Riemann geometria

A Riemann - geometria (más néven elliptikus geometria ) az állandó görbületű nemeuklideszi geometriák egyike (a többi a Lobacsevszkij-geometria és a gömbgeometria ). Ha Euklidész geometriája nulla Gauss-görbületű , Lobacsevszkij negatív görbületű térben valósul meg, akkor Riemann geometriája állandó pozitív görbületű térben valósul meg (kétdimenziós esetben a projektív síkon és lokálisan a gömbön ).

A Riemann-geometriában az egyenest két pont, a síkot három, két sík metszi egy egyenes mentén, és így tovább, de a Riemann-geometriában nincsenek párhuzamos egyenesek. A Riemann-geometriában, akárcsak a gömbgeometriában, igaz az állítás: egy háromszög szögeinek összege nagyobb, mint két egyenes, a képlet ott játszódik le, ahol a háromszög szögeinek összege, a gömb sugara amelyen a geometria megvalósul. $\Sigma =\pi +{S}/{R^{2)),$ $\Sigma$ $R$

A Riemann-féle kétdimenziós geometria hasonló a gömbgeometriához , de abban különbözik, hogy bármely két „egyenesnek” nem kettő, hanem csak egy metszéspontja van, mint a gömb alakúnál. A gömb ellentétes pontjainak azonosításával egy projektív síkot kapunk , amelynek geometriája kielégíti a Riemann-geometria axiómáit.

Tekintsünk egy gömböt, amelynek középpontja a háromdimenziós tér egy pontja . Minden pont a gömb középpontjával együtt meghatároz valamilyen egyenest , vagyis a projektív sík egy pontját . Az egymás mellé helyezés határozza meg a leképezést , a -n lévő nagykörök (gömbgeometriában az egyenesek) egyenesekké mennek a projektív síkon , míg a gömbnek pontosan két pontja megy egy pontba: a ponttal és a vele átlósan ellentétes ponttal együtt (ld. ábra). A tér euklideszi mozgásai , amelyek a gömböt magukba veszik, a projektív sík bizonyos transzformációit adják , amelyek a Riemann-geometria mozgásai . A Riemann-geometriában bármely egyenes metszi egymást, mivel ez igaz a projektív síkra, így nincs benne párhuzamos egyenes. $S$ $O$ $E$ $A\in S$ $O$ $l\E részhalmaz$ $A_{*}$ $\Pi$ $A\–A_{*}$ $S\to\Pi$ $S$ $\Pi$ $A_{*}\in \Pi$ $A\in S$ $A'\in S$ $E$ $S$ $\Pi$

Az egyik különbség a Riemann-féle geometria és az euklideszi geometria és a Lobacsevszkij-geometria között az, hogy nincs benne természetes fogalom, hogy „a C pont az A és B pontok között fekszik ” (ez a fogalom a gömbgeometriában is hiányzik). Valójában egy nagy kör a gömbön jelenik meg a projektív sík egyenes vonalán , és a gömb két egymással átlósan ellentétes pontja egy pontba megy át . Hasonlóképpen, a pontok egy pontra, a pontok pedig egy pontra mennek . Tehát azonos okkal feltételezhetjük, hogy a pont és között van , és nem közöttük (lásd az ábrát). $\Pi$ $S$ $A$ $A'$ $A_{*}\in \Pi$ ${\megjelenítési stílus B,B'}$ $B_{*}\in \Pi$ $C,C'$ $C_{*}\in \Pi$ $C_{*}$ $A_{*}$ $B_{*}$

Irodalom

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometria. — M.: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Mi a nemeuklideszi geometria. — M.: URSS, 2007.
Alekseevskii DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Állandó görbületű terek geometriája. In: Itogi nauki i tekhniki. A matematika modern problémái. alapvető irányok. - M.: VINITI, 1988. - T. 29. - S. 1-146.
Berger M. Geometria. / Per. franciából - M.: Mir, 1984. - II. kötet, V. rész: A gömb belső geometriája, hiperbolikus geometria, gömbök tere.
Efimov N. V. Magasabb geometria. - 7. kiadás — M.: Fizmatlit , 2003. — 584 p. — ISBN 5-9221-0267-2 .
Klein F. Nem-euklideszi geometria. - Bármilyen kiadás.
Stepanov N. N. Szférikus trigonometria. - L.-M., 1948.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineáris algebra és geometria. — M.: Fizmatlit, 2009.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy orosz Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 1025719271