Érintővonal a körhöz

Az euklideszi geometriában a kör érintővonala a síkban olyan egyenes , amelynek pontosan egy közös pontja van a körrel. Lehetőség van arra is, hogy egy érintőt definiáljunk egy szekáns határhelyzeteként, amikor annak metszéspontja a körrel végtelenül közelít. A körök érintővonalai számos tétel tárgyát képezik, és számos geometriai konstrukcióban és bizonyításban fontos szerepet játszanak .

Érintővonalak ugyanahhoz a körhöz

A C kör t érintője a kört egyetlen T pontban metszi . Összehasonlításképpen: a metszővonalak két pontban metszik a kört, míg egyes egyenesek egyáltalán nem metszik a kört. Az érintővonalnak ezt a tulajdonságát számos geometriai transzformáció őrzi meg , mint például a hasonlóság , elforgatás , fordítás , inverzió és térképvetítés . Technikailag szólva ezek a transzformációk nem változtatják meg az érintővonalak és körök beesési struktúráját , még akkor sem, ha maguk az egyenesek és körök deformálódnak.

Az érintőponton áthúzott kör sugara merőleges az érintővonalra. Ezzel szemben a végpontban (a körön) a sugárra merőleges az egyenes érintője. A kör az érintő egyenessel együtt tengelyirányú szimmetriával rendelkezik a sugárhoz (az érintkezési pont felé).

A körön belüli ponton egyetlen érintővonal sem haladhat át, mivel minden ilyen egyenesnek szekánsnak kell lennie. Ugyanakkor a körön kívüli bármely ponthoz két azon áthaladó érintővonalat is megszerkeszthetünk. A körből és két érintővonalból álló geometriai alakzat a P pontot az O kör középpontjával összekötő egyeneshez képest is tengelyes szimmetriával rendelkezik (lásd a jobb oldali ábrát). Ebben az esetben a P ponttól a két érintőpontig tartó szakaszok azonos hosszúságúak. A pont fokszámára vonatkozó tétel szerint a szakasz érintkezési pontig tartó hosszának négyzete egyenlő a P pont fokával a C körhöz képest. Ez a hatvány egyenlő a P pont és a kör két metszéspontja közötti távolságok szorzatával a P - n átmenő tetszőleges metszésvonallal.

A t érintővonal és a T érintőpont egymáshoz való konjugáció tulajdonsága; ez a megfelelés általánosítható egy pólus és egy sark fogalmára . Ugyanez a kapcsolat létezik a körön kívüli P pont és a két érintkezési pontot összekötő metsző egyenes között.

Ha a P pont az O középpontú körön kívül van, és ha a P-ből származó érintővonalak a T és S pontokban érintik a kört, akkor a ∠TPS és ∠TOS szögek összeadódnak 180°-kal.

Ha a TM húrt a PT egyenes T érintőpontjából húzzuk, és ∠PTM ≤ 90°, akkor ∠PTM = (1/2)∠MOT.

Geometriai konstrukció

Viszonylag könnyű megszerkeszteni egy t egyenest, amely a kör T pontjában érinti a kört. Ehhez húzzon egy a vonalat az O kör közepén és a T ponton keresztül. Ekkor a t egyenes merőleges az a egyenesre . A merőleges megszerkesztésének egyik módja a következő (lásd az ábrát). Rajzolunk egy azonos sugarú ( r ) kört a T pontban , megkapjuk az a egyenes második G pontját , és a T pont lesz az OG szakasz felezőpontja. Rajzolunk két R > r sugarú kört, amelynek középpontja az O és G pontokban van . A körök metszéspontjain áthaladó egyenes érintő lesz.

Ha a P ponton keresztül a C körhöz érintővonalat szeretne létrehozni , használhatja a szög tulajdonságát a kör átmérője alapján . Egy kört rajzolunk, amelynek középpontja a H pont , az OP szakasz közepe, ahol O a C kör középpontja. T és T' metszéspontjai a P ponton átmenő egyenesek érintőpontjai, mivel az ∠OTP és ∠OT'P szögek a H középpontú kör OP átmérőjén alapulnak .

A körülírt négyszögtétel és a beírt körök

A leírt ABCD négyszög egy zárt ábra, amelynek négy oldala érinti a C kört . Ennek megfelelően C az ABCD négyszögbe írt kör. Pitot tétele szerint bármely ilyen négyszög ellentétes oldalainak összege egyenlő, azaz

\overline {AB}+\overline {CD}=\overline {BC}+\overline {DA}.

