Differenciálforma

A sorrend differenciális alakja vagy -forma egy ferde - szimmetrikus tenzormező a sokaságon . $k$ $k$ $(0,k)$

A differenciálformákat Eli Cartan vezette be a 20. század elején.

A differenciálformák formalizmusa az elméleti fizika és a matematika számos ágában kényelmesnek bizonyul, különösen az elméleti mechanikában, a szimplektikus geometriában , a kvantumtérelméletben .

A sokaságon lévő -formák terét általában jelöli . $k$ $M$ $\Omega ^{k}(M)$

Definíciók

Invariáns

A differenciálgeometriában a fokozat differenciális alakja vagy egyszerűen -forma sima szakasza , azaz az elosztó kotangens kötegének külső foka . Különösen, $k$ $k$ $\ék ^{k}T^{*}M$ $k$

a -form értéke az érintővektormezők darabjainak halmazán a sokaság függvénye. $k$ $k$
a -form értéke a sokaság egy pontjában egy ferde-szimmetrikus -lineáris függvény -on . $k$ $x$ $k$ $T_{x}M$

Helyi térképeken keresztül

$k$ -form on a következő alak kifejezése lesz $\mathbb {R} ^{n}$

\omega =\sum _{{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k} }}(x^{1},\ldots ,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\wedge dx^{{i_{2}}}\wedge \ldots \wedge dx^ {{i_{k}}}

ahol a sima függvények, a th koordináta differenciálja (egy vektor függvénye, amely számmal adja vissza koordinátáját ), és a külső szorzata . A koordináták megváltoztatásakor ez a nézet megváltoztatja alakját. $f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ $dx^{i}$ $én$ $x^i$ $én$ $\ék$

Sima sokaságon a k-alakzatok olyan alakzatokként definiálhatók a térképeken, amelyek konzisztensek a ragasztásokon keresztül (a konzisztencia pontos meghatározását lásd a sokaságban ).

Kapcsolódó definíciók

Egy -alak esetén a külső differenciál (szintén csak a differenciál ) egy -forma, a koordináták alakjában $k$ $\omega$ $(k+1)$ $d\omega =\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\partial f_{i_{1}i_{2 }\ldots i_{k))}{\partial x^{j}}}(x^{1},\dots ,x^{n})\,dx^{j}\wedge dx^{i_{1 }}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \ldots \wedge dx^{i_{k}}$

a differenciál invariáns definíciójához meg kell határozni a függvények differenciálját, azaz a -formákat , majd a -formák differenciálját, ami után a differenciál a -linearitás és a fokozatos Leibniz-szabály szerint tetszőleges alakzatokba megy tovább : $0$ $egy$ $R$
- $dF(v)=v(F)$ — a függvény differenciálértéke az érintővektormezőn a függvény deriváltja a mező mentén .
- $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ - az -form differenciálértéke egy vektormezőpáron az egyik mezőn lévő forma származtatott értékeinek különbsége, a
kommutátoron lévő forma értékével korrigálva . $egy$
$\ d(\omega ^{k}\wedge \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^ {k}\ék (d\vartheta ^{p})$ ahol a felső indexek és a megfelelő formák sorrendjét jelölik. $k$ $p$

A differenciálformát zártnak nevezzük, ha a külső differenciája 0.

A k - formát akkor nevezzük egzaktnak , ha valamilyen -forma differenciáljaként ábrázolható .

(k-1)

A zárt k - formák egzakt k - formákkal alkotott hányadoscsoportját -dimenziós de Rham kohomológiai csoportnak nevezzük . De Rham tétele kimondja, hogy izomorf a k - dimenziós szinguláris kohemológia csoporttal .

H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega _{{k-1}}

k

Egy hatványformának a vektormezőhöz viszonyított belső deriváltját ( a vektormező formával való helyettesítését is ) alaknak nevezzük.

\omega

n

\mathbf{v}

i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\pontok ,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}}),u_{1},\pontok , u_{{n-1}})

Tulajdonságok

Bármilyen formára igaz . $d(d\omega )=0$

A külső differenciálás lineáris, és megfelel a fokozatos Leibniz-szabálynak : $d(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^ {k}\wedge (d\omega ^{p})$

A belső derivált lineáris, és megfelel a fokozatos Leibniz-szabálynak : $i_{X}(\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^ {k}\omega ^{k}\wedge (i_{X}\omega ^{p})$

Cartan képletek. Egy tetszőleges alakzatra és vektormezőre a következő összefüggések érvényesek $\omega$ $X,Y,Z$ ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ ( Cartan varázsképlete ) ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X} \omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

ahol a Lie deriváltot jelöli .

