Hiperbolikus háromszög

A hiperbolikus geometriában a hiperbolikus háromszög a hiperbolikus síkban lévő háromszög . Három szakaszból áll , amelyeket oldalaknak vagy éleknek neveznek , és három pontból , amelyeket sarkoknak vagy csúcsoknak neveznek .

Az euklideszi esethez hasonlóan egy tetszőleges dimenziójú hiperbolikus tér három pontja mindig ugyanabban a síkban van. Ezért a síkbeli hiperbolikus háromszögek olyan háromszögeket is leírnak, amelyek bármely nagy dimenziós hiperbolikus térben lehetségesek.

Definíció

Egy hiperbolikus háromszög három nem kollineáris pontból és a köztük lévő három szakaszból áll [1] .

Tulajdonságok

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai hasonlóak az euklideszi geometriában lévő háromszögekéhez :

Minden hiperbolikus háromszögnek van egy beírt köre , de nem minden hiperbolikus háromszögnek van körülírt köre (lásd lent) [2] [3] . Csúcsai horocikluson vagy hiperciklusokon helyezkedhetnek el .

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai hasonlóak a gömb- vagy elliptikus geometriájú háromszögekéhez :

Két azonos szögösszegű háromszög területe egyenlő.
A háromszögek területének felső határa van.
A beírt kör sugarán van egy felső korlát .
Két háromszög akkor és csak akkor egybevágó, ha egy egyenesre vonatkozó véges számú visszaverődés eredményeként mennek át egymásba.
Két azonos szögű háromszög egybevágó (azaz minden hasonló háromszög egybevágó).

A hiperbolikus háromszögek tulajdonságai ellentétesek a gömb- vagy elliptikus geometriájú háromszögekéivel :

Egy háromszög szögeinek összege kisebb, mint 180°.
A háromszög területe arányos a szögösszegének hiányával (180°-ig).

A hiperbolikus háromszögek olyan tulajdonságokkal is rendelkeznek, amelyek más geometriákban nem találhatók meg:

Néhány hiperbolikus háromszögnek nincs körülírt köre , ami akkor van, ha legalább az egyik csúcs ideális pont , vagy ha az összes csúcs egy horocikluson vagy egy egyoldalú hipercikluson található .
A hiperbolikus háromszögek vékonyak , az egyik oldalon lévő ponttól a másik két oldalig maximális távolság δ. Ez az elv δ-hiperbolikus terekhez vezet .

Háromszögek tökéletes csúcsokkal

A háromszög definíciója általánosítható úgy, hogy a csúcsok a hipersík ideális határán helyezkednek el úgy , hogy az oldalak a síkon belül fekszenek. Ha egy oldalpár aszimptotikusan párhuzamos (vagyis az ideális ponthoz közeledve a köztük lévő távolság nullára hajlik , de nem metszik egymást), akkor az ideális csúcsban végződnek , amelyet az omega-pont képvisel .

Egy ilyen oldalpárról azt mondják, hogy nulla szöget alkot.

A nulla szögű háromszög nem lehetséges az euklideszi geometriában különböző egyeneseken fekvő egyenes oldalak esetén . Ilyen nullaszögek azonban lehetségesek érintőköröknél .

Az egy tökéletes csúcsú háromszöget omega-háromszögnek nevezzük .

Speciális háromszögtípusok tökéletes csúcsokkal:

A párhuzamosság háromszöge

Olyan háromszög, amelyben egy csúcs ideális pont, egy szög derékszög - a harmadik szög a derékszög és a harmadik szög közötti oldal párhuzamossági szöge.

Schweikert háromszög

Olyan háromszög, amelyben a csúcsok közül kettő tökéletes pont, a fennmaradó szög pedig derékszög . Ez az egyik első hiperbolikus háromszög (1818), amelyet Ferdinand Karl Schweikert írt le.

Tökéletes háromszög

Olyan háromszög, amelyben minden csúcs ideális pont. Egy ilyen háromszög a legnagyobb a lehetséges háromszögek közül Lobacsevszkij geometriájában, mivel szögösszege nulla.

