Konform euklideszi modell

A konform euklideszi modell vagy a Poincaré-modell a Lobacsevszkij-tér modellje.

A modellnek különböző változatai vannak - körben ( sztereográfiai vetítés ) és félsíkon Lobacsevszkij planimetriájához , valamint gömbben és féltérben - Lobacsevszkij sztereometriájához .

A konform euklideszi modell arról nevezetes, hogy benne a sarkokat közönséges szögekkel ábrázolják, vagyis ez a modell konform [1] , ellentétben a projektív modellel , amelyben a szögek meghatározása sokkal nehezebb.

Történelem

Ezt a modellt Eugenio Beltrami javasolta a projektív modellel és a pszeudoszféra modellel együtt . [2] A metrika a konform euklideszi modellben Riemann híres "A geometria alapjául szolgáló hipotézisekről" című előadásában is megtalálható , de Beltrami volt az, aki felfedezte a kapcsolatot Lobacsevszkij geometriájával. Ezt követően Henri Poincaré felfedezte ennek a modellnek az összefüggéseit egy komplex változó függvényelméletének problémáival, ami Lobacsevszkij geometriájának egyik első komolyabb alkalmazását adta .

Modellek körben és labdában

A Lobacsevszkij-síkot egy kör belsejének tekintjük (az ábrán látható) az euklideszi térben; egy adott kör (a kör) határát „abszolútnak” nevezzük. A geodéziai vonalak szerepét az ebben a körben található , az abszolútra merőleges körívek és átmérői töltik be; A mozgások szerepe az inverziók kombinációjával kapott transzformációk olyan körökhöz képest, amelyek ívei egyenesként szolgálnak. $(a,\;b,\;b')$

A Lobacsevszkij-sík metrikája a konform euklideszi modellben az egységkörben: $ds$

ds^{2}={\frac {4}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2))}(dx^{2}+dy^{2 }),

ahol és az abszcissza és az ordináta tengely [3] . $x$ $y$

Hasonlóképpen, egy gömbben lévő konform euklideszi modellnél az abszolútum szerepét a háromdimenziós euklideszi tér határgömbje, a Lobacsevszkij-tér pedig a labda belseje játssza.

Távolságok

Egy egységkör komplex koordinátáiban a távolságok a következő képlettel számíthatók ki:

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d_{h}(z,w)]=\left|{\frac {zw}{1-z\ cdot {\bar {w}}}}\right|.

A távolság kettős arányban fejezhető ki . Ha az íven a pontok a következő sorrendben helyezkednek el: , , , akkor a pontok és pontok közötti távolság a Lobacsevszkij-geometriában egyenlő $w_{1}$ $z_{1}$ $w_{1}$ $w$ $z$ $z_{1}$ $w$ $z$

d_{h}(z,w)=\ln \left({\frac {z-w_{1}}{z-z_{1}}}:{\frac {w-w_{1}} {w-z_{1}}}\jobbra)

Félsík és féltér modellek

A Poincare-féle félsík modellben a felső félsíkot Lobacsevszkij- síknak tekintjük . A félsíkot (vagyis az abszcissza tengelyt) határoló egyenest "abszolútnak" nevezzük. Az egyenesek szerepét az ebben a félsíkban található félkörök töltik be, amelyeknek középpontja az abszolútum és a rá merőleges sugarak (vagyis a függőleges sugarak), amelyek az abszolútumtól indulnak. A mozgások szerepe a véges számú inverzió összeállításával kapott transzformációk, amelyek középpontjában az abszolút és a tengelyes szimmetriák állnak, amelyek tengelyei merőlegesek az abszolútra.

A Lobacsevszkij-sík metrikájának a konform euklideszi modellben a felső félsíkban a következő alakja van: [3] , ahol és téglalap koordináták, amelyek párhuzamosak, illetve merőlegesek az abszolútra. $ds$ $ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})$ $u$ $v$

Ennek megfelelően a konform euklideszi modellben egy féltérben az abszolútum szerepét egy sík játssza a háromdimenziós euklideszi térben, a Lobacsevszkij -tér pedig az ezen a síkon fekvő féltér.

Lásd még

A Pick-tétel a Schwartz-lemma invariáns formája , amely távolságokat használ a konform euklideszi modellben.

Jegyzetek

↑ Popov A.G. Pszeudoszférikus felületek és a matematikai fizika néhány problémája . Letöltve: 2007. július 24. Az eredetiből archiválva : 2022. március 20. (határozatlan)
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
fordítás: Beltrami E. Az állandó görbületű terek elméletének alapjai. // A geometria alapjairól: Gyűjtemény. - M. : GITTL, 1956. - S. 342-365 .
↑ 1 2 Buyalo S. V. "A metrikus terek aszimptotikus geometriája" előadás 2004 tavaszán.

Irodalom

Chernikov N. A. Bogolyubov transzformáció és Lobacsevszkij planimetria. 4. szakasz, két Poincaré-modell összehasonlítása. (nem elérhető link 2013-05-18 [3446 nap] óta - előzmények )
Samarov K., Uroev V. "Poincare-modell". — Quantum magazin. – 1984. - 6-os szám.