Saccheri négyszög

A Saccheri-négyszög olyan négyszög , amelynek két egyenlő oldala merőleges az alapra. Girolamo Saccheriről kapta a nevét , aki a Minden folttól megtisztított Euclid című művében ( Euclides ab omni naevo vindicatus , először 1733-ban) használta. Saccheri ebben a munkában az ötödik posztulátumot próbálta bizonyítani az „ ellentmondásos ” módszerrel.

Korábban, a XI. század végén a Sakkeri négyszöget Omar Khayyam is figyelembe vette [1] .

Egy Saccheri-négyszögben a és oldalak egyenlő hosszúságúak és merőlegesek az alapra . A és -nél lévő szögeket felső szögeknek , a másik két szöget alsó szögnek nevezzük .

A Saccheri-négyszög hasznos tulajdonsága, hogy az azt tartalmazó sík típusát egyetlen kérdésre adott válasz határozza meg egyértelműen:

A felső sarkok jobbak, tompa vagy hegyesek?

Kiderült, hogy ha a felső szögek derékszögűek, akkor az ötödik posztulátum teljesül a síkon , ha élesek, akkor a sík hiperbolikus , ha pedig tompaszögűek, akkor a sík elliptikus (a posztulátumok további változtatásainak függvényében [ 2] ).

Saccheri azt remélte, hogy a tompa- és hegyesszögek esetei ellentmondásba vezetnek Eukleidész axiómáival. Ezt mutatta a tompaszögeknél, és ahogy neki tűnt, az éleseknél is (ami nyilvánvalóan rossz volt) [3] .

Történelem

A Sakkeri négyszöggel először Omar Khayyam foglalkozott a 11. század végén [1] . Eltérően sok előtte és utána, Khayyam nem kísérelte meg bizonyítani az ötödik posztulátumot , mint olyat, hanem a „filozófus alapelveiből” ( Arisztotelész ) származó megfelelő posztulátumra támaszkodott :

Két konvergáló egyenes metszi egymást, és nem lehetséges, hogy két konvergáló egyenes elváljon abban az irányban, amelyben korábban konvergáltak [4] .

Khayyam mindhárom lehetőséget megvizsgálta a Saccheri-négyszög felső sarkaira, és számos tételt bebizonyított. Posztulátuma alapján (helyesen) cáfolta a tompa és akut eseteket, és ebből vezette le Eukleidész klasszikus posztulátumát.

600 évvel később Giordano Vitale a Saccheri-négyszög segítségével bebizonyította, hogy ha három pont egyenlő távolságra van az alaptól és a csúcstól , akkor mindenhol azonos távolságra vannak.

Maga Saccheri a posztulátum hosszú bizonyításában azt javasolta, hogy a felső szögek hegyesek, ami után, anélkül, hogy sejtette volna, Lobacsevszkij geometriájának számos tételére következtetett . A könyv végén hibázott, és egy képzeletbeli ellentmondáshoz jutott, amiből arra a következtetésre jutott, hogy az ötödik posztulátumot be tudta bizonyítani.

Tulajdonságok

Legyen egy Saccheri-négyszög bázissal . A következő tulajdonságok igazak bármely hiperbolikus geometriára [5] :

Képlet

Állandó görbületű hiperbolikus síkban a Saccheri-négyszög felső oldala az oldallal és az alappal kifejezhető a képlet segítségével

[6]

Példák

A hiperbolikus sík bizonyos Saccheri-négyszögek burkolását engedélyezi:


Szimmetria *3322
Szimmetria *∞∞22

Lásd még

Jegyzetek

  1. ↑ 1 2 Borisz Abramovics Rozenfelʹd. A nemeuklideszi geometria története: A geometriai tér fogalmának fejlődése  . — Abe Shenitzer fordítás. - Springer, 1988. - P. 65. - ISBN 0-387-96458-4 .
  2. ↑ Coxeter, 1998 , p. tizenegy.
  3. ↑ Faber, 1983 , p. 145.
  4. ↑ Boris A Rosenfeld, Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry, p. 467, Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Encyclopedia of the History of Arabic Science , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 .
  5. ↑ Faber, 1983 , pp. 146-147.
  6. ↑ P. Buser és H. Karcher.

Irodalom