Japán feliratú négyszögtétel

A japán beírt négyszög tétel kimondja, hogy a beírt négyszögön belül bizonyos háromszögekbe írt körök középpontjai egy téglalap csúcsai .

Egy tetszőleges beírt négyszög átlókkal való felosztása négy egymást átfedő háromszöget eredményez (mindegyik átló két háromszöget eredményez). Az ezekbe a háromszögekbe írt körök középpontjai egy téglalapot alkotnak.

Konkrétan legyen □ ABCD egy tetszőleges beírt négyszög, és M 1 , M 2 , M 3 , M 4 az △ ABD , △ ABC , △ BCD , △ ACD háromszögekbe írt körök középpontja . Ekkor az M 1 , M 2 , M 3 , M 4 középpontok által alkotott négyszög téglalap.

Bizonyítás [1]

$\angle {AM_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAC}/2-\angle {ABC}/2=90^{\circ }+\angle {ACB}/2$ (mivel a szögfelező , és a szög felezője ) ${\displaystyle AM_{2))$ $\angle {BAC}$ ${\displaystyle BM_{2))$ $\angle {ABC}$

Hasonlóképpen kapjuk $\angle {AM_{1}B}=180^{\circ }-\angle {ABD}/2-\angle {BAD}/2=90^{\circ }+\angle {BDA}/2$

Mivel a négyszög be van írva, van, amiből következik, hogy a négyszög is körbe van írva, így kapjuk $ABCD$ $\angle {ADB}=\angle {ACB}$ $\angle {AM_{1}M_{2}B}$ $\angle {M_{1}M_{2}B}=180^{\circ }-\angle {BAM_{1))=180^{\circ }-\angle {A}/2$

Hasonlóképpen kapjuk $\angle {BM_{2}M_{3}}=180^{\circ }-\angle {C}/2$

És ennek következtében $\angle {M_{1}M_{2}M_{3}}=360^{\circ }-(\angle {M_{1}M_{2}B}+\angle {BM_{2}M_ {3)))=(\angle {A}+\angle {C})/2=180^{\circ }/2=90^{\circ }$

Ugyanígy bizonyítunk más szögekre is. Azt kapjuk, hogy a négyszög mind a négy sarka helyes. Tétel bizonyított

Megjegyzendő, hogy ennek a tételnek a bizonyítása könnyen általánosítható a beírt sokszögekre vonatkozó japán tétel (a ciklikus sokszögekre vonatkozó japán tétel) bizonyítására .

Az általános beírt sokszög bizonyítása azonnal következik egy négyszög esetéből (egy sokszög partíciójában lévő háromszögek számának indukciójával).

1. megjegyzés

Egy beírt négyszög esetében a japán beírt négyszögtétel egy összetettebb állítás része:

Az ABCD beírt négyszögben az ABC , BCD , CDA és DAB háromszögek beírt köreinek középpontjai a téglalap csúcsai , ugyanannak a négy háromszögnek az ortocentrumai az ABCD - vel egyenlő négyszög csúcsai , ennek a négynek a súlypontjai . a háromszögek egy másik beírt négyszög csúcsai [2] .

Lásd még

Irodalom

Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript fájl)
Tétel a Cut-the-Knot- nál
Wataru Uegaki: " Japán tételの起源と歴史" (A japán tétel eredetéről és történetéről). Tanszéki Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01
Wilfred Reyes: Thebault-tétel alkalmazása . Forum Geometricorum, 2. kötet, 2002, pp. 183–185
Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Matematikai olimpia kincsei. - Springer, 2004. - ISBN 978-0-8176-4305-8 .

Linkek

Japán tétel, interaktív bizonyítás animációval

↑ Andreescu, Enescu, 2004 , p. 45.
↑ Andreescu, Enescu, 2004 , p. 2.3 Ciklikus quadok.