Ez a következtetés a négyszög csúcsaiból származó érintők szakaszainak egyenlőségéből következik. Jelöljük az érintkezési pontokat P -vel (az AB szakaszon), Q -val (a BC szakaszon), R -vel (a CD szakaszon) és S -vel (a DA szakaszon). Az ABCD négyszög minden csúcsából az érintési pontokhoz tartozó szimmetrikus vonalszakaszok egyenlőek, azaz BP=BQ= b , CQ=CR= c , DR=DS= d és AS=AP= a . De a négyszög mindkét oldala két ilyen szakaszból áll

\overline {AB}+\overline {CD}=(a+b)+(c+d)=\overline {BC}+\overline {DA}=(b+c)+(d+a)

ami azt az állítást bizonyítja.

Ennek fordítva is igaz - egy kör bármely konvex négyszögbe írható, amelyben a szemközti oldalak hosszának összege egyenlő. [egy]

Ennek a tételnek és fordítójának számos alkalmazása van. Például a tételből rögtön következik, hogy kör nem írható be egyetlen téglalapba sem, hacsak nem négyzet , és az is, hogy kör bármely rombuszba írható, bár általános esetben kör nem írható be paralelogrammába . .

Érintővonalak két körhöz

Két kör esetén általában négy különálló egyenes van mindkét körhöz, hacsak az egyik kör nem a másikban van, de degenerált esetekben tetszőleges számú érintő lehet nullától négyig. Ezeket az eseteket az alábbiakban ismertetjük. A négy érintővonal közül kettő külső érintő, amikor a körök az érintővonal ugyanazon az oldalán helyezkednek el. A másik két egyenes, belső érintő esetében a körök az érintővonal ellentétes oldalán helyezkednek el. A külső érintők a külső homotétia középpontjában , míg a belső érintők a belső homotétia középpontjában metszik egymást. A homotétia belső és külső középpontja a körök középpontjain áthaladó egyenes vonalon fekszik, közelebb a kisebb kör középpontjához. Ha két körnek azonos a sugara, akkor ugyanaz a négy érintő marad, de a külső érintővonalak párhuzamosak, és nincs külső homotézisközéppont az affin síkon . A projektív síkon a homotitás külső középpontja az egyenesek metszéspontjának megfelelő végtelen pontban található . [2]

Külső érintő

A T 1 és T 3 , T 2 és T 4 pontokat összekötő piros vonalak a két kör külső érintői.

Belső érintő

A belső érintők olyan érintők, amelyek a körök középpontját összekötő szakaszt metszik. Vegyük észre, hogy metsző körök esetén belső érintők nem léteznek.

Épület

Két kör érintőit úgy állíthatjuk elő, hogy a fent leírtak szerint megtaláljuk a homotétium középpontját, majd ezeken a középpontokon keresztül érintőket szerkesztünk. Érintővonalak és érintőpontok közvetlenül is megszerkeszthetők, az alábbiak szerint.

Elemi geometria

Legyen O 1 és O 2 két C 1 és C 2 kör két középpontja, és legyen r 1 és r 2 a sugaruk , míg r 1 > r 2 . Más szavakkal, a C 1 kört tekintjük a két kör közül a nagyobbnak. Két különböző módszer használható külső és belső érintővonalak megszerkesztésére.

Külső érintők

Rajzolj egy új C 3 kört , amelynek sugara r 1 − r 2 és középpontja O 1 . A fent leírt módszerrel húzzon két érintő egyenest az O 2 pontból ehhez az új körhöz. Ezek az egyenesek párhuzamosak a kívánt érintőegyenesekkel, mivel ez mindkét C 1 és C 2 kör sugarának ugyanazon r 2 számmal történő csökkenésének felel meg , aminek következtében a C 2 kör ponttá változik. A C 3 kör két érintőpontján keresztül az O 1 középpontból két sugarat húzhatunk . Ezek a sugarak a C 1 -et metszik a szükséges érintkezési pontokon. A kívánt érintők merőlegesek ezekre a sugárirányú sugarakra, és a fent látható módon megszerkeszthetők.