\mathcal{L}

Példák

A tenzoranalízis szempontjából az 1-forma nem más, mint egy kovektormező , azaz egy 1-szeres kovariáns tenzor , amely a sokaság minden pontján adott, és az érintőtér elemeit leképezi a valós halmazára. számok : $p$ $M$ $T_{p}(M)$ $\mathbb {R}$ $\omega (p)\colon T_{p}(M)\jobbra \mathbb{R}$
A térfogatforma egy példa egy -forma egy -dimenziós sokaságon. $n$ $n$
A szimplektikus forma egy zárt 2-forma egy -sokaságon úgy, hogy . $\omega$ $2n$ $\omega ^{n}\not =0$

Alkalmazások

Vektorelemzés

A differenciálformák lehetővé teszik, hogy a vektoranalízis alapműveleteit koordináta-invariáns formában írjuk fel, és általánosítsuk tetszőleges dimenziójú terekre. Legyen egy kanonikus izomorfizmus a tangens és a kotangens terek között, és legyen a Hodge-dualitás operátora (amely különösen a háromdimenziós térben valósít meg izomorfizmust a 2-forma és a vektormezők, valamint a skalárok és pszeudoszkalárok között). Ekkor a rotor és a divergencia a következő módon definiálható: $én$ $*$

\operátornév {rot}\,v=*\,d\,I(v)

\operátornév {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)

Differenciálformák az elektrodinamikában

A Maxwell-féle elektrodinamika nagyon elegánsan van megfogalmazva a 4 dimenziós téridő differenciálformáiban. Tekintsük az elektromágneses tér tenzorának megfelelő Faraday 2-formát :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Ez a forma az U(1) szerkezeti csoportú triviális főköteg görbületi formája , amellyel leírható a klasszikus elektrodinamika és szelvényelmélet . Az áram 3-as alakja , amely kettős az áram szokásos 4-vektorával, a következővel rendelkezik

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ ék {{\mathrm d}}x^{d}.

Ebben a jelölésben a Maxwell-egyenletek nagyon tömören így írhatók fel

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

{\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}

hol van a Hodge star operátor . Hasonló módon írható le az általános szelvényelmélet geometriája is. $*$

A 2-formát Maxwell 2-formának is nevezik . $*{\mathbf {F}}$

Hamiltoni mechanika

A differenciálformák segítségével tisztán geometriailag is megfogalmazható a Hamilton-féle mechanika. Tekintsünk egy szimplektikus sokaságot , amelynek szimplektikus alakja és egy függvénye adott , az úgynevezett Hamilton-függvény . minden pontban meghatározza a kotangens és érintő terek izomorfizmusát a szabály szerint $M$ $\omega$ $H$ $\omega$ $X\-ben M$ $én$ $T_{{X}}^{{*}}M$ $T_{{X}}M$

dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\in T_{{X}}M

ahol a függvény differenciálja . A sokaságon lévő vektormezőt Hamilton-mezőnek , a megfelelő fázisáramot pedig Hamilton-féle áramlásnak nevezzük . A Hamilton-féle fázisfolyam megőrzi a szimlektikus formát, és ezért megőrzi bármely külső erejét . Ez magában foglalja Liouville tételét . A és a függvények Poisson zárójelét a szabály határozza meg $dH$ $H$ $IdH$ $F$ $G$ $M$

[F,G]=\omega (IdF,IdG)

Változatok és általánosítások

A valós értékű és összetett értékű formák mellett gyakran figyelembe veszik a vektorkötegekben lévő értékekkel rendelkező differenciálformákat is . Ebben az esetben minden pontban az érintőköteg vektorainak multilineáris antiszimmetrikus függvénye van megadva, amely a pont feletti rétegből ad vissza egy vektort. Formálisan a vektorkötegben lévő értékekkel rendelkező külső k alakok a kötegek tenzorszorzatának szakaszaiként vannak definiálva. $k$ $M$ $\pi \kettőspont E\ M-re$

\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{{M}}E

A vektorértékű differenciálformák speciális esete a tangenciális értékű formák , amelyek definíciójában az érintőköteget vektorkötegnek vesszük . $TM$

Irodalom

Arnold VI . A klasszikus mechanika matematikai módszerei. - 5. kiadás, sztereotip. - M. : Szerkesztői URSS, 2003. - 416 p. - 1500 példány. — ISBN 5-354-00341-5 .
Godbillon K. Differenciálgeometria és analitikai mechanika. - M .: Mir, 1973.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometria. Módszerek és alkalmazások. - M .: Nauka, 1971.
Cartan A. Differenciálszámítás. differenciális formák. - M .: Mir, 1971.
Postnikov M. M. Előadások a geometriáról. félév III. Sima elosztók. - M .: Nauka, 1987.
Buldyrev VS, Pavlov BS Lineáris algebra és számos változó függvényei. - L . : A Leningrádi Egyetem kiadója, 1985.

Lásd még

Differenciálszámítás

Fő

privát nézetek

Differenciális operátorok
( különböző koordinátákkal )

Első rendelés	Nabla operátor Gradiens Eltérés Forgórész Helmholtzian
másodrendű	Elliptikus operátor Laplace operátor Laplace vektor operátor D'Alembert operátor Laplace-Beltrami operátor
magasabb rendek	Hipoelliptikus operátor

Kapcsolódó témák