Differenciálalgebra

A differenciálgyűrűket , mezőket és algebrákat differenciálással ellátott gyűrűknek , mezőknek és algebráknak nevezzük – egy unáris művelet, amely kielégíti a szorzatszabályt . A differenciálmező természetes példája egy komplex változó racionális függvényeinek mezeje , a differenciálás művelete a -hoz képesti differenciálásnak felel meg . Az elméletet Joseph Ritt (1950) és tanítványa, Ellis Kolchin [1] [2] alkotta meg . $C(t)$ $t$

Definíciók

Differenciálgyűrűk

A differenciálgyűrű olyan R gyűrű, amely egy vagy több endomorfizmussal ( származékkal ) rendelkezik.

\részleges \kettőspont R\-R

megfelel a termékszabálynak

\partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})

bármely . Hangsúlyozzuk, hogy a szabály meghibásodhat egy nem kommutatív gyűrűben. A jelölés nem indexes formájában, ha - szorzás a gyűrűben, akkor a szorzatszabály a formát veszi fel $r_{1},r_{2}\in R$ $d(xy)=xdy+ydx$ $M\colon R\szorozza R\-től R-ig$

\partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operátornév {id})+M\circ (\operátornév {id}\otimes \partial ).

ahol egy pár-pár leképezés . $f\otimes g$ $(x,y)$ $(f(x),g(y))$

Differenciálmezők

A differenciálmező egy derivációval ellátott K mező . A differenciálásnak engedelmeskednie kell a forma Leibniz-szabályának

\partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u

mivel a szorzás egy mezőben kommutatív. A különbségtételnek az összeadás tekintetében is disztributívnak kell lennie :

\partial (u+v)=\partial u+\partial v

A differenciálmező konstansainak mezőjét ún . $K$ $k=\{u\in K|\partial (u)=0\}$

Differenciálalgebra

A K mező feletti differenciálalgebra egy K -algebra A , amelyben a levezetések ingáznak a mezővel. Vagyis bármely és : $k\in K$ $x\in A$

\ \partial (kx)=k\partial x

Nem indexes formában, ha a gyűrűk morfizmusa, amely meghatározza a skalárokkal való szorzást az algebrában, akkor $\eta\kettőspont K\-hoz A$

\partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id})=M\circ (\eta \times \partial )

Mint más esetekben, a differenciálásnak meg kell felelnie Leibniz algebrai szorzási szabályának, és lineárisnak kell lennie az összeadáshoz képest. Vagyis bármely és : $a,b\in K$ $x,y\ az A-ban$

\partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)

és

\partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y

Differenciálás a Lie algebrában

A Lie algebra levezetés egy lineáris leképezés , amely kielégíti a Leibniz-szabályt: $L$ $\delta \kettőspont L\-L$

\ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]

Bármilyen operátornál - a Jacobi azonosságból következő megkülönböztetés . Minden ilyen levezetést intrinziknek nevezünk . $a\in L$ $\operatorname {ad} (a)$ $L$

Példák

Ha egy algebra egységgel , akkor , mivel . Például a 0 karakterisztikájú differenciálmezőkben a racionális elemek almezőt alkotnak az állandók mezőjében. $A$ $\partial(1)=0$ $\partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)$

Bármely mezőt konstans mezőnek tekinthetjük.

A mezőben létezik a differenciálmező természetes struktúrája, amelyet az egyenlőség határoz meg : a mező és a differenciálás axiómáiból következik, hogy ez egy differenciálódás lesz a -hoz képest . Például a szorzás kommutativitásából és a Leibniz-szabályból az következik $\mathbb {Q} (t)$ $\partial(t)=1$ $t$

\partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)

A differenciálmezőben nincs megoldás a differenciálegyenletre , de kiterjeszthető olyan mezőre, amely olyan függvényt tartalmaz , amelynek van megoldása erre az egyenletre. $\mathbb {Q} (t)$ $\részleges (u)=u$ $e^{t}$

Azokat a differenciálmezőket, amelyeknek bármilyen differenciálegyenlet-rendszerre van megoldása, differenciálisan zárt mezőnek nevezzük . Léteznek ilyen mezők, bár természetesen nem keletkeznek az algebrában vagy a geometriában. Bármilyen (korlátozott teljesítményű ) differenciálmező egy nagyobb, differenciálisan zárt mezőbe van beágyazva. A differenciálmezőket a differenciális Galois-elmélet tanulmányozza .

A származékok természetes példái a parciális deriváltak , a Lie deriváltok , a Pincherle-deriválták és a kommutátor az algebra adott elemére vonatkozóan. Mindezek a példák szorosan kapcsolódnak a megkülönböztetés általános gondolatához.

