Geometriai nemzetség
A geometriai nemzetség az algebrai és összetett változatok alapvető birációs invariánsa p g .
Definíció
A geometriai nemzetség a nem szinguláris komplex projektív fajtákra és általánosabban az összetett fajtákra definiálható h n ,0 Hodge-számként ( a Serre-kettősség szerint h 0, n ), azaz a a kanonikus lineáris rendszer dimenziója plusz egy.
Más szavakkal, egy n komplex dimenziójú V sokaság esetén ez az érték megegyezik a lineárisan független holomorf n - formák számával a V [1] sokaságon . Ez a meghatározás a tér dimenziója
majd átviszi bármely alapmezőbe , ha Ω -t a Kähler-differenciálok kötegének vesszük , és a fok egyenlő a külső szorzattal , a kanonikus vonalköteg .
A geometriai nemzetség a plurigenre (vagy több nemzetség) nevű invariánsok sorozatának első invariánsa.
A görbék esete
Komplex sokaságok esetén a nem szinguláris görbék Riemann felületek . A nemzetség algebrai meghatározása összhangban van a nemzetség topológiai fogalmával . Egy nem szinguláris görbén a kanonikus vonalköteg foka .
A nemzetség fogalma kiemelkedően jelen van a Riemann-Roch tételben (lásd még a Riemann-Roch tételt a felületekre ) és a Riemann-Hurwitz-képletet . A Riemann-Roch tétel szerint egy d fokú irreducibilis síkgörbének geometriai nemzetsége van .
ahol s a szükséges szinguláris pontok száma.
Ha C egy irreducibilis (és sima) felület a projektív síkban , amelyet d fokú polinomiális egyenlet határoz meg , akkor normál vonalkötege egy csavarodó Serre-köteg , tehát az adjunkciós képlet szerint a kanonikus vonalköteg A C értéket adja meg .
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{C}=[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)]_{{ \mid }C}={\mathcal {O}}(d-3)_{{\mid }C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63dda488131773614113d387d480df5e152df795)
A szinguláris sokaságok nemzetsége
A geometriai nemzetség definíciója klasszikus módon átkerül a C szinguláris görbékre , megmondva, hogy mi a C ′ normalizálásának geometriai nemzetsége . Ez azt jelenti, hogy mivel a leképezés birációs , a definíciót egy birációs invariánssal bővítjük.
Lásd még
- Aritmetikai nem
- Felületi invariánsok
Jegyzetek
- ↑ Danilov, Shokurov, 1998 , p. 57-58.
Irodalom
- Griffiths P. , Harris J. Az algebrai geometria alapelvei. - Wiley Interscience, 1994. - S. 494. - (Wiley Classics Library). — ISBN 0-471-05059-8 .
- Danilov V.I., Shokurov V.V. Algebrai geometria-1 . - 1998. - V. 23. - (A tudomány és a technika eredményei. A matematika modern problémái. Alapvető irányok.).