Negyedik fokú lapos görbe

A negyedik fokú lapos görbe vagy a lapos kvartikus egy negyedik fokú lapos algebrai görbe . Meghatározható egy negyedik fokú egyenlettel két változóban:

Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,

ahol az A, B, C, D, E számok legalább egyike nem nulla. Ennek az egyenletnek 15 állandója van. Az egyenlet azonban bármely nem nulla állandóval megszorozható a görbe megváltoztatása nélkül. Így a szorzási állandó megfelelő megválasztásával bármely együttható 1-gyel egyenlővé tehető, így csak 14 állandó marad. Így a kvartikus tér azonosítható a valós projektív térrel . Cramer algebrai görbék tételéből az is következik , hogy pontosan egy kvartikus van, amely általános helyzetben 14 különböző ponton halad át , mivel egy kvartikusnak 14 szabadságfoka van . $\mathbb {RP} ^{14}$

Egy liternek lehet maximuma

négy csatlakoztatott komponens
huszonnégy bitangens
három közönséges dupla pont .

Más mezők (vagy akár gyűrűk ), például komplex számok feletti kvartikus görbéket is figyelembe vehetünk . Ez utóbbi esetben olyan Riemann-felületeket kapunk , amelyek egydimenziósak a C felett, de kétdimenziósak az R felett. Példa erre a Klein quartic . Ezen kívül a projektív síkban homogén polinomok által adott görbék is figyelembe vehetők.

Példák

A fenti egyenletben szereplő együtthatók különféle kombinációi különböző fontos görbecsaládokat eredményeznek, amelyeket alább felsorolunk.

Végtelen szimbólum
- Lemniscate Bernoulli
- Lemniscate Gerono
Pascal csiga
Quartic Lurot
Perseus görbe
négyszögletesség
- Lame special quartic
tórikus rész
Trotta görbe

"és" (görbe)

Az „és”-görbe egy kvartikus síkbeli görbe az egyenlettel

\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.

A görbe nulla nemzetségből áll, három közönséges kettős ponttal a valós síkon. [egy]

Bob (görbe)

A bob -görbe egy 4. fokú síkbeli görbe az egyenlettel

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,

Bobnak nulla nemzetsége van. A görbének egy szingularitása van az origóban, egy közönséges hármaspontja [2] . [3]

Kétgörbe

A duplacsúcsos görbe egy 4. fokú lapos görbe az egyenlettel

(x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,

ahol a határozza meg a görbe méretét. A kétcsúcsos görbének csak két csomópontja van szingularitásként, és ezért az első nemzetség görbéje [4] .

Íj (görbe)

Az íj egy 4. fokú síkgörbe az egyenlettel

x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,

Bantnak egy hármaspontja van x =0, y =0 helyen, ezért a nulla nemzetség racionális görbéje [5] .

Keresztes görbe

A kereszt- vagy keresztgörbe az egyenlet által adott 4. fokú síkgörbe

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,

ahol a és b a görbe alakját meghatározó két paraméter . A kereszt alakú görbét az x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y szabványos másodfokú transzformáció köti össze az ellipszissel , ezért a nulla nemzetség racionális síkbeli algebrai görbéje . Egy kereszt alakú görbének három kettős pontja van a valós projektív síkban az x =0 és y =0, x =0 és z =0, y =0 és z =0 pontokban. [6] $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1$

Mivel a görbe racionális, ezért racionális függvényekkel paraméterezhető. Például, ha a =1 és b =2, akkor az egyenletek

x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3)),\quad y={\frac {t^{2}-2t+5 }{2t-2}}

határozza meg a görbe pontjainak paraméterezését, kivéve azokat a kivételes eseteket, amikor a nevező eltűnik.

Spirális szakasz

A spirálmetszet definiálható egy , az x és y tengelyre szimmetrikus, negyedik fokú, kétkörös görbeként . A spirális szakaszok a tórikus szakaszok családjába tartoznak és tartalmazza a Boothlemniscatesés aCassini ovális családot. A név a görög σπειρα szóból származik, jelentése tórusz.

Descartes-koordinátákkal az egyenlet felírható

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,

polárkoordinátákban pedig mint

r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,

Háromlevelű lóhere

A háromlevelű lóhere 4. fokú lapos görbe

x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,

Az y egyenletet megoldva a következő függvényt kapjuk

y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2)))){2))},

ahol a két előjel független egymástól, és minden x -hez négy különböző y értéket ad . $\délután$

A háromlevelű lóhere parametrikus egyenlete:

x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,

[7] .

A polárkoordinátákban ( ) az egyenlet a következő alakot veszi fel $x=r\cos(\varphi ),y=r\sin(\varphi )$

r=\cos(3\varphi ).\,

A görbe a rózsa speciális esete , ahol k = 3. Ennek a görbének van egy hármas pontja az origóban (0, 0), és három kettős érintője van.

Jegyzetek

↑ Weisstein, Eric W. Ampersand-görbe a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Cundy, Rollett, 1961 , p. 72.
↑ Weisstein, Eric W. Bean Curve a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Weisstein, Eric W. Bicuspid Curve a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Weisstein, Eric W. Bow a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Weisstein, Eric W. Keresztes görbe a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ Gibson, 2001 , p. 12, 78.

Irodalom

Cundy HM, Rollett AP Matematikai modellek. — 2. - Clarendon Press, Oxford, 1961. - P. 72. - ISBN 978-0-906212-20-2 .
Gibson CG Az algebrai görbék elemi geometriája, egyetemi bevezető. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - P. 12, 78. - ISBN 978-0-521-64641-3 .