Beírt négyszög

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. szeptember 19-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 9 szerkesztést igényelnek .

A beírt négyszög olyan négyszög , amelynek csúcsai ugyanazon a körön helyezkednek el . Ezt a kört körülírtnak nevezzük . Általában feltételezik, hogy a négyszög konvex , de vannak önmetsző, beírt négyszögek is. Az alábbi képletek és tulajdonságok csak konvex négyszögekre érvényesek.

Minden háromszögnek van körülírt köre , de nem minden négyszögnek. A körbe nem írható négyszög például a rombusz (hacsak nem négyzet). Az alábbi "Tulajdonságok" rész megadja a szükséges és elégséges feltételeket ahhoz, hogy egy kör négyszög körül körülírható legyen.

Különleges alkalmak

Körbe bármilyen négyzet , téglalap , egyenlő szárú trapéz vagy antiparallelogramma beírható. A deltoid akkor és csak akkor írható be, ha két derékszöge van. A bicentrikus négyszög egy ciklikus négyszög, amely egyben körülírt négyszög is, a külsőleg bicentrikus négyszög pedig egy ciklusos négyszög, amely kívülről is körülírt .

Tulajdonságok

A beírandó négyszög első feltétele . Egy konvex nem degenerált négyszög akkor és csak akkor íródik be, ha az oldalakra húzott négy mediális merőleges egy pontban metszi egymást [1] .
A beírandó négyszög második kritériuma . Konvex négyszög akkor és csak akkor írható be, ha a szemközti szögek összege 180°, azaz [2] . $\displaystyle ABCD$

A+C=B+D=\pi =180^{{\circ }}.

A beírandó négyszög első kritériumának egy másik változata . A tétel az Euklidész elemei [3] 3. könyvének 22. állítása volt . Ezzel egyenértékűen egy konvex négyszög akkor és csak akkor írható be, ha a szomszédos szög egyenlő a szemközti belső szöggel.
A beírandó négyszög harmadik feltétele . Egy kör akkor és csak akkor írható körül egy négyszögre , ha az ellentétes oldalak bármelyike ellentétes .
A beírandó négyszög negyedik feltétele . A konvex négyszög beírásához szükséges másik kritérium megköveteli, hogy az egyik oldal és az átló közötti szög egyenlő legyen a szemközti oldal és a másik átló közötti szöggel [4] . Például, $\displaystyle ABCD$

\angle ACB=\angle ADB.

Ötödik kritérium a beírandó négyszöghez . Ptolemaiosz egyenlőtlensége kimondja, hogy egy négyszög két p és q átlójának hosszának szorzata csak akkor egyenlő a szemközti oldalak szorzatának összegével, ha a négyszöget beírjuk: [5]

\displaystyle pq=ac+bd.

A beírandó négyszög hatodik feltétele . Egy kör akkor és csak akkor írható körül egy négyszög körül, ha annak bármely ellentétes oldalpárja antiparallel Ha két egyenes, amelyek közül az egyik az AC szakaszt , a másik a BD szakaszt tartalmazza, egy E pontban metszi egymást , akkor négy A pont , B , C , D akkor és csak akkor fekszik a körön, ha [6]

AE\cdot EC=BE\cdot ED.

Az E metszéspont lehet a körön belül és kívül is. Az első esetben az ABCD beírt négyszög , a második esetben pedig az ABDC beírt négyszög lesz . Ha a metszés belül van, az egyenlőség azt jelenti, hogy azoknak a szakaszoknak a szorzata, amelyekre az E pont felosztja az egyik átlót, egyenlő a másik átló szakaszainak szorzatával. Ezt az állítást metsző akkordtételnek nevezik , mivel egy beírt négyszög átlói a körülírt kör húrjai.

A beírandó négyszög hetedik feltétele . Egy ABCD konvex négyszög akkor és csak akkor íródik be, ha [7]

$\tan {{\frac {A}{2}}}\tan {{\frac {C}{2}}}=\tan {{\frac {B}{2}}}\tan {{\frac { D}{2}}}=1.$

Nyolcadik feltétele a beírandó négyszögnek . Legyen egy konvex négyszög, amelyben - az átlók metszéspontja, - az oldalak kiterjesztésének metszéspontja és - az oldalhosszabbítások metszéspontja és . És legyen a háromszög kilenc pontjának kerülete . akkor és csak akkor ciklikus négyszög, ha középvonalainak metszéspontja a körön fekszik . [8] [9] [10] (lásd az ábrát) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle G$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle EFG$ $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle \omega$