Pszeudodifferenciális operátorok gyűrűje

A differenciálgyűrűket és a differenciálalgebrákat gyakran a felettük lévő pszeudodifferenciális operátorok gyűrűjével tanulmányozzák :

R((\xi ^{{-1))))=\left\{\sum _{{n<\infty }}r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right \}.

A szorzás ebben a gyűrűben a következőképpen van meghatározva

(r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{{k=0}}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\ xi ^{{m+nk}}.

Itt van a binomiális együttható . Jegyezze fel az azonosságot ${m \válasszon k}$

\xi ^{{-1}}r=\sum _{{n=0}}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{{-1 -n}}

a következőtől

{-1 \choose n}=(-1)^{n}

és

r\xi ^{{-1}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }\xi ^{{-1-n}}(\partial ^{n}r).

Osztályos megkülönböztetés

Legyen egy fokozatos algebra , legyen homogén lineáris leképezés, . homogén származéknak nevezzük , ha homogén elemekre hatva . A fokozatos derivált az azonos értékű homogén származékok összege . $A$ $D$ $d=\bal|D\jobb|$ $D$ $D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{{|a||D|}}aD(b)$ $\epsilon=\pm 1$ $A$ $\epsilon$

Ha , a definíció megegyezik a közönséges differenciálással. $\epsilon=1$

Ha , akkor páratlan . Az ilyen endomorfizmusokat antiderivátumoknak nevezzük . $\epsilon=-1$ $D(ab)=D(a)b+(-1)^{{|a|}}aD(b)$ $\left|D\right|$

Az anti-származékok példái a differenciálformák külső és belső származékai .

A szuperalgebrák fokozatos deriváltjait (azaz a fokozatos algebrákat) gyakran szuperderiváltáknak nevezik . ${\mathbb {Z}}_{2}$

Jegyzetek

↑ Ritt, Joseph Fels (1950). Differenciálalgebra. New York: AMS Colloquium Publications (33. kötet).
↑ Kolchin, ER (1985), Differenciálalgebrai csoportok , 1. kötet. 114, Pure and Applied Mathematics, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-417640-9 , < https://books.google.com/books?isbn=0124176402 >

Lásd még

Differenciál Galois elmélet
Kähler differenciálmű
Differenciálisan zárt mező
A D-modul egy algebrai struktúra, amelyre több differenciáloperátor hat.

Irodalom

Buium differenciálalgebra és diophantine geometria, Hermann (1994).
I. Kaplansky differenciálalgebra, Hermann (1957).
E. Kolchin Differenciálalgebra és Algebrai Csoportok, 1973.
D. Marker, M. Messmer és A. Pillay, Springer Verlang (1996).
A. Magid Előadások a differenciál Galois-elméletről, American Math. társadalom, 1994.

David Marker honlapja számos cikket tartalmaz a differenciálmezőkről.

A matematika ágai

"Tudomány" portál

A matematika alapjai halmazelmélet matematikai logika logikai algebra

Számelmélet ( aritmetika )

Algebra
Elemi algebra	Egyenlet megoldás
Lineáris algebra	Vektorszámítás mátrixok Tenzorszámítás Multilineáris algebra
Általános algebra	Kommutatív algebra Reprezentációs elmélet Differenciálalgebra Homológiai algebra Univerzális algebra Kategória elmélet

Elemzés
Klasszikus elemzés	Differenciálszámítás Integrálszámítás
Függvényelmélet	Harmonikus elemzés Quaternion elemzés Komplex elemzés mértékelmélet Valós változó függvényeinek elmélete funkcionális elemzés Variációszámítás
Differenciál- és integrálegyenletek	Dinamikus rendszerek és ergodikus elmélet Differenciál egyenletek rendes részleges származékokban Integrálegyenletek
Vektor elemzés Globális elemzés Katasztrófaelmélet Egyéni elemzés Sima infinitezimális elemzés

Geometria és topológia
Geometria	Algebrai geometria Analitikus geometria Euklideszi geometria Nem euklideszi geometria Planimetria Sztereometria
Topológia	Általános topológia Algebrai topológia Differenciálgeometria és topológia

Diszkrét matematika
Kombinatorika gráfelmélet

Alkalmazott matematika
Matematikai fizika Matematikai kémia matematikai biológia Matek statisztika Matematikai modellezés Algoritmusok elmélete Numerikus módszerek matematikai közgazdaságtan pénzügyi matematika Valószínűségi elmélet Operációkutatás Játékelmélet

"Matematika" portál
"Matematika" kategória