Köbös felület
Az algebrai geometriában a köbfelület egy olyan algebrai felület , amelyet egy projektív térben lévő homogén harmadfokú polinom ad meg .
Elfogadhatjuk ill .
27 sor egy köbös felületen
Az algebrai geometria figyelemre méltó és nem triviális eredménye, hogy ha a felület nem szinguláris (azaz a felület minden pontjában nem tűnik el a polinom legalább egy parciális deriváltja), és a talajmező a komplex számok, pontosan 27 sor fekszik a köbfelületen. Ez a Cayley – Salmon tétel , amelyet 1849-ben Salmon hozott létre, miután Cayley bebizonyította, hogy egy ilyen köbfelületen a vonalak száma mindig véges.
Természetesen a valós számok mezőjében a felszínen nem lehet 27 sor. Azonban kimutatható, hogy a valós sorok száma 3, 7, 15 vagy 27. Mindezek a lehetőségek megvalósulnak.
Példák
Fermat Surface
A polinom egy 3-as fokú homogén polinom, az általa meghatározott köbfelület (az úgynevezett Fermat -felület ) pedig . Ez a felület nem egyedi és 27 sort tartalmaz. Ebben az esetben a polinom elég egyszerű ahhoz, hogy explicit módon leírja őket: a koordináták permutációjáig a formája , ahol a kockagyökei vannak . Fent van a −1 három kockagyöke, és a kombinatorikus argumentum azt mutatja, hogy a sorok száma összesen 27.
![{\displaystyle \{[X:Y:Z:T]\in \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )\ |\ X^{3}+Y^{3}+Z^{ 3}+T^{3}=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f21a82f48d74c83887b22340e95b8ce2de4e74)
![{\displaystyle [X:\rho X:Z:\rho 'Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d995502b6fefc6dda712f76db7dbdfa24b2cb2)
A valós számok mezőjében a −1-nek csak egy kockagyöke van, ami három egyenest ad.
Clebsch felület
A Clebsch-felület egy köbfelület, melynek egyenlete , és 27 valós egyenese van:
- , a koordináták permutációjáig három egyenes.
- , a koordináták permutációjáig, - 12 egyenes.
- , ahol , 12 sort ad.
![{\displaystyle [X:-X:Z:-Z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7dcb4b2007a818733986b865fd9c47e2ce3aef)
![{\displaystyle [0:Y:-Y:T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b348a254116c8d3fc98c7962a372321eb76aa390)
![{\displaystyle [X:Y:-X-\phi Y:-\phi XY]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bef580ea2c2ba1b40de7924cefa60b24caf8bc6)
Azt látjuk, hogy mind a 27 sor a projektív térben fekszik a valós számok mezeje felett, sőt -ben is .
![{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\left(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bfd03a16e9241209ab64dab496be074409bb5e)
Surface Cayley
A Cayley felületet az egyenlet határozza meg
Ez a felület különleges, mind a négy parciális derivált négy ponton eltűnik.
![{\displaystyle [1:0:0:0],[0:1:0:0],[0:0:1:0],[0:0:0:1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cce362d5240b3b224db02ec002628fc521ee3d)
Így ez egy olyan példa, ahol a Cayley-Salmon tétel nem érvényes. Ez a felület azonban továbbra is tartalmaz vonalakat, különösen szinguláris pontokat összekötő vonalakat.
Irodalom
- Miles Reid , Undergratuate Algebraic Geometry, CUP, 1989.
Linkek
- Felületi kocka Mathcurve
- Étienne Ghys, Jos Leys , Des surfaces cubiques en DVD - Images des mathématiques, [CNRS National Research Center], 2008