A beírandó négyszög kilencedik kritériuma . Egy kör akkor és csak akkor írható körül egy négyszögre , ha a szemközti oldalainak bármelyik párja antiparallel . Egy konvex négyszögben legyen az átlók metszéspontja, a és az oldalak kiterjesztésének metszéspontja , és legyen egy kör, amelynek átmérője egy szakasz , amely a Pascal-pontokat alkotja, és oldalain és .(lásd az ábrát) $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle E$ $\displaystyle F$ $\displaystyle AD$ $\displaystyle BC$ $\displaystyle \omega$ $\displaystyle F$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

(1) akkor és csak akkor ciklikus négyszög, ha a és pontjai egybeesnek a kör középpontjával . [10] [11] (2) akkor és csak akkor ciklikus négyszög, ha a és pontok a és oldalak felezőpontjai . [10] [11] . $\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle O$ $\displaystyle \omega$
$\displaystyle ABCD$ $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$ $\displaystyle AB$ $\displaystyle CD$

Megjegyzés . A négyszög felvételének hetedik és nyolcadik kritériuma nagyon hasonló, és a rajzaik is nagyon hasonlóak. Lehetséges, hogy ez ugyanaz a kritérium a négyszög feliratozásánál, különböző elsődleges forrásokból. Mindkét ábrán , és Pascal-pontok. Vannak más hasonló pontok is. Bár formailag mindkét kritérium eltérően hangzik. $\displaystyle P$ $\displaystyle Q$
A beírandó négyszög tizedik kritériuma . Az a feltétel, amely mellett két egyenlő oldalú háromszög kombinációja egy körbe írt négyszöget ad [12] . Úgy, hogy két háromszög (a, b, f) és (c, d, f) oldalhosszúságú háromszög f-vel egyenlő közös oldal mentén kombinálva egy körbe írt négyszöget ad. oldalsorral ( a , b , c , d ), a feltétel [13] :84

f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd))).

Megjegyzés . Az utolsó feltétel egy körbe írt négyszög f átlójára ad kifejezést a négy oldala ( a , b , c , d ) hosszával. Ez a képlet közvetlenül követi a Ptolemaiosz első és második tételének lényegét kifejező képletek bal és jobb oldali részének szorzását és egyenlítését .

A beírandó négyszög tizenegyedik feltétele . A négy adott Miquel -egyenesből alkotott konvex négyszög (lásd a jobb oldali ábrát) akkor és csak akkor írható be egy körbe, ha a négyszög M Miquel-pontja azon az egyenesen fekszik, amely az egyenesek hat metszéspontja közül kettőt összeköt (azokat, amelyek nem a négyszög csúcsai). Vagyis amikor M az EF -en fekszik (lásd a jobb oldali ábrát).

Terület

Egy a , b , c , d oldalú négyszög S területét a Brahmagupta képlet adja meg [14].

S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}

ahol p , a félperiméter . Az állítás Bretschneider relációjának következménye , mivel az ellentétes szögek 180°-ot adnak össze. Ha d = 0, a beírt négyszögből háromszög lesz, az egyenlőség pedig Heron képletévé válik . $p={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$

Egy beírt négyszögnek van a legnagyobb területe az azonos oldalhosszúságú négyszögek közül. Ez egy másik következménye a Bretschneider-relációnak. Az állítás matematikai elemzéssel igazolható [15] .

Négy egyenlőtlen hosszúság, amelyek mindegyike kisebb, mint a másik három összege, három inkongruens beírt négyszög oldalai [16] , és Brahmagupta képlete szerint ezeknek a háromszögeknek ugyanaz a területe. Különösen az a , b , c és d oldalak esetében az a oldal lehet a b , c vagy d oldal ellentéte . A három beírt négyszög közül bármelyik kettőnek azonos hosszúságú az átlója [17] .

Egy olyan beírt négyszög területe, amelynek oldalai a , b , c , d és az a és b oldalak közötti B szög , a következő képlettel fejezhető ki: [5]

S={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}

vagy [18]

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }

ahol θ bármely szög az átlók között. Ha az A szög nem megfelelő, a terület a [18] képlettel fejezhető ki.

S={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.

Egy másik területképlet [19]

S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }

ahol R a körülírt kör sugara . Ennek közvetlen következménye lesz [20]

S\leq 2R^{2}

és az egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha a négyszög négyzet.

