Bianchi differenciális identitása

A Riemann tenzor megfelel a következő azonosságnak:

(1)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}+\nabla _{j}R_{\;rki}^{s}+\nabla _{k}R_{ \;rij}^{s}=0,

amelyet a differenciálgeometriában differenciális Bianchi - azonosságnak (vagy második Bianchi-azonosságnak ) neveznek .

Bizonyítás speciális koordinátarendszerrel

Kiválasztunk egy tetszőleges pontot a sokaságon , és ezen a ponton igazoljuk az (1) egyenlőséget. Mivel a pont tetszőleges, akkor innen következik az (1) azonosság érvényessége a teljes sokaságon. $P$ $P$

Egy ponton választhatunk egy speciális koordináta-rendszert úgy, hogy az összes Christoffel-szimbólum (de a származékaik nem) eltűnik abban a pontban. Ezután a kovariáns származékokra egy pontunkban $P$ $P$

(2)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}R_{\;rjk}^{s}.

Mert a

(3)\qquad R_{\;rjk}^{s}=\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{k}\Gamma _{jr}^{ s}+\Gamma _{jp}^{s}\Gamma _{kr}^{p}-\Gamma _{kp}^{s}\Gamma _{jr}^{p},

akkor azon a ponton , amink van $P$

(4)\qquad \nabla _{i}R_{\;rjk}^{s}=\partial _{i}\partial _{j}\Gamma _{kr}^{s}-\partial _{i}\partial _{k}\Gamma _{jr}^{s}.

A (4)-ben szereplő indexeket ciklikusan átrendezve további két egyenlőséget kapunk: $ijk$

(5)\qquad \nabla _{j}R_{\;rki}^{s}=\partial _{j}\partial _{k}\Gamma _{ir}^{s}-\partial _{j}\partial _{i}\Gamma _{kr}^{s},

(6)\qquad \nabla _{k}R_{\;rij}^{s}=\partial _{k}\partial _{i}\Gamma _{jr}^{s}-\partial _{k}\partial _{j}\Gamma _{ir}^{s}.

Könnyen belátható, hogy a (4), (5) és (6) egyenlőségek összeadásakor az egyenlet bal oldalán az (1) kifejezés bal oldalát kapjuk, a jobb oldalon pedig, figyelembe véve a parciális deriváltak kommutativitása , minden tag kioltja egymást, és nullát kapunk.

Lásd még

Algebrai Bianchi azonosság