Belső érintők

Rajzolj egy új C 3 kört , amelynek sugara r 1 + r 2 és középpontja O 1 . A fent leírt módszerrel húzzon két érintő egyenest az O 2 pontból ehhez az új körhöz. Ezek az egyenesek párhuzamosak a kívánt érintővonalakkal, mivel ez a C 2 kör sugarának nullára való csökkenésének felel meg, miközben a C 1 sugarat egyidejűleg ugyanazzal az r 2 állandóval növeljük . Az O 1 középpontból két sugárirányú sugár húzható a C 3 érintkezési pontokon keresztül . Ezek a sugarak a C 1 -et metszik a szükséges érintkezési pontokon. A kívánt belső érintők merőlegesek a sugárirányú sugarakra és a talált pontokban metszik a sugarakat, így a fenti módszerrel megszerkeszthetők.

Valójában ez ugyanaz a konstrukció, mint a külső érintők esetében, ha feltételezzük, hogy a kisebb kör sugara negatív.

Analitikus geometria

Legyen a köröknek c 1 = ( x 1 , y 1 ) és c 2 = ( x 2 , y 2 ) középpontja és r 1 és r 2 sugara . Legyen az érintővonal egyenlete a 2 + b 2 = 1 normalizálással , akkor a körök középpontjaitól az egyenesig mért távolságot a képletekkel számítjuk ki: $ax+by+c=0,$

ax 1 + 1 + c = r 1 és _ ax 2 + 2 + c = r 2 . _

Vonjuk ki az első egyenletet a másodikból, megkapjuk

a ∆ x + b ∆ y = ∆ r

ahol Δ x \ u003d x 2 - x 1 , Δ y \ u003d y 2 - y 1 és Δ r \ u003d r 2 - r 1 .

Ha a távolság c 1 és c 2 , akkor az egyenlet egyszerűsítése érdekében az X = Δ x / d , Y = Δ y / d és R = Δ r / d behelyettesítéssel normalizálhatjuk, ami az aX + bY egyenleteket adja . = R és a 2 + b 2 = 1. Megoldjuk őket, és két külső érintő egyenesre két megoldást kapunk ( k = ±1): $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$

a = RX − kY √(1 − R 2 ) b = RY + kX √(1 - R 2 ) c = r 1 − ( ax 1 + 1 )

Geometriailag ez az érintő és a középpontokon áthúzott egyenes által alkotott szög kiszámításának felel meg, majd a centivonalat elforgatva megkapjuk az érintő egyenletét. Szög kiszámítható trigonometriával egy olyan derékszögű háromszögből, amelynek csúcsai a homotheitás (külső) középpontja, a kör középpontja és az érintési pont. A hipotenusz a középvonalon fekszik, a sugár a szöggel ellentétes szár, a szöggel szomszédos szár pedig az egyenes érintőjén fekszik.

( X , Y ) a c 1 - c 2 egységvektor , míg R a , ahol a középvonal és az érintő közötti szög. akkor egyenlő (az előjeltől függően , ami ekvivalens a forgásiránnyal), és a fenti egyenletek az ( X , Y ) elforgatását jelentik a forgási mátrix használatával $\cos \theta$ $\theta$ $\sin \theta$ $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ $\theta$ $\pm\theta ,$

{\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}

k = 1 a körök jobb oldalán lévő érintővonal c 1 felől nézve c 2 irányban . k = −1 a körök jobb oldalán lévő érintővonal c 2 felől nézve c 1 irányban .

Az összes fenti érv feltételezi, hogy a körök sugarai pozitívak. Ha r 1 pozitív és r 2 negatív, akkor c 1 az egyes egyenesek bal oldalán, c 2 pedig jobbra fog feküdni , és a két érintő egyenes metszi egymást. Ily módon mind a négy megoldás elérhető. Mindkét sugár előjelének változása k = 1 és k = −1 opciók felcseréléséhez vezet .

Vektorok

Általános esetben a v 1 és v 2 középpontú, r 1 és r 2 sugarú körök négy érintővonalának bármelyik érintőpontját t 1 és t 2 négy egyenlet megoldásával kapjuk meg:

{\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_ {2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\ (t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{igazított}}

Ezek az egyenletek azt a tényt fejezik ki, hogy az érintő egyenes merőleges a sugarakra, és az érintőpontok a megfelelő körökön helyezkednek el.

Ez a négy másodfokú egyenlet kétdimenziós vektorváltozókkal általában négy pár megoldást ad.