Átlók

Egy A , B , C , D csúcsú (a jelzett sorrendben) és a = AB , b = BC , c = CD és d = DA oldalú négyszögben a p = AC és q = BD átlók hossza oldalakkal kell kifejezni [21] [22] [17]

p={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd))))

és

q={\sqrt {{\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc))))

amely a Ptolemaioszi egyenletet adja

pq=ac+bd.

Ptolemaiosz második tétele [21] [ 22] szerint

{\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}

ugyanazzal a jelöléssel, mint korábban.

Az átlók összegére az egyenlőtlenség [23]

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

Egy egyenlőtlenség akkor és csak akkor válik egyenlővé, ha az átlók azonos hosszúságúak, ami a számtani és a geometriai átlag egyenlőtlenségével mutatható ki .

Ezenkívül [24] ,

(p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.

Bármely konvex négyszögben két átló osztja a négyszöget négy háromszögre. Egy beírt négyszögben ennek a négy háromszögnek a szemközti párjai hasonlóak .

Ha M és N az AC és BD átlók felezőpontja , akkor [25]

{\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\jobb|

ahol E és F a szemközti oldalak metszéspontja.

Ha az ABCD egy beírt négyszög, és az AC egy P pontban metszi a BD -t , akkor [26]

{\frac {AP}{CP}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.

Szögképletek

Egy a , b , c , d oldalakkal , p félperiméterrel és az a és d oldalak közötti A szöggel rendelkező beírt négyszög esetén az A szög trigonometrikus függvényei [27]

\cos A={\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2(ad+bc))),

\sin A={\frac {2{\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)))}{(ad+bc)))),

\tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(pa)(pd)}{(pb)(pc)))}.

Az átlók közötti θ szögre [18]

\tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)}{(pa)(pc)))}.

Ha az a és c szemközti oldal kiterjesztései szögben metszik egymást , akkor $\phi$

\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pd)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc )}}}

ahol p a félperiméter [28]

Parameshvara képlete

Egy a , b , c , d oldalakkal (a jelzett sorrendben) és p félperiméterrel rendelkező beírt négyszög esetén a körülírt kör sugarát a [22] [29] képlet adja meg.

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(pa)(pb)(pc)(pd )}}}.

A képletet Vatasseri Paramesvara indiai matematikus dolgozta ki a 15. században.

Brahmagupta képletével Parameswara képlete konvertálható erre

4SR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)))

ahol S a beírt négyszög területe.

Anticentrum és kollinearitás

A beírt négyszög egyik oldalára merőleges és a szemközti oldal felezőpontján átmenő négy szakasz egy pontban metszi egymást [30] [31] . Ezt a metszéspontot anticentrumnak nevezzük . Az antiközéppont szimmetrikus a körülírt kör középpontjával a "csúcs-centroidhoz" képest . Így egy beírt négyszögben a körülírt kör középpontja, a "csúcs centroid" és az anticentrum ugyanazon az egyenesen fekszik [31] .

Ha egy beírt négyszög átlói a P pontban metszik egymást , és az átlók felezőpontjai V és W , akkor a négyszög antiközéppontja a VWP háromszög ortocentruma , a csúcsközpont pedig a háromszöget összekötő szakasz közepén van. az átlók felezőpontjai [31] .

Egy beírt négyszögben a G a "terület középpontja", a G v "csúcsok középpontja" és az átlók P metszéspontja ugyanazon az egyenesen fekszik. A pontok közötti távolságok kielégítik a [32] egyenlőséget.

PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.

Egyéb tulajdonságok

Monge tétele egy beírt négyszög ortocentrumáról . Egy beírt négyszög ellentétes oldalaira merőleges 4 oldalának felezőpontjából húzott 4 egyenes szakasz (4 antimedatris ) metszi egymást ennek a négyszögnek a H ortocentrumában . [33] , [34]

Japán feliratú négyszögtétel . Az ABCD beírt négyszögben az ABC , BCD , CDA és DAB háromszögek beírt köreinek középpontjai a téglalap csúcsai . Ez a japán tételként ismert tételek egyike . Ugyanannak a négy háromszögnek az ortocentrumai az ABCD -vel egyenlő négyszög csúcsai . Ennek a négy háromszögnek a súlypontjai egy másik beírt négyszög csúcsai [4] .

A beírt szögtétel következménye . Egy O középpontú ABCD beírt négyszögben legyen P az AC és BD átlók metszéspontja . Ekkor az APB szög az AOB és COD szögek számtani átlaga . Ez egyenes következménye a beírt szögtételnek és a háromszög külső szögtételének .

