Kähler differenciálmű

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. február 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Kähler-differenciálok a differenciálformák adaptációja tetszőleges kommutatív gyűrűkre vagy sémákra . Ezt a koncepciót Erich Köhler vezette be az 1930-as években.

Definíció

Legyen és legyen kommutatív gyűrűk és gyűrűhomomorfizmus . Egy fontos példa, amikor egy mező és egy unitális algebra vége (például egy affin sokaság koordinátagyűrűje ). A Kähler-differenciálok formalizálják azt a megfigyelést, hogy a polinom deriváltja ismét polinom. Ebben az értelemben a differenciálás fogalma tisztán algebrailag kifejezhető. Ez a megfigyelés a differenciálmodulus meghatározására fordítható $R$ $S$ $\varphi :R\to S$ $R$ $S$ $R$

\Omega _{S/R}.

több egyenértékű módon.

Definíció levezetésekkel

$R$ Az algebra -lineáris levezetése a -modulok homomorfizmusa olyan -modullá , amely a kernelében egy képet tartalmaz , és megfelel a Leibniz-szabálynak . A Kähler-differenciálok modulusa olyan -modulként van definiálva, amelyre létezik egy univerzális levezetés . Más univerzális tulajdonságokhoz hasonlóan ez is azt jelenti, hogy a d a lehető legjobb levezetés, abban az értelemben, hogy bármilyen más származtatást kaphatunk belőle a -modul homomorfizmussal való kompozícióval. Más szavakkal, a d -vel rendelkező összetétel bármely M modulra a -modulok izomorfizmusát indukálja $S$ $R$ $d\colon S\to M$ $S$ $M$ $R$ $d(fg)=f\,dg+g\,df$ $S$ ${\displaystyle \Omega _{S/R))$ ${\displaystyle d\colon S\to \Omega _{S/R))$ $S$ $S$ $S$

\operátornév {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operátornév {Der} _{R}(S,M).

Az Ω S / R és d konstrukciója elvégezhető egy szabad -modul felépítésével , mindegyikhez egy ds generátorral és a relációkkal történő faktorizálással $S$ $s$ $S$

dr = 0
d ( s + t ) = ds + dt ,
d ( st ) = s dt + t ds ,

mindenkinek -tól és mindentől és -től . Az univerzális differenciálás azt jelenti , hogy . Az összefüggésekből az következik, hogy az univerzális levezetés a -modulok homomorfizmusa. $r$ $R$ $s$ $t$ $S$ $s$ $ds$ $R$

Meghatározás kiterjesztési ideális

Egy másik konstrukció a tenzorszorzat ideáljának figyelembevételével készült, amely a szorzási térkép magjaként van definiálva . Ekkor a Kähler-differenciálok modulusa a következőképpen definiálható: [1] Ω S / R = I / I 2 , az univerzális deriválás pedig a képlettel definiált d homomorfizmusként. $én$ $S\otimes _{R}S$ ${\displaystyle S\otimes _{R}S\to S,\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i))$

ds=1\otimes ss\otimes 1.

Ha látni szeretné, hogy ez a konstrukció ekvivalens az előzővel, vegye figyelembe, hogy az I az által adott vetület magja . Ezért rendelkezünk: $S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$

S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.

Ekkor a komplementer vetülettel indukált leképezéssel I - vel azonosítható . Ez azonosul a formális generátorok által generált -modullal, és a -modulok homomorfizmusa , amely bármely elemet nullára visz. A faktorizálás pontosan előírja Leibniz szabályát . $S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\otimes t_{i}-\Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$ $én$ $S$ $ds$ $s$ $S$ $d$ $R$ $R$ $én^{2}$

Példák és alapvető tulajdonságok

Bármely R kommutatív gyűrűre a polinomgyűrű Kähler-differenciáljai egy szabad n rangú S -modult alkotnak, amelyet a változók differenciálja generál: $S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]$

\Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\ pontok t_{n}]\,dt_{i}.

A Kähler-differenciálok összhangban vannak a skaláris kiterjesztéssel, abban az értelemben, hogy a második R -algebra esetében R ′ és van izomorfizmus $S'=R'\otimes _{R}S$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.

Különösen a Kähler-differenciálok konzisztensek a lokalizációkkal abban az értelemben, hogy ha W az S multiplikatív részhalmaza , akkor van izomorfizmus.

W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.

Adott két homomorfizmus , akkor van egy rövid, pontos T - modul sorozat $R\to S\to T$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.

Ha valamilyen ideális I esetén, akkor a kifejezés eltűnik, és a sorozat balra folytatódik a következőképpen: $T=S/I$ $\Omega _{T/S}$

I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R} \to 0.

Kähler differenciálművek sémákhoz

Mivel a Kähler-differenciálok összhangban vannak a lokalizációval, általános sémára építhetők, ha a fenti definíciók bármelyikét alkalmazzuk az affin sémákra, és összeragasztjuk őket. A második definíciónak azonban van egy geometriai értelmezése, amely azonnal globalizálódik. Ebben az értelmezésben I egy olyan ideált képvisel, amely egy átlót határoz meg a Spec( S ) száltermékben önmagával a Spec( S ) → Spec( R ) felett . Ez a konstrukció inkább geometrikus, abban az értelemben, hogy az átló első végtelenül kicsiny szomszédságának koncepcióját tükrözi , olyan függvények segítségével, amelyek eltűnnek rajta a modulo függvények, amelyek eltűnnek a második sorrendben. Sőt, ez általánosítható egy tetszőleges sémamorfizmusra , amelyet a száltermék átlójának ideáljaként definiálunk . A kotangens köteg az előzőhöz hasonlóan definiált derivációval együtt univerzális a -modulok -lineáris levezetései között . Ha U X nyílt affin alsémája , amelynek Y -beli képe V nyílt affin alsémájában található , akkor a kotangens köteg egy U -n lévő láncra korlátozódik , ami szintén univerzális. Ezért ez az U -nak és V -nek megfelelő gyűrűk Kähler-differenciáljának modulusához tartozó köteg . $f\kettőspont X\Y-ra$ $\mathcal{I}$ $X\times _{Y}X$ $\Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ $d\colon {\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/Y}$ $f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

A kommutatív-algebrai esethez hasonlóan a sémamorfizmusokhoz pontos sorozatok kapcsolódnak. Ha a és sémák morfizmusai adottak , akkor létezik egy pontos tekercssorozat $f:X\Y-ig$ $g:Y\to Z$ $x$

f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0

Továbbá, ha egy zárt alsémát egy ideálköve adja meg , akkor van egy pontos kötegsorozat $Z\subset X$ $\mathcal{I}$

{\frac {\mathcal {I}}({\mathcal {I}}^{2}}}\to \Omega _{X/Y}\otimes {\mathcal {O}}_{Z} \To \Omega _{Z/Y}\to 0

a $Z$

Jegyzetek

↑ Hartshorne, 1981 , p. 225.

Irodalom

Hartshorne R. Algebrai geometria / ford. angolról. V. A. Iskovskikh. - M .: Mir, 1981.