Negyedfokú síkgörbe bitangensei

Egy általános forma negyedik fokú síkgörbéjének 28 bitangense van, vagyis olyan egyenesek, amelyek két ponton érintik a görbét. Ezek az egyenesek a komplex projektív síkban léteznek , de lehet találni olyan görbéket, amelyeknél mind a 28 egyenes valós számmal rendelkezik koordinátaként, és ezért az euklideszi síkhoz tartozik .

Huszonnyolc valós bitangenssel explicit negyedrendű görbéket először Julius Plücker talált [1] [2] . Amint Plücker megmutatta, bármely negyedrendű görbe valós bitangenseinek számának 28-nak, 16-nak vagy 9-nél kisebbnek kell lennie. Egy másik negyedrendű görbe 28 valós bitangenssel alkotható az ellipszisek középpontjainak helyeként . két nem párhuzamos egyenest érintő rögzített tengelyhosszak [3 ] . Shioda [4] negyedrendű görbéket adott meg huszonnyolc bitangenssel, amelyet a köbfelület vetülete képez . A Shioda-görbe huszonhét bitangense valós, a huszonnyolcadik pedig a projektív síkban lévő végtelen

Példa

A Trotta-görbe , egy másik görbe 28 valós bitangenssel, az ( x , y ) pontok halmaza, amelyek kielégítik a kvartikus egyenletet.

Ezek a pontok egy negyedrendű, nem szinguláris görbét alkotnak, amely három nemzetségből és huszonnyolc valódi bitangensből áll [5] .

Plücker példájához és a Blum-Guinand-görbéhez hasonlóan a Trott-görbének is négy különálló (szabálytalan) oválisa van, ami a kvartikus görbék maximális száma, ezért egy M-görbe . A négy ovális hat különböző ovális párba sorolható. Minden ovális párhoz négy bitangens tartozik, amelyek a pár mindkét oválisát érintik, két vonal választja el az oválisokat, kettő pedig nem. Ezenkívül minden ovális a sík egy nem konvex tartományát határolja, és egy bitangenssel rendelkezik, amely összeköti a határ nem konvex részeit.

Kapcsolatok más struktúrákkal

A negyedrendű (elsődleges) görbe kettős görbéjének 28 valós közönséges kettős pontja van, amely az elsődleges görbe 28 bitangensével duál.

28 negyedrendű bitangens görbe társítható az alak szimbólumaihoz

ahol a , b , c , d , e és f egyenlő nullával vagy eggyel és ezekre

[6] [7] .

64 a , b , c , d , e és f halmaz létezik , de ezek közül csak 28 ad páratlan összeget. Értelmezhetjük a , b és c egy pontjának homogén koordinátáit a Fano síkban , és d , e és f egy egyenes koordinátáiként ugyanabban a véges projektív síkban. A páratlan összeg feltétele egyenértékű azzal a követelménnyel, hogy a pont ne feküdjön egy egyenesen, és 28 különböző pár ilyen pont és egyenes létezik.

A Fano-sík nem-eső párokat alkotó pontjai és egyenesei háromszöget alkotnak, a negyedrendű érintőgörbék pedig a Fano-sík 28 háromszögének megfelelőnek tekinthetők [8] . A Fano-sík Levi -gráfja a Heawood-gráf , amelyben a Fano-sík háromszögeit 6 ciklus ábrázolja. A Heawood-gráf 28 6-os ciklusa pedig a Coxeter-gráf 28 csúcsának felel meg [9] .

A 28 negyedrendű szeletelési görbe a del Pezzo felület 2. fokú [8] és 28 páratlan théta karakterisztikájú 56 vonalpárjának is megfelel .

27 harmadrendű egyenes görbe és 28 negyedrendű érintőgörbe, valamint a 4. nemzetség hatodrendű kanonikus görbéjének 120 érintősíkja alkotja Arnold " " , pontosabban a McKay-megfelelést . [10] [11] [12] , és sok más objektummal is kapcsolatba hozható, beleértve az E 7 -et és az E 8 -at is, amint azt az ADE-osztályozási cikkben tárgyaltuk .

Jegyzetek

  1. ↑ Plücker, 1839 .
  2. ↑ Szürke, 1982 .
  3. ↑ Blum, Guinand, 1964 .
  4. ↑ Shioda, 1995 .
  5. ↑ Trott, 1997 .
  6. ↑ Riemann, 1876 .
  7. ↑ Cayley, 1879 .
  8. ↑ 12 Manivel , 2006 .
  9. ↑ Nappali, 2011 .
  10. ↑ le Bruyn, 2008 .
  11. ↑ Arnold, 1997 , p. 13.
  12. ↑ McKay, Sebbar, 2007 , p. tizenegy.

Irodalom