Az algebrai geometriában a köbfelület egy olyan algebrai felület , amelyet egy projektív térben lévő homogén harmadfokú polinom ad meg .
Elfogadhatjuk ill .
Az algebrai geometria figyelemre méltó és nem triviális eredménye, hogy ha a felület nem szinguláris (azaz a felület minden pontjában nem tűnik el a polinom legalább egy parciális deriváltja), és a talajmező a komplex számok, pontosan 27 sor fekszik a köbfelületen. Ez a Cayley – Salmon tétel , amelyet 1849-ben Salmon hozott létre, miután Cayley bebizonyította, hogy egy ilyen köbfelületen a vonalak száma mindig véges.
Természetesen a valós számok mezőjében a felszínen nem lehet 27 sor. Azonban kimutatható, hogy a valós sorok száma 3, 7, 15 vagy 27. Mindezek a lehetőségek megvalósulnak.
A polinom egy 3-as fokú homogén polinom, az általa meghatározott köbfelület (az úgynevezett Fermat -felület ) pedig . Ez a felület nem egyedi és 27 sort tartalmaz. Ebben az esetben a polinom elég egyszerű ahhoz, hogy explicit módon leírja őket: a koordináták permutációjáig a formája , ahol a kockagyökei vannak . Fent van a −1 három kockagyöke, és a kombinatorikus argumentum azt mutatja, hogy a sorok száma összesen 27.
A valós számok mezőjében a −1-nek csak egy kockagyöke van, ami három egyenest ad.
A Clebsch-felület egy köbfelület, melynek egyenlete , és 27 valós egyenese van:
Azt látjuk, hogy mind a 27 sor a projektív térben fekszik a valós számok mezeje felett, sőt -ben is .
A Cayley felületet az egyenlet határozza meg
Ez a felület különleges, mind a négy parciális derivált négy ponton eltűnik.
Így ez egy olyan példa, ahol a Cayley-Salmon tétel nem érvényes. Ez a felület azonban továbbra is tartalmaz vonalakat, különösen szinguláris pontokat összekötő vonalakat.