A beírt négyszög két szemközti oldalpárjának metszéspontjában képzett E és F csúcsok szögeinek belső felezőinek merőlegességére vonatkozó tétel . Ha a beírt négyszög szemközti oldalait az E és F pontok metszéspontjáig kiterjesztjük , akkor az E és F pontban lévő szögek belső felezői merőlegesek [16] .

Tétel egy beírt négyszög 4 csúcsának 4 vetületére . Legyen egy beírt négyszög, legyen a csúcsból az átlóba esett merőleges alapja ; pontokat hasonlóan határozzuk meg . Ekkor a pontok ugyanazon a körön helyezkednek el. [35] $ABCD$ $A_{1}$ $A$ $BD$ ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1))$ ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1))$

A számnégyszög tétel . Nincsenek olyan beírt négyszögek, amelyeknek racionális területe és egyenlőtlen racionális oldalai vannak, amelyek számtani vagy geometriai sorozatot alkotnának [36] .

A számnégyszög tétel . Ha egy beírt négyszögnek olyan oldalhosszai vannak, amelyek aritmetikai sorozatot alkotnak , akkor a négyszög kívülről is körülírt .

Brahmagupta négyszögei

A Brahmagupta-négyszög [37] egy beírt négyszög egész oldalhosszúsággal, egész szám átlóhosszúsággal és egész területtel. A körülírt kör összes a, b, c, d oldalával , e, f átlójával , S területével és R sugarú Brahmagupta-négyszögeket megkaphatjuk, ha megszabadulunk a nevezőtől a következő kifejezésekben ( t , u és v racionális paraméterekkel ):

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+vt(1-uv)]

b=(1+u^{2})(vt)(1+tv)

c=t(1+u^{2})(1+v^{2})

d=(1+v^{2})(ut)(1+tu)

e=u(1+t^{2})(1+v^{2})

f=v(1+t^{2})(1+u^{2})

S=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2} )]

4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).

Az ortodiagonális beírásos négyszögek tulajdonságai

A körülírt kör területe és sugara

Legyen egy beírt négyszög, amely szintén merőleges (azaz merőleges átlókkal rendelkezik), az átlók metszéspontja az egyik átlót p 1 és p 2 hosszúságú szakaszokra, a másikat pedig q 1 és q 2 hosszúságú szakaszokra osztja . Ezután [38] (az első egyenlőség a 11. állítás Arkhimédész Lemmáiban )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

ahol D a körülírt kör átmérője . Az egyenlőség annak a ténynek köszönhető, hogy az átlók a kör merőleges húrjai . Ez azt jelenti, hogy az R körülírt kör sugara kielégíti az egyenlőséget

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

vagy a négyszög oldalain keresztül

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Ebből az is következik, hogy

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Így az Euler-képlet szerint a sugár kifejezhető p és q átlókkal, valamint az átlók felezőpontjai közötti x távolsággal .

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

A beírt merőleges négyszög K területének képlete közvetlenül megkapható az oldalak alapján, ha kombináljuk Ptolemaiosz tételét (lásd fent) és az ortodiagonális négyszög területének képletét. Ennek eredményeként azt kapjuk

S={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Egyéb tulajdonságok

Egy beírt ortodiagonális négyszögben az anticentrum egybeesik az átlók metszéspontjával [39] .

Brahmagupta tétele kimondja, hogy egy beírt négyszögben, amely szintén merőleges, az átlók metszéspontján keresztül mindkét oldalról merőleges felosztja az ellenkező oldalt [39] .

Ha a beírt négyszög egyben merőleges is, akkor a körülírt kör középpontjától az egyik oldalig mért távolság fele a szemközti oldal hosszának [39] .

