A Riemann-féle sokaság görbülete

A Riemann-sokaságok görbülete numerikusan jellemzi a sokaság Riemann -metrikája és az euklideszi metrika közötti különbséget egy adott pontban.

Felület esetén egy pont görbületét a Gauss-görbület teljes mértékben leírja .

A 3-as és afölötti dimenziókban a görbület nem jellemezhető teljes mértékben egyetlen számmal egy adott pontban, hanem tenzorként definiálható .

A görbület kifejezésének módjai

Görbülettenzor

A Riemann-féle sokaság görbülete többféleképpen írható le. A legszabványabb a görbületi tenzor, amelyet a Levi-Civita kapcsolat (vagy kovariáns differenciáció ) és a Lie zárójel alapján adunk meg a következő képlettel: $\nabla$ $[\cdot ,\cdot]$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,\; v]}w.

A görbületi tenzor a sokaság érintőterének lineáris transzformációja a kiválasztott pontban. $R(u,\;v)$

Ha és , azaz koordinátavektorok, akkor , és ezért a képlet leegyszerűsödik: $u=\partial /\partial x_{i}$ $v=\partial /\partial x_{j}$ $[u,\;v]=0$

R(u,\;v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w,

vagyis a görbületi tenzor a kovariáns származékok vektorokhoz viszonyított nem kommutativitását méri.

A lineáris transzformációt görbületi transzformációnak is nevezik . $w\mapsto R(u,\;v)w$

N.B. Számos könyv létezik, ahol a görbületi tenzort ellenkező előjellel határozzák meg.

Szimmetriák és identitások

A görbületi tenzor a következő szimmetriákkal rendelkezik:

R(u,\;v)=-R(v,\;u);

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =-\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle ;

R(u,\;v)w+R(v,\;w)u+R(w,\;u)v=0.

Az utolsó identitást Ricci találta meg , de gyakran az első Bianchi identitásnak nevezik, mert hasonló az alább leírt Bianchi identitáshoz .

Ez a három azonosság a görbületi tenzor szimmetriáinak teljes listáját alkotja, vagyis ha valamelyik tenzor kielégíti ezeket az azonosságokat, akkor valamikor találhatunk egy ilyen görbületi tenzorral rendelkező Riemann-sokaságot. Az egyszerű számítások azt mutatják, hogy egy ilyen tenzornak független összetevői vannak. $n^{2}(n^{2}-1)/12$

Egy másik hasznos identitás következik ebből a háromból:

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =\langle R(w,\;z)u,\;v\rangle .

A Bianchi-azonosság (amelyet gyakran második Bianchi-identitásnak neveznek ) kovariáns származékokat tartalmaz:

\nabla _{u}R(v,\;w)+\nabla _{v}R(w,\;u)+\nabla _{w}R(u,\;v)=0.

Az alapszimmetriákkal együtt ez az azonosság a tenzorszimmetriák teljes listáját adja . Sőt, ha egy 4- és 5-értékű tenzorpár kielégíti ezeket az azonosságokat, akkor a görbületi tenzor és annak kovariáns deriváltja alapján találhatunk egy Riemann-sokaságot . A magasabb származékokra való általánosítást Kowalski és Berger bizonyította. [egy] $\nabla R$ $A$ $B$ $R=A$ $\nabla R=B$

Metszeti görbület

A metszeti görbület a Riemann-féle sokaságok görbületének egy másik, geometrikusabb leírásával egyenértékű leírása.

A metszetgörbület függvénye , amely egy pontban (vagyis egy kétdimenziós síkban a pontban lévő érintőtérben ) függ a metszet irányától . Ez egyenlő a felület exponenciális leképezéssel kialakított Gauss-görbületével , a pontban mérve . $K(\sigma )$ $\sigma$ $p$ $p$ $p$

Ha két lineárisan független vektor van -ben , akkor $v,\;u$ $\sigma$

K(\sigma )=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},

ahol

K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle .

A következő képlet azt mutatja, hogy a metszeti görbület teljes mértékben leírja a görbületi tenzort:

6\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =

{\megjelenítési stílus [K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-}

{\megjelenítési stílus [K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].}

Vagy egyszerűbb formában, részleges származékok használatával :

\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.

Görbület alakja

A csatlakozási forma a görbület leírásának alternatív módját határozza meg. Ezt az ábrázolást főként általános vektorkötegekhez és fő kötegekhez használják, de jól működik a Levi-Civita kapcsolattal rendelkező érintőkötegeknél is .

A -dimenziós Riemann-sokaság görbületét egy 2-formájú antiszimmetrikus -mátrix adja (vagy ezzel egyenértékű, egy 2-es alak, amelynek értéke , azaz egy Lie algebrában egy ortogonális csoportból , amely a a Riemann-sokaság érintőkötege). $n$ $n\szer n$ ${\displaystyle \Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i))$ $\operatorname {so} (n)$ ${\megjelenítési stílus \operátornév {O} (n)}$

Legyen egy lokális ortonormális keret. A kapcsolódási formát az 1-es formák antiszimmetrikus mátrixa határozza meg , a következő azonosság $e_{i}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{\ j}^{i))$

\omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},\;e_{k}\rangle .

Ezután a görbület alakját a következőképpen határozzuk meg ${\displaystyle \Omega =\Omega _{\ j}^{i))$

\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega .

A következő egyenlet írja le a görbület alakja és a görbületi tenzor közötti kapcsolatot:

R(u,\;v)w=\Omega (u\wedge v)w.

Ez a megközelítés automatikusan tartalmazza a görbületi tenzor összes szimmetriáját, kivéve az első Bianchi azonosságot , amely a következő lesz

\Omega \wedge \theta =0.

ahol az 1-es alakok -vektora . ${\displaystyle \theta =\theta ^{i))$ $n$ $\theta ^{i}(v)=\langle e_{i},\;v\rangle$

A második Bianchi-identitás formát ölt

D\Omega =0.

$D$ a külső kovariáns származékot jelöli.

A görbületi formát a következőképpen általánosítjuk egy Lie szerkezeti csoporttal rendelkező fő köteggé : $E$ $G$

\Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ],

ahol a kapcsolódási forma és a csoport Lie-algebra érintője $\omega$ $E$ $\mathfrak g$ $G$

A görbületi forma akkor és csak akkor tűnik el, ha a kapcsolat lokálisan lapos.

Görbületi operátor

Néha célszerű a görbületet olyan érintő bivektorok (elemek ) operátorának tekinteni , amelyeket a következő azonosság határoz meg egyedileg: $K$ $\Lambda ^{2}(T)$

\langle Q(u\wedge v),\;w\wedge z\rangle =\langle R(u,\;v)z,\;w\rangle .

Ez a görbületi tenzor szimmetriái miatt lehetséges (nevezetesen az első és az utolsó indexpár antiszimmetriája, valamint ezeknek a pároknak a blokkszimmetriája).

Egyéb görbületek

Általánosságban elmondható, hogy a következő tenzorok és függvények nem írják le teljesen a görbületi tenzort, de fontos szerepet játszanak.

Skaláris görbület

A skaláris görbület egy Riemann-féle sokaság függvénye, amelyet általában jelölnek . $\operátornév {Sc}$

Ez a görbületi tenzor teljes nyoma . Ortonormális alapra a nálunk lévő érintőtérben $\{e_{i}\}$ $p$

\operatorname {Sc} =\sum _{i,\;j}\langle R(e_{i},\;e_{j})e_{j},\;e_{i}\rangle =\ összeg _{i}\langle \operátornév {Ric} (e_{i}),\;e_{i}\rangle ,

ahol a Ricci tenzort jelöli . Az eredmény nem függ az ortonormális alap megválasztásától. $\operátornév {Ric}$

A 3. dimenzióból kiindulva a skaláris görbület nem írja le teljesen a görbületi tenzort.

Ricci görbület

A Ricci-görbület egy lineáris operátor az érintőtérben egy pontban, amelyet általában jelölnek . Egy pontban lévő érintőtér ortonormális bázisára a következőképpen definiálható $\operátornév {Ric}$ $\{e_{i}\}$ $p$

\operatorname {Ric} (u)=\sum _{i}R(u,\;e_{i})e_{i}.

Az eredmény nem függ az ortonormális alap megválasztásától. A négyes vagy több dimenzióban a Ricci-görbület nem írja le teljesen a görbületi tenzort.

A Ricci-tenzor kifejezett kifejezései a Levi-Civita kapcsolatok tekintetében a Christoffel-szimbólumokról szóló cikkben találhatók .

Weyl tenzor

A Weyl-tenzor szimmetriája megegyezik a görbületi tenzoréval, plusz egy extra: a nyom (ugyanaz, mint a Ricci-görbület) 0. $W$

A 2-es és 3-as dimenzióban a Weyl-tenzor nulla, de ha a dimenzió > 3, akkor eltérhet a nullától.

A görbületi tenzor részekre bontható: az egyik a Ricci-görbülettől, a másik a Weyl-tenzortól függ.
A metrika konform változása nem változtatja meg a Weil-tenzort.
Állandó görbületű sokaság esetén a Weyl-tenzor nulla.
- Sőt, akkor és csak akkor, ha a metrika lokálisan konform euklideszi. $W=0$

Ricci dekompozíció

A Ricci-tenzor és a Weyl-tenzor együtt teljes mértékben meghatározza a görbületi tenzort.

Görbület számítás

A hiperfelületek és részsokaságok görbületének kiszámításához lásd a második alapformát ,
A görbület koordinátákban történő kiszámításához lásd a kovariáns deriváltokat .
A görbület mozgó referenciamódszerrel történő kiszámításához lásd : A görbület formája .
A Jacobi-egyenlet hasznos lehet, ha ismerjük a geodetikus viselkedését .

Jegyzetek

↑ Kowalski, Oldrich; Belger, Martin Riemann-metrika az előírt görbületi tenzorral és annak összes kovariáns deriváltjával egy pontban. Math. Nachr. 168 (1994), 209–225.

Linkek

Kobayashi Sh ., Nomizu K. A differenciálgeometria alapjai / ford. angolról. L. V. Sabinina . - M . : Tudomány. Fizikai és matematikai irodalom főkiadása, 1981. - T. 1. - 344 p.