Pick tétele (komplex elemzés)

A Pick -tétel vagy a Schwarz - Pick - tétel a Schwarz-lemma invariáns megfogalmazása és általánosítása .

Megfogalmazás

Legyen egy szabályos analitikus függvény az egységkörtől az egységkörig $w=f(z)$

Q=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\right\};\;f:Q\to Q.

Ekkor bármely pont és kör esetén a Lobacsevszkij-sík konform euklideszi modelljében a képeik közötti távolság nem haladja meg a köztük lévő távolságot: $z_{1}$ $z_{2}$ $K$

d(w_{1},\;w_{2})\leq d(z_{1},\;z_{2}),\ \ w_{1}=f(z_{1}),\ w_{2}=f(z_{2})

Ezenkívül az egyenlőség csak akkor érhető el, ha van egy lineáris-tört függvény , amely a kört önmagára képezi le. $w=f(z)$ $K$

Mert a

\mathop {\rm {th}} [{\tfrac {1}{2}}\cdot d(z,\;w)]={\frac {\left|zw\right|}{\left |1-{\overline {z}}\cdot w\right|}},

állapot

d(w_{1},\;w_{2})\leqslant d(z_{1},\;z_{2})

egyenlő a következő egyenlőtlenséggel:

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1)))))f(z_{2}) } }\right|\leqslant {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|1-{\overline {z_{1))}z_{2}\right| } }.

Ha és végtelenül közel vannak, akkor azzá alakul $z_{1}$ $z_{2}$

{\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2))}\leqslant {\frac {1}{1-\left|z \right|^{2}}}.

Pick G. Mathematische Annalen. - 1916. - Bd 77. - S. 1-6.
Goluzin GM Komplex változó függvényeinek geometriai elmélete . - 2. kiadás - M., 1966.