Differenciálás (algebra)

A differenciálás az algebrában olyan művelet, amely általánosítja a különféle klasszikus deriváltok tulajdonságait, és lehetővé teszi differenciálgeometriai ötletek beillesztését az algebrai geometriába . Kezdetben ezt a koncepciót az elemi függvényekben lévő kifejezések algebrai módszerekkel történő integrálhatóságának tanulmányozására vezették be.

A differenciálással felszerelt gyűrűt , mezőt , algebrát differenciálgyűrűnek , differenciálmezőnek , differenciálalgebrának nevezzük .

Definíció

Legyen egy algebra egy gyűrű felett . Az algebrai levezetés egy -lineáris leképezés , amely kielégíti a Leibniz-azonosságot: $A$ $R$ $A$ $R$ $\partial :A\to A$

\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)

Általánosabb esetben a -modulban lévő értékeket tartalmazó kommutatív levezetés egy -lineáris térkép , amely kielégíti a Leibniz-azonosságot. Ebben az esetben az összes in értékkel rendelkező levezetés halmazát ( , ) jelöli , és egy -modul. Egy funktor reprezentálható , reprezentáló objektumát vagy jelöljük, és a Kähler-differenciálok modulusának nevezzük . a kezdeti objektum a differenciálmodulok kategóriájában over , azaz van olyan levezetés , amelyen bármely származtatás áthalad : $A$ $A$ $M$ $R$ $\partial :A\to M$ $M$ $A$ $M$ $\mathrm {D} (M)$ $\mathrm {Der} (M)$ $\mathrm {Der} _{R}(A,M)$ $A$ $\mathrm{D}$ $\Lambda ^{1}(A)$ $\Omega _{A/R}^{1}$ $\Lambda ^{1}(A)$ $A$ $d:A\to \Lambda ^{1}(A)$ $\delta \in \mathrm {D} (M)$ $d$

\exists !f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d

Tulajdonságok

$\mathrm {D} (A)$ természetes Lie algebra szerkezettel rendelkezik : . $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \ matematika{D}(A)$

Bármely levezetés elsőrendű differenciáloperátor (a kommutatív algebra értelmében). Sőt, ha egy algebra egységgel, akkor bármely -modulhoz van: $A$ $A$ $M$

\mathrm {Diff} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M

ahol az elsőrendű differenciáloperátorok modulja -tól -ig . $\mathrm {Különbség} _{1}(M)$ $A$ $M$

$\mathrm {Der} _{R}(A,M)$ egy funktor tól -ig . $({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)$ $A-{\mathcal {M}}od$

Osztályos megkülönböztetés

Egy fokozatos algebránál , amelynek elemosztályozását jelöli , a differenciálás analógja a homogén fokozatleképezések által generált fokozatos levezetések, amelyek kielégítik a következő fokozatos Leibniz-azonosságot ( ): $\mathbb {Z}$ $A$ $a\in A$ $|a|$ $\mathrm {D} :A\to A$ $|\mathrm {D} |$ $\varepsilon=\pm$

\mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)

Ha , akkor a fokozatos levezetések egybeesnek a közönségesekkel. Ha , akkor ezeket általában szuperderivációknak nevezik . A szuperderivációk hazugság szuperalgebrát alkotnak a szuperkommutátorhoz képest: $\varepsilon=1$ $\varepsilon=-1$

[\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1) ^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}

A szuperderivációk példái a differenciálformák gyűrűjén lévő külső és belső levezetések .

Irodalom

Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Elements of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
Kolar, Ivan; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry , Springer-Verlag , < http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html > .