on Geometry . - Zürich: Európai Matematikai Társaság (EMS), 2012. - 20. évf. 18. - P. 1-182. — (IRMA Matematika és elméleti fizika előadások). — ISBN 978-3-03719-105-7 . - doi : 10.4171/105. .
John G. Ratcliffe. A hiperbolikus sokaságok alapjai . – New York, Berlin: Springer-Verlag, 1994.
William F. Reynolds. Hiperbolikus geometria hiperboloidon // American Mathematical Monthly . - 1993. - Iss. 100 . — P. 442–455 .
Joseph A Wolf. Állandó görbületű terek . - 1967. - P. 67. Fordítás:
- Wolf J. Állandó görbületű terek. - M . : "Nauka", 1982.
A hiperbolikus Voronoi-diagramok egyszerűvé váltak, Frank Nielsen

Szótárak és enciklopédiák	nagy kínai