Kettős kapcsolat

A számok négyesének , , ( valós vagy komplex ) kettős arányát (vagy összetett arányát vagy elavult anharmonikus arányát ) a következőképpen definiáljuk: $a$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)={\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}.

Vannak még szimbólumok és . ${\megjelenítési stílus (a,b;c,d)}$ $[a,b;c,d]$

Tulajdonságok

$(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$
A kettős arány a lineáris-tört transzformációk során megmarad , különösen nem függ az egyenes koordinátáinak megválasztásától.

(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)

Különösen, ha egy számnégyes kettős aránya , akkor a 4-es 24 permutációjának bármelyikének kettős aránya egyenlő a következő hat érték valamelyikével:

\lambda

\lambda ,{\frac {1}{\lambda )),1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda )),{\frac {\lambda -1}{\lambda } },{\frac {\lambda }{\lambda -1))

Változatok és általánosítások

Az egy ( valós vagy összetett ) egyenesen fekvő négy pont , , kettős (vagy összetett) arányát számnak nevezzük. $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {ca}{cb)):{\frac {da}{db)),

ahol , , , , , , pontok koordinátáit jelöli . A kettős arány nem függ az egyenes koordinátájának megválasztásától. Ezt is gyakran így írják: $a$ $b$ $c$ $d$ $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {AC}{BC)):{\frac {AD}{BD)),

ami azt jelenti, hogy (illetve ) az irányított szegmensek arányát jelöli . $AC/BC$ $AD/BD$

Az egyenes négy pontjának kettős kapcsolata megmarad a sík vagy tér projektív transzformációi során .

Az egy ponton átmenő négy egyenes , , , kettős aránya a szám $a$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c))):{\frac {\sin(a,d)}{\sin( b,d)}},

amelynek előjelét a következőképpen választjuk: ha a vonalak által alkotott szögek egyike és nem metszi egyik egyenest sem vagy (jelen esetben a vonalpárt és nem választja el a vonalpárt és ), akkor ; különben . $a$ $b$ $c$ $d$ $a$ $b$ $c$ $d$ $(ab,cd)>0$ $(ab,cd)<0$

Hagyja, hogy a négy egyenes , , , menjen át a ponton , és az egyenes nem tartalmazza a . Hagyja, hogy a , , , vonalak metszenek rendre a , , és pontokban . Akkor $a$ $b$ $c$ $d$ $O$ $\ell$ $O$ $a$ $b$ $c$ $d$ $\ell$ $A$ $B$ $C$ $D$ $(ab,cd)=(AB,CD).$

Lásd még

Linkek

R. Courant , G. Robbins : Mi a matematika?
A pontok anharmonikus aránya // Brockhaus és Efron enciklopédikus szótára : 86 kötetben (82 kötet és további 4 kötet). - Szentpétervár. , 1890-1907.
Kendő, Michel . Négy pont vagy négy vonal anharmonikus függvényéről // A geometriai módszerek keletkezésének és fejlődésének történeti áttekintése. T. 2. kb. IX. M., 1883.