Metszeti görbület

A metszeti görbület az egyik módja a Riemann-féle sokaságok görbületének leírására .

Definíció

A metszetgörbület függvénye , amely egy pontban (vagyis egy kétdimenziós síkban a pontban lévő érintőtérben ) függ a metszet irányától . Ez egyenlő a felület exponenciális leképezéssel kialakított Gauss-görbületével , a pontban mérve . $K(\sigma )$ $\sigma$ $p$ $p$ $p$

Tulajdonságok

Ha két lineárisan független vektor van -ben , akkor $v,\;u$ $\sigma$ $K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},$ ahol $K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$

a a görbületi transzformációt jelöli .

R(u,\;v)

- Ez a képlet a következőképpen írható át $K(\sigma )={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2 }}.$

A következő képlet azt mutatja, hogy a metszeti görbület teljes mértékben leírja a görbületi tenzort: $6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$ ${\megjelenítési stílus [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-}$ ${\megjelenítési stílus [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].}$
- egyszerűbb formában, részleges származékok használatával : $\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.$

Toponogov összehasonlító tétele olyan feltételt ad egy Riemann-sokaságban lévő háromszög szögeire, amely ekvivalens metszeti görbületének valamilyen állandóval való korlátjával.