Degenerált esetek

Két különböző körben a relatív helyzettől függően nullától négy egyenesig lehet mindkét kört érintő egyenes. A változatok a középpontok közötti távolság és a sugarak alapján osztályozhatók.

Ha a körök nem érintkeznek ( ), ami az általános helyzet , akkor négy érintő érinti egyszerre mindkét kört. $d>r_{1}+r_{2}$
Ha a körök érintkeznek ( ) - egy külső érintkezési pontjuk van -, akkor két közös külső érintőjük van, és egy belső, amely áthalad a körök érintkezési pontján. Ennek a közös érintővonalnak kettős multiplicitása van. $d=r_{1}+r_{2}$
Ha a körök két pontban metszik egymást ( ), nincs közös belső érintőjük, és két külső érintővonaluk van. $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Ha a körök belülről érintik egymást ( ) - egy belső érintkezési pont van - nincs közös belső érintőjük, és van egy közös külső érintő, amely áthalad a körök érintkezési pontján, és ennek az egyenesnek több két. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Ha az egyik kör teljesen belül van a másikban ( ), nincs közös érintőjük, mivel a belső kör bármely érintője a külső kör szekánsa lesz. $d<|r_{1}-r_{2}|$

Végül, ha a körök egybeesnek, akkor ugyanazt a kört érintő bármely vonal közös érintő lesz.

Továbbá a közös érintővonal fogalma kiterjeszthető negatív sugarú körökre is (amelyeket ugyanazok a pontok alkotnak, de "belül kifelé"). Ebben az esetben, ha a sugarak ellentétes előjelűek (az egyik kör sugara pozitív, a másiké negatív), a homotétia külső és belső középpontja felcserélődik, a külső és belső közös érintők pedig felcserélődnek. Ha a sugarak azonos előjelűek (mindkét sugár pozitív vagy mindkettő negatív), akkor a "külső" és a "belső" fogalmak a szokásos jelentéssel bírnak. $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

A nulla sugarú körökhöz közös érintők definiálhatók. Ebben az esetben egy nulla sugarú kört kettős pontként kezelünk, és ezért bármely ezen a ponton áthaladó egyenes kettes -szeresével metszi azt . Ha a kör sugara nulla, akkor a közös érintő egyenes egyszerűen a ponton átmenő kör érintője, de ezt az egyenest kétszer kell megszámolni. Ha mindkét kör sugara nulla, akkor a közös érintő egyenes a két ponton átmenő egyenes, és ennek az egyenesnek a többszöröse négy.

Megjegyzendő, hogy ezekben a degenerált esetekben a homotétium külső és belső középpontja megmarad (a külső középpont a végtelenbe megy, ha a sugarak egyenlőek), kivéve ha a körök egybeesnek (amikor a külső középpont nincs meghatározva), vagy ha mindkettő a körök sugara nulla (ebben az esetben nincs belső középpont).

Alkalmazások

Szíjhajtás probléma

A belső és külső érintők hasznosak az ékszíjhajtás probléma megoldásában , amely a szíj hosszának kiszámítása, amely szorosan illeszkedne a sebességváltó kerekei köré. Ha a szíjat egy elhanyagolható vastagságú matematikai görbének tekintjük, és az erőátviteli kerekek pontosan ugyanabban a síkban vannak, akkor a probléma az érintőszegmensek és a megfelelő ívhosszúságok összegzésére csökken. Ha az öv kereszteződéssel a kerekekre van feszítve, akkor figyelembe kell venni a belső érintőket. Ha az övet keresztezés nélkül feszítik, akkor figyelembe kell venni a külső érintőket. Az utóbbi esetet néha szíjtárcsa problémának is nevezik .

Érintővonalak három körhöz: Monge-tétel

Három C 1 , C 2 és C 3 körhöz három körpár tartozik ( C 1 C 2 , C 2 C 3 és C 1 C 3 ). Mivel minden körpárnak két homotitásközéppontja van, összesen hat homotitásközéppontot kapunk . Gaspard Monge a 19. század elején megmutatta, hogy ez a hat pont négy egyenesen, és három pont található minden vonalon.

Érintővonalak és biliárd

A dákógolyót célzó érintővonalrendszer a dákó közepén áthaladó vonal segítségével két érintővonalat hoz létre a dákógolyóból a tárgygolyó irányába. Két érintővonal és egy, a dákógolyó közepén átmenő vonal metszi a tárgygolyó közepén és a zseb közepén áthaladó vonalat. Az ütést úgy kell irányítani, hogy a dákógolyó (az ábrán egy képzeletbeli golyó) végső helyzete a zseb irányára merőleges egyenessel érintse a tárgygolyót az érintkezési pontban (az ábrán ez az érintő zölddel van kiemelve).