Szabványos Gauss-görbület

A szögek és oldalak közötti kapcsolatok hasonlóak az azonos objektumok közötti kapcsolatokhoz a gömbi trigonometriában . A gömb- és Lobacsevszkij-geometria hosszskálája például egy egyenlő oldalú háromszög rögzített szögű oldalának hosszaként definiálható.

A hosszskála a legkényelmesebb, ha a hosszokat abszolút hosszban mérjük (egy speciális hosszegység, amely analóg a gömbgeometriában a távolságok arányával ). A hosszskála megválasztása megkönnyíti a képleteket [4] .

A felső félsíkon a Poincaré-modellt tekintve az abszolút hosszúság az infinitezimális metrikának felel meg , a Poincaré -korongmodellben pedig $ds={\frac {|dz|}{\operátornév {Im} (z)))$ ${\displaystyle ds={\frac {2|dz|}{1-|z|^{2))))$

A hiperbolikus sík (konstans negatív) Gauss-görbületét tekintve az abszolút hosszúság mértékegysége a hossznak felel meg.

R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}.

Egy hiperbolikus háromszögben az A , B , C szögek összege (amelyek azonos betűkkel szemközti oldalaknak felelnek meg) szigorúan kisebb, mint az egyenes szög . Az egyenes szög mértéke és a háromszög szögeinek összege közötti különbséget a háromszög hibájának nevezzük . Egy hiperbolikus háromszög területe egyenlő a hibájának az R négyzet szorzatával :

(\pi -ABC)R^{2}{}{}.\!

Ez a tétel, amelyet először Johann Heinrich Lambert [5] bizonyított , összefügg Girard gömbgeometriai tételével .

Trigonometria

Minden alábbi képletben az a , b és c oldalakat abszolút hosszban kell mérni , egy mértékegységben úgy, hogy a felület K Gauss-görbülete −1. Más szavakkal, a fenti bekezdésben szereplő R értékét 1-gyel egyenlőnek kell tekinteni.

A hiperbolikus háromszögek trigonometrikus képletei az sh, ch és th hiperbolikus függvényektől függenek .

Derékszögű háromszögek trigonometriája

Ha C a derékszöget jelenti , akkor:

Az A szög szinusza egyenlő az A szemközti oldal hiperbolikus szinuszával, osztva a c hipotenusz hiperbolikus szinuszával .

\sin A={\frac {\mathrm {sh} \,a}{\,\mathrm {sh} \,c\,}}.\,

Az A szög koszinusza egyenlő a szomszédos b láb hiperbolikus tangensével osztva a c hipotenusz hiperbolikus tangensével .

\cos A={\frac {\mathrm {th} \,b}{\,\mathrm {th} \,c\,}}.\,

Az A szög érintője egyenlő az a szemközti láb hiperbolikus tangensével , elosztva a szomszédos b ág hiperbolikus szinuszával .

\mathrm {tg} \,A={\frac {\mathrm {th} \,a}{\,\mathrm {sh} \,b\,}}.

Az A szög szomszédos b lábának hiperbolikus koszinusza egyenlő a B szög koszinuszával osztva az A szög szinuszával .

{\textrm {ch(b)}}={\frac {\cos B}{\sin A)).

A c hipotenusz hiperbolikus koszinusza egyenlő az a és b lábak hiperbolikus koszinuszának szorzatával .

{\textrm {ch(c)))={\textrm {ch(a)))}{\textrm {ch(b)))).

A H hipotenusz hiperbolikus koszinusza egyenlő a szögek koszinuszainak szorzatával osztva a szinuszaik szorzatával [6] .

ch(H)

={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B))=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B

Szögök közötti kapcsolatok

A következő egyenlőségek igazak [7] :

\cos A=\mathrm {ch} \,a\sin B

\sin A={\frac {\cos B}{\mathrm {ch} \,b))

\mathrm {tg} \,A={\frac {\cot B}{\mathrm {ch} \,c))

\cos B=\mathrm {ch} \,b\sin A

\mathrm {ch} \,c=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B

Terület

Egy derékszögű háromszög területe:

Négyzet

={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B

szintén

{\textrm {Area}}=2\arctan(\mathrm {th} \,({\frac {a}{2}})\mathrm {th} \,({\frac {b}{2 }})))

[8] . A párhuzamosság szöge

A Derékszögű Omega-háromszög példány konfigurációt biztosít a háromszög párhuzamossági szögének tesztelésére .

Abban az esetben, ha a szög B = 0, a = c = és , azt kapjuk, hogy ( b = szomszédos láb) $\infty$ ${\textrm {th}}(\infty )=1$ $\cos A={\textrm {th(b))).$

Egyenlő oldalú háromszög

A derékszögű háromszög trigonometrikus képlete egy egyenlő oldalú háromszög s oldalai és A szögei közötti összefüggést is megadja (olyan háromszög, amelynek minden oldala azonos hosszúságú és minden szög egyenlő):

$\cos A={\frac {{\textrm {th}}{\frac {1}{2}}s}({\textrm {th}}(s)))$

$\mathrm {ch} \,{\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A))) ={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)))$

Általános trigonometria

Függetlenül attól, hogy C derékszög-e vagy sem, a következő összefüggések érvényesek: A koszinuszok hiperbolikus törvénye :

\mathrm {ch} \,c=\mathrm {ch} \,a\mathrm {ch} \,b-\mathrm {sh} \,a\mathrm {sh} \,b\cos C,

Törvény kettős tétel

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\mathrm {ch} \,c,

Létezik a szinusz törvénye is :

{\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C }{\mathrm {sh} \,c)),

és a négytagú képlet:

\cos C\mathrm {ch} \,a=\mathrm {sh} \,a\mathrm {ch} \,b-\sin C\mathrm {ctg} \,B.

Lásd még

Bugyi (matematika)
háromszög csoport

Hiperbolikus trigonometria esetén:

Jegyzetek

↑ Stothers, 2000 .
↑ Atanasyan L. S. Circle // Lobacsevszkij geometriája / szerk. M. S. Strigunova . — M. : BINOM. Tudáslaboratórium, 2014. — P. 125—126. — 467 p. - ISBN 978-5-9963-2364-7 .
↑ Atanasyan L. S. A háromszög figyelemre méltó pontjai és vonalai // Lobachevsky Geometry / szerk. M. S. Strigunova . — M. : BINOM. Tudáslaboratórium, 2014. – P. 166-167. — 467 p. - ISBN 978-5-9963-2364-7 .
↑ Needham, 1998 , p. 270.
↑ Ratcliffe, 2006 , p. 99.
↑ Martin, 1998 , p. 433.
↑ Smogorzhevski, 1982 , p. 63.
↑ Matematika stackexchange, 2015 .

Irodalom

Stothers Wilson. Hiperbolikus geometria . — University of Glasgow , 2000. , Interaktív oldal
Tristan Needham. Vizuális komplex elemzés . - Oxford University Press, 1998. - P. 270. - ISBN 9780198534464 .
John Ratcliffe. A hiperbolikus elosztók alapjai . - Springer, 2006. - V. 149. - P. 99. - (Diplomás szövegek matematikából). — ISBN 9780387331973 . Idézet: "Az. Az, hogy egy hiperbolikus háromszög területe arányos a szögek hibájával, először Lambert Theorie der Parallellinien című monográfiájában jelent meg, amely 1786-ban jelent meg.
George E. Martin. A geometria alapjai és a nemeuklideszi sík . - Javított 4. print .. - New York, NY: Springer, 1998. - P. 433 . — ISBN 0-387-90694-0 .
Smogorzhevski AS Lobachevsky geometria . - Moszkva: Mir Kiadó, 1982. - 63. o .
Derékszögű hiperbolikus háromszög területe az oldalhosszak függvényében // Matematika veremcsere . — 2015.

Olvasás további olvasáshoz

Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups , University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5