Egy beírt merőleges négyszögben az átlók felezőpontjai közötti távolság egyenlő a körülírt kör középpontja és az átlók metszéspontja közötti távolsággal [39] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Usiskin, 2008 , p. 63–65, 10. fejezet Ciklikus négyszögek.
↑ Usiskin, 2008 , p. 63–65.
↑ Joyce, 1997 , p. 3. könyv, 22. javaslat.
↑ 1 2 Andreescu, Enescu, 2004 , p. 2.3 Ciklikus quadok.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , p. 25.
↑ Bradley, 2007 , p. 179.
↑ Hajja, 2008 , p. 103–6.
↑ Fraivert, David. Új pontok, amelyek a kilenc pontos körhöz tartoznak // A Matematikai Közlöny : folyóirat. - 2019. - július ( 103. évf. , 557. sz.). - P. 222-232 . - doi : 10.1017/mag.2019.53 .
↑ Fraivert, David. A komplex számok módszerének új alkalmazásai ciklikus négyszögek geometriájában (angol) // International Journal of Geometry : folyóirat. - 2018. - Kt. 7 , sz. 1 . - 5-16 . o .
↑ 1 2 3 Fraivert, David; Sigler, Avi & Stupel, Moshe (2020), Necessary and elegendő tulajdonságok egy ciklikus négyszöghez , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , < https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772 > Archivált 10. június 2020. a Wayback Machine
↑ 1 2 Freivert, D. M. (2019), Új téma az euklideszi geometriában a síkon: A négyszög oldalain lévő kör által alkotott „pascal-pontok” elmélete , Matematikai oktatás: A technika állása és perspektívák: Proceedings of a Nemzetközi Tudományos Konferencia , < http ://libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Archiválva : 2019. november 10. a Wayback Machine -nél
↑ Lásd a " Beírt négyszög " cikk "Átlók" alfejezetét
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ. co., 2007
↑ Durell és Robson 2003 , p. 24.
↑ Péter, 2003 , p. 315–6.
↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , p. 57, 60.
↑ 12. Johnson , 2007 , p. 84.
↑ 1 2 3 Durell és Robson, 2003 , p. 26.
↑ Prasolov, 2006 , p. 86, 4.44. feladat.
↑ Alsina, Nelsen, 2009 , p. 64.
↑ 1 2 Durell, Robson, 2003 , p. 25,.
↑ 1 2 3 Alsina, Nelsen, 2007 , p. 147–9.
↑ Crux, 2007 , p. 123, #2975.
↑ Crux, 2007 , p. 64, #1639.
↑ ABCD egy ciklikus négyszög. Legyen M , N az AC , illetve BD ... átlók felezőpontja . A problémamegoldás művészete (2010). (határozatlan)
↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles , [1] Archivált : 2019. május 28. a Wayback Machine -nél , Hozzáférés: 2014. március 18..
↑ Siddons, Hughes, 1929 , p. 202.
↑ Durell és Robson 2003 , p. 31.
↑ Hoehn, 2000 , p. 69–70.
↑ Altshiller-Court, 2007 , p. 131.
↑ 1 2 3 Honsberger, 1995 , p. 35–39, 4.2 Ciklikus négyszögek.
↑ Bradley, 2011 .
↑ Négyszögek figyelemre méltó pontjai és vonalai// https://math.mosolymp.ru/upload/files/2018/khamovniki/geom-10/2018-04-17-Zam_pr_ch-ka.pdf
↑ Monge tétele// https://bambookes.ru/stuff/reshenie_zadach/geometrija/4-1-0-8264
↑ Arkhimédész problémája körül. Archiválva : 2016. április 29. a Wayback Machine -nál 7. ábra. 11. o. 5
↑ Buchholz, MacDougall, 1999 , p. 263–9.
↑ Sastry, 2002 , p. 167–173.
↑ Posamentier, Salkind, 1970 , p. 104–5.
↑ 1 2 3 4 Altshiller-Court, 2007 , p. 131,137-8.

Irodalom

Claudi Alsina, Roger Nelsen. Amikor a kevesebb több: Az alapvető egyenlőtlenségek megjelenítése, 4.3. fejezet Ciklikus, érintő és bicentrikus négyszögek. - Mathematical Association of America, 2009. - ISBN 978-0-88385-342-9 .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Ciklikus négyszög átlóin // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Nathan Altshiller-Court. Főiskolai geometria: Bevezetés a háromszög és a kör modern geometriájába. — 2. - Courier Dover, 2007. - ISBN 978-0-486-45805-2 . (org. 1952)
=Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matematikai olimpia kincsei. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .
Christopher Bradley. Három középpont, amelyet egy ciklikus négyszög hozott létre. – 2011.
Christopher J. Bradley. A geometria algebra: derékszögű, területi és projektív koordináták. - Highperception, 2007. - ISBN 1906338000 .
RH Buchholz, JA MacDougall. Gémnégyszögek aritmetikai vagy geometriai progressziójú oldalakkal // Bulletin of the Australian Mathematical Society. - 1999. - T. 59 , sz. 2 . - doi : 10.1017/S0004972700032883 .
Harold Scott MacDonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry Revisited. 3.2 Ciklikus négyszögek; Brahmagupta képlete. - Mathematical Association of America, 1967. - ISBN 978-0-88385-619-2 . Fordította : G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Új találkozások a geometriával. 3.2 Beírt négyszögek; Brahmagupta tétele. - Moszkva: "Nauka", 1978. - (Matematikai Kör könyvtára).
Crux Mathematicorum. A Crux Mathematicorumban javasolt egyenlőtlenségek . – 2007.
D. Fraivert. A beírható négyszög és a Pascal-pontokat alkotó kör elmélete // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. - 2016. - T. 42 . — P. 81–107. - doi : 10.18642/jmsaa_7100121742 .
C. V. Durell, A. Robson. fejlett trigonometria. - Courier Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43229-8 . (eredeti 1930)
Mowaffaq Hajja. A körülírható négyszög ciklikusságának feltétele // Forum Geometricorum. - 2008. - T. 8 .
Larry Hoehn. Ciklikus négyszög kör sugara // Matematikai Közlöny. - 2000. - T. 84 , sz. 499 március . — .
Ross Honsberger. Epizódok a tizenkilencedik és huszadik századi euklideszi geometriában. - Cambridge University Press, 1995. - V. 37. - (New Mathematical Library). - ISBN 978-0-88385-639-0 .
Roger A. Johnson. Fejlett euklideszi geometria. – Dover Publ, 2007. (eredeti: 1929)
Tamás Péter. Egy négyszög területének maximalizálása // The College Mathematics Journal. - 2003. - T. 34 , sz. szeptember 4 . — .
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Kihívást jelentő geometriai problémák. — 2. - Courier Dover, 1970. - ISBN 978-0-486-69154-1 . Fejezet: Megoldások: 4-23 Bizonyítsuk be, hogy a két merőleges húr által alkotott szakaszok mértékeinek négyzetösszege megegyezik az adott kör átmérőjének négyzetével!

, < http://students.imsa.edu/~tliu/Math/planegeo.pdf > Archivált 2018. szeptember 21-én a Wayback Machine -nél Az orosz kiadásból fordította V.V. Prasolov. Problémák a planimetriában. oktatóanyag. - 5. - Moszkva: MTSNMO OAO "Moszkvai tankönyvek", 2006. - ISBN 5-94057-214-6 .
KRS Sastry. Brahmagupta négyszögek // Forum Geometricorum. - 2002. - T. 2 .
A.W. Siddons, R.T. Hughes. trigonometria. – Cambridge University Press, 1929.
Zalman Usiskin, Jennifer Griffin, David Witonsky, Edwin Willmore. A négyszögek osztályozása: definíciótanulmány. - IAP, 2008. - (Kutatás a matematikaoktatásban). - ISBN 978-1-59311-695-8 .
D.E. Joyce. Euklidész elemei . – Clark Egyetem, 1997.
D. Fraivert. Pascal-pontos négyszögek ciklikus négyszögbe írva // The Mathematical Gazette. - 2019. - T. 103 , sz. 557 .

Külső linkek

A ciklikus négyszög területének képletének levezetése
Incenterek ciklikus négyszögben a csomópontnál
Négy párhuzamos vonal egy ciklikus négyszögben a csomópontnál
Weisstein, Eric W. Ciklikus négyszög (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Ciklikus négyszög Euler-középpontja és maltitudei a Dynamic Geometry Sketchesnél , interaktív dinamikus geometriai vázlat.

Sokszögek

Az oldalak száma szerint

Monogon
Bigon
Háromszög
Négyszög
Pentagon
Hatszög
Hétszög
Nyolcszög
Pentagon
Tíz szög
Hendecagon
Tizenkét szög
Tizenhárom
tetradecagon
Pentagon
Hatszög
Tizenhét
nyolcszög
Tizenkilencszög
Tizenkét szög
Huszonegyoldalú
Huszonkét szög
Twentytrigon
Húsznégyszögletű
Húsz-ötszög
Húsznyolcszög
Tridecagon
Thirty-Biagon
Negyven négyzet
Negyven kétszög
pünkösdi
pünkösdi
Hatszög
Sixty-quad
Heptagon
Nyolcszög
Nonagon
[ hu
Millagon
Tízezer-gon
Százezredik
Milliogon
végtelenség

helyes

konvex	Háromszög Négyzet Pentagon Hatszög Hétszög Nyolcszög Pentagon tetradecagon Tizenhét 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
csillagkép	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Lakshmi csillaga ) Enneagram Dekagram Endekagram Dodekagram

háromszögek

Négyszögek

Lásd még