Apollonius problémája

Az Apollonius-probléma számos speciális esete olyan köröket keres, amelyek egy vagy több vonalat érintenek. A legegyszerűbb esetekben egy kört szerkesztünk, amely érinti három adott egyenest ( LLL feladat ). Bármely ilyen kör középpontjának ezen egyenespárok metszéspontjában a szög felezőjének kell lennie. Az egyenesek minden metszéspontjában két felező van. Ezeknek a felezőknek a metszéspontjai adják meg a megoldást jelentő körök középpontját. Általános esetben négy ilyen kör létezik egy három egyenes - egy beírt kör és három körvonal - metszéspontjából kialakított háromszögben.

Általánosságban elmondható, hogy az Apollonius-probléma leegyszerűsíthető arra az egyszerűbb feladatra, hogy egy kört és két párhuzamos egyenest érintőt hozzunk létre (ez maga az LLC speciális esete ). Ehhez a három megadott kör közül arányosan növeljük kettőt, amíg összeérnek. Egy megfelelő sugarú kör körüli inverzió , amelynek középpontja az érintőpontban van, ezt a két kört két párhuzamos egyenessé, a harmadik kört pedig egy másik körré alakítja. Így a megoldást úgy találhatjuk meg, hogy egy állandó sugarú kört két párhuzamos egyenes között mozgatunk addig, amíg egy transzformált harmadik körrel érintőt nem kapunk. A fordított inverzió megoldást ad az eredeti problémára.

Általánosítások

Az egy vagy több kört érintő vonal fogalma többféleképpen általánosítható. Először is, az érintővonalak és érintőpontok párosítási tulajdonsága általánosítható pólusra és poláris egyenesre , amikor a pólus bárhol lehet, nem feltétlenül egy körön. Másodszor, két kör egyesítése egy speciális ( redukálható ) esete egy negyedik fokú síkgörbének , és a külső és belső érintővonalak érintik ennek a görbének két pontját . Általában egy 4. fokú síkgörbében 28 egyenes van, amely kétszer érinti.

A harmadik általánosítás inkább érintőkörökre vonatkozik, mint érintővonalakra. Az érintővonal egy végtelen sugarú érintőkörnek tekinthető. Különösen a két kör külső érintővonalai tekinthetők a mindkét kör belsejéből vagy kívülről érintő körök családjának speciális eseteinek, míg a belső érintővonalak a körök családjának speciális eseteinek tekinthetők, amelyek egy kört érintenek. a belső és a másik külső oldalával) [3] .

A Möbius-geometriában vagy az inverz geometriában a vonalakat "végtelenben" középpontú köröknek tekintik, és bármely egyeneshez és körhöz létezik egy Möbius-transzformáció , amely az egyik alakot a másikba viszi. A Möbius-geometriában az egyenes és a kör érintése két kör érintésének speciális esetévé válik. Ezt az ekvivalenciát a Lie gömbgeometria továbbfejleszti .

Jegyzetek

↑ Alekszandr Bogomolnij: "Mikor írható a négyszög?" a Cut-the-knot oldalon . Letöltve: 2015. április 17. Az eredetiből archiválva : 2015. december 22. (határozatlan)
↑ Kunkel Pál. Érintő körök . whistleralley.com. Letöltve: 2008. szeptember 29. Az eredetiből archiválva : 2019. augusztus 15. (határozatlan)
↑ Kunkel, 2007 , p. 34–46.

Irodalom

Kunkel Pál. Apollonius érintési problémája: három pillantás // BSHM Bulletin : Journal of the British Society for the History of Mathematics . - 2007. - T. 22 , sz. 1 . - doi : 10.1080/17498430601148911 .
David Fraivert. A konvex négyszög oldalain Pascal-pontokat képező kör érintőinek tulajdonságai // Forum Geometricorum. - 2017. - Kt. 17. - P. 223-243.
Shlomo Libeskind. Euklideszi és transzformációs geometria: Deduktív vizsgálat . – 2007.

Lásd még

Linkek

Weisstein, Eric W. Érintő vonalak egy körhöz (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Weisstein, Eric W. Érintővonalak két